多元函数的极值及其-求法

第十一讲 二元函数的极值

要求：明白得多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

问题提出：在实际问题中，往往会碰到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有紧密的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．

一．二元函数的极值

概念 设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有概念，关于该邻域内的所有(x,y)(x0,y0)，若是总有f(x,y)f(x0,y0)，那么称函数zf(x,y)在点(x0,y0)处有极大值；若是总有f(x,y)f(x0,y0)，那么称函数

zf(x,y)在点(x0,y0)有极小值．

函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．

例1．函数zxy在点(0,0)处不取得极值，因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．

22z3x4y例2．函数在点(0,0)处有极小值．

因为对任何(x,y)有f(x,y)f(0,0)0．

22z3x4y(0,0,0)从几何上看，点是开口朝上的椭圆抛物面的极点，曲面在点(0,0,0)处有切平面z0，

从而取得函数取得极值的必要条件．

定理1（必要条件）

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，那么它在该点的偏导数必然为零，

f(x,y)0即fx(x0,y0)0，y00．

几何说明

假设函数zf(x,y)在点(x0,y0)取得极值z0，那么函数所表示的曲面在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为

zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)

是平行于xoy坐标面的平面zz0．

类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为

f(x,y,z)0 fx(x0,y0,z0)0，y000，fz(x0,y0,z0)0

说明 上面的定理尽管没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组

fx(x0,y0)0fy(x0,y0)0 ，求得解

(x1,y1),(x2,y2)(xn,yn)

，那么极值点必包括在其中，这些点称为函数zf(x,y)的驻点．

注意1．驻点不必然是极值点，如zxy在(0,0)点．

如何判别驻点是不是是极值点呢？下面定理回答了那个问题．

定理2（充分条件）

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内持续，且有一阶及二阶持续偏导数，又

fx(x0,y0)0，

fy(x0,y0)0，

f(x,y)Bf(x,y)C令 fxx(x0,y0)A，xy00，yy00，那么

2（1）当ACB0时，函数zf(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且当A0时，有极大值f(x0,y0)，当A0时，有极小值f(x0,y0)；

2（2）当ACB0时，函数zf(x,y)在点(x0,y0)没有极值；

2（3）当ACB0时，函数zf(x,y)在点(x0,y0)可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论．

求函数zf(x,y)极值的步骤：

（1）解方程组fx(x0,y0)0，

fy(x0,y0)0，求得一切实数解，即可求得一切驻点

(x1,y1),(x2,y2)(xn,yn)

；

（2）关于每一个驻点(xi,yi)(i1,2,n)，求出二阶偏导数的值A,B,C；

（3）确信ACB的符号，按定理2的结论判定f(xi,yi)是不是是极值，是极大值仍是极小值；

2（4）考察函数f(x,y)是不是有导数不存在的点，假设有加以判别是不是为极值点．

22zxy例3．考察是不是有极值．

解 因为

zxxx2y2，

zyyx2y2在x0,y0处导数不存在，可是对所有的(x,y)(0,0)，均有

f(x,y)f(0,0)0，因此函数在(0,0)点取得极大值．

注意2．极值点也不必然是驻点，假设对可导函数而言，如何？

例4．求函数

f(x,y)x3y33x23y29x

的极值．

2fx3x6x90fy3y26y0解 先解方程组，求得驻点为(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)，

f0f6y6再求出二阶偏导函数fxx6x6，xy，yy．

在点(1,0)处，

ACB2126720

，又A0，因此函数在点(1,0)处有极小值为f(1,0)5；

2在点(1,2)处，ACB720，因此f(1,2)不是极值；

2在点(3,0)处，ACB720，因此f(3,0)不是极值；

2在点(3,2)处，ACB720，又A0，因此函数在点(3,2)处有极大值为f(3,2)31．

二．函数的最大值与最小值

求最值方式：

⑴ 将函数f(x,y)在区域D内的全数极值点求出；

⑵ 求出f(x,y)在D边界上的最值；即别离求一元函数f(x,1(x))，f(x,2(x))的最值；

⑶ 将这些点的函数值求出，而且相互较较，定出函数的最值．

实际问题求最值

依照问题的性质，明白函数f(x,y)的最值必然在区域D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么能够确信该驻点处的函数值确实是函数f(x,y)在D上的最值．

例4．求把一个正数a分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大．

解 设x,y别离为前两个正数，第三个正数为axy，

问题为求函数 uxy(axy)在区域D：x0，y0，xya内的最大值．

因为

uy(axy)xyy(a2xy)x

ux(a2yx)，y，

a2xy0aaxy3，3． 解方程组a2yx0 ，得

由实际问题可知，函数必在D内取得最大值，而在区域D内部只有唯一的驻点，那么函数必在该点处

a()3取得最大值，即把a分成三等份，乘积3最大．

另外还可得出，假设令zaxy，那么

axyz3uxyz()3()33 xyz3．

即

3xyz三个数的几何平均值不大于算术平均值．

三．条件极值，拉格朗日乘数法

22zxy引例 求函数的极值．

该问题确实是求函数在它概念域内的极值，前面求过在(0,0)取得极小值；

假设求函数zxy在条件xy122

下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数概念域上求极值，而只能在概念域的一部份xy1的直线上求极值，前者只要求变量在概念域内转变，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值．

