福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题(含详细答案)

厦门外国语学校高二入学考试

数学试题

(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．

2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．

第I卷 （选择题 60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． ．．．

1．已知全集U{1,2,3,4,5,6.7},A{2,4,6},B{1,3,5,7}.则A(CUB）等于 （ ）

A．{2，4，6}

2B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，5}

2.如果函数f(x)x2(a1)x2在区间,4上单调递减，那么实数a的取值范围是（ ）

A．a≥3 B． a≤3 C．a≥5 D．a≤5 3.已知直线l过点P(2,1)，且与直线2xy10互相垂直，则直线l的方程为

A．x2y0 B． 2xy30 C．x2y40 D．2xy50 4.sin1100cos400cos700sin400

1331 B． C． D．22 225.直线l经过点(1,2)，且倾斜角是直线yx倾斜角的2倍，则以下各点在直线l上的是 A．

A． (1,1)

B． (2,2)

C．(2,1)

D．(2,0)

6.已知a，b满足：|a|3，|b|2，|ab|4，则|ab|( )

A．3 B．5 C．3 D．10 7.已知m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列判断正

C 1 / 15

DEAB

确的是

A．若m//，//,则m// B．若m,n,m//,n//，则//

C．若m//n,m,//，则n D．若m,,则m

8.如图，在ABC中，BAC900，ABAC2，E是边BC的中点，D是边AC上一动

点，则AEBD的取值范围是

A．[0,2] B．[2,0] C．[0,22] D．[22,0]

9.已知线段PQ的中点为M(0,4)，若点P在直线xy20上运动，则点Q的轨迹方程是 A．.xy60 B．xy60 C．xy20 D．xy20 10.某几何体的三视图如右所示，则该几何体的表面积为 A．

3326B．7 C．12 D．26

211.已知直线x2yn0与圆O:x2y24交于A,B两点，若AOB60，则实数n的值为 A．15 B．215 C．15 D．215

12.在空间直角坐标系Oxyz中，四面体SABC各顶点坐标分别

S(1,1,2),A(3,3,2),B(3,3,0),C(1,3,2)，则该四面体外接球的表面积是

A．16 B．12 C．43 D． 6

第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．已知向量a(0,1),b(1,m),c(1,2)，且(ab)//c，则m= .

14.把a20.5，blogπ3，clog20.5从大到小的顺序排列

15．已知tan()3，tan4，则tan ．

16．已知函数f(x)Asin(x)（其中A0，0,0）的图象关于点M(512,0)成中心对称,且与点M相邻的一个最低点为(23,3)，则对于下列判断： ①直线x2是函数f(x)图象的一条对称轴；②函数yf(x3)为偶函数；

③函数y1与yf(x)(12x12)的图象的所有交点的横坐标之和为. 2 / 15

其中正确的判断是 ．（写出所有正确判断的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17．（本题满分10分）已知点A(m,3)和B(5,m)，直线AB的斜率为3． （Ⅰ）求直线AB的方程；

（Ⅱ）若点P在直线xy0上，且APB为直角，求点P的坐标.

18（本题满分12分）已知关于x,y的方程C:xy2x4ym0． （Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；

（Ⅱ）若圆C与圆xy8x12y360外切，求m的值； （Ⅲ）若圆C与直线l:x2y40相交于M,N两点，且MN222245，求m的值． 5

19. （本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴的非负半轴为始边作两个锐角,，它们的终边分别与单位圆交于A,B两点．已知A,B的横坐标分别为23，． 105

yABβxα 3 / 15

O

sin2sincos（Ⅰ）求的值；

sincos6cos2（Ⅱ）求的大小．

xxx20.（本题满分12分）已知向量a(cos,2sincos)，b(1,1)，f(x)ab.

222（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）若f(2)

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)23sinxcosx2cos2x． （Ⅰ）求f(22cos2(1tan)，求的值. 31tan（4分） )的值；

24（Ⅱ）若函数f(x)在区间[m,m]上是单调递增函数，求实数m的最大值；（5分）

（Ⅲ）若关于x的方程f(x)a0在区间(0,)内有两个实数根x1,x2(x1x2)，

2分别求实数a与

11的取值范围．（5分） x1x2 4 / 15

22．（本题满分12分）已知圆P过点M(0,2),N(3,1)，且圆心P在直线l:xy0上，过点Q(1,1)的直线交圆P于A,B两点，过点A,B分别做圆P的切线，记为l1,l2. （Ⅰ）求圆P的方程；

（Ⅱ）求证：直线l1,l2的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.

5 / 15

厦门外国语学校高二入学考试答案

1-12：A BC AA D CB ACCB 13-16：3; a,b,c; 17．(本题满分10分)

解法一：（Ⅰ）∵直线AB的斜率kAB7;②③ 113(m)3, ………………………………1分

m5∴m3，∴A(3,3), ……………………………………………………3分 ∴直线AB的方程为y33(x3)

即3xy120.（或y3x12）…………………………………5分 （Ⅱ）设P(a,a),由（Ⅰ）得A(3,3)，B(5,3)

∴PA(3a,3a)，PB(5a,3a)………………………………6分 又

APB为直角

∴PAPB(3a)(5a)(3a)(3a)0 …………………………8分 ∴a1或a3,……………………………………………………………9分 ∴P(1,1)或P(3,3). ………………………………………………10分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设P(a,a),由（Ⅰ）得A(3,3)，B(5,3)

①当a3且a5时，直线PA,PB的斜率存在，由已知得，

kPAkPBa3a31， ………………………7分 a3a5a1，P(1,1) …………………………………………………8分

②当a3时，直线PA的斜率不存在，点P(3,3)，此时APB为直角

6 / 15

③当a5时直线PB的斜率不存在，点P(5,5)，此时APB不是直角 ……………………………………………………………………9分 综上所述，P(1,1)或P(3,3). ………………………………………10分

解法三：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）

APB为直角

点P在以AB为直径的圆M上， …………………………………6分

又M(4,0)，|AB|210 圆M的方程为(x4)2y210， …………………………………8分

由xy0x1,(x4)2y210得y1,或x3,y3. P(1,1)或P(3,3)………………………………………………10分

18．(本题满分12分)

.解：（1）方程C可化为 (x1)2(y2)25m，

显

然

5m0时,即m5时方程

C表圆． ………………………………………………3分

（2）由（1）知圆C的圆心为(1,2)，半径为5m，

x2y28x12y360可化为(x4)2(y6)216，

故圆心为(4,6)，半径为4． 又两圆外切， 所以(41)2(62)25m4，

即55m4，可得m4．………………………………………………7分 （3）圆C的圆心(1,2)到直线l:x2y40的距离为

d1224，122215………………………………………………9分

7 / 15

示

由

MN45125,则MN525，

又

1r2d2(MN)2，

2所以5m(52252)(),得 m4． ……………………………12分 5519．(本题满分12分)

272,) ………………………………………………1分 1010解法一：（Ⅰ）由题意得，A(tan7 …………………………………………………………………3分

sin2sincostan2tan …………………………………………5分 2sincos6costan672756 …………………………………………6分 76344（Ⅱ）由题意得，B(,)，tan ……………………………………………7分

553tan()tantan ……………………………………………8分

1tantan43 ……………………………………………………9分 417371 ………………………………………………………………10分

又

,是锐角 0, ……………………………………………11分

3 