22zxyy1x如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出，代入中，

得

zx2(1x)22x22x1

成为一元函数极值问题，令zx4x20，得

x1111z(,)2，求出极值为222．

可是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并非如此简单，咱们还有一种直接寻求条件极值的方式，可没必要先把问题化为无条件极值的问题，这确实是下面介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数取得极值的必要条件．

求函数zf(x,y)在条件

(x,y)0

下取得极值的必要条件．

假设函数zf(x,y)在(x0,y0)取得所求的极值，那么第一有 (x0,y0)0．

(x,y)0假定在(x0,y0)的某一邻域内函数zf(x,y)与均有持续的一阶偏导数，且y00．

有隐函数存在定理可知，方程(x,y)0确信一个单值可导且具有持续导数的函数y(x)，将其代入函数zf(x,y)中，取得一个变量的函数

zf(x,(x))

于是函数zf(x,y)在(x0,y0)取得所求的极值，也确实是相当于一元函数zf(x,(x))在xx0取得极值．由一元函数取得极值的必要条件明白

dzdxfx(x0,y0)fy(x0,y0)xx0dydx0xx0

，

而方程(x,y)0所确信的隐函数的导数为

x(x0,y0)y(x0,y0)

dydxxx0．

将上式代入

fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydx0xx0

中，得

x(x0,y0)0y(x0,y0)fx(x0,y0)fy(x0,y0)

，

因此函数zf(x,y)在条件(x,y)0下取得极值的必要条件为

x(x0,y0)f(x,y)f(x,y)0y00x00(x,y)y00(x0,y0)0

．

为了计算方便起见，咱们令

fy(x0,y0)

y(x0,y0)，

那么上述必要条件变成

fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x0,y0)0

，

容易看出，上式中的前两式的左端正是函数

F(x,y)f(x,y)(x,y)

的两个一阶偏导数在(x0,y0)的值，其中是一个待定常数．

拉格朗日乘数法

求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的可能的极值点．

⑴ 组成辅助函数

F(x,y)f(x,y)(x,y)

，（为常数）

⑵ 求函数F对x，对y的偏导数，并使之为零，解方程组

fx(x,y)x(x,y)0fy(x,y)y(x,y)0(x,y)0

得x,y,，其中x,y确实是函数在条件(x,y)0下的可能极值点的坐标；

⑶ 如何确信所求点是不是为极值点？在实际问题中往往可依如实际问题本身的性质来判定．

拉格朗日乘数法推行

求函数uf(x,y,z,t)在条件(x,y,z,t)0，(x,y,z,t)0下的可能的极值点．

组成辅助函数

F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)2(x,y,z,t)

其中1,2为常数，求函数F对x,y,z的偏导数，并使之为零，解方程组

fx1x2x0f01y2yyfz1z2z0ft1t2t0(x,y,z,t)0(x,y,z,t)0 

得x,y,z确实是函数uf(x,y,z,t)在条件(x,y,z,t)0，(x,y,z,t)0下的极值点．

注意：一样解方程组是通过前几个偏导数的方程找出x,y,z之间的关系，然后再将其代入到条件中，即能够求出可能的极值点．

例6.求表面积为a而体积为最大的长方体的体积．

2解 设长方体的三棱长别离为x,y,z，那么问题是在条件

(x,y,z)2xy2yz2xza20

下，求函数vxyz (x0,y0,z0)的最大值．

组成辅助函数

F(x,y,z)xyz(2xy2yz2xza2)

，

求函数F对x,y,z偏导数，使其为0，取得方程组

yz2(yz)0xz2(xz)0xy2(xy)022xy2yz2xza0

(1)(2)(3) (4)

(2)xxz由(1)，得 yyz， 即有，

，

，

可得xyz，将其代入方程

中，得

(3)y (2) ， 得 zxyxz，

x(yz)y(xz),xy

y(xz)z(xy),yz

2xy2yz2xza20

由

xyz6a6．

这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值必然存在，因此最大值确实是在这可能的极值点

663ava2a636处取得，即在表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最大，最大体积为．

222xyz4上求出与点(3,1,1)距离最近和最远的点． 例7．试在球面

解 设M(x,y,z)为球面上任意一点，那么到点(3,1,1)距离为

d(x3)2(y1)2(z1)2

可是，若是考虑d，那么应与d有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取

2

f(x,y,z)d2(x3)2(y1)2(z1)2

，

又因为点M(x,y,z)在球面上，附加条件为

(x,y,z)x2y2z240

．

组成辅助函数F(x,y,z)

(x3)2(y1)2(z1)2

(x2y2z24)．

求函数F对x,y,z偏导数，使其为0，取得方程组

2(x3)2x02(y1)2y02(z1)2z0222xyz4 

(1)(2)(3)(4)

之前三个方程中能够看出x,y,z均不等于零（不然方程两头不等），以作为过渡，把这三个方程联系起来，有

x3y1z1xyz

311xyz， 或

222xyz4中，得 x3z,yz故，将其代入

222(3z)(z)z4，

求出

z211，再代入到x3z,yz中，即可得

x6y11，211，

从而得两点

(622622,,)(,,)111111，111111，

对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，因此最近点为

(622622,,)(,,)111111，最远点为111111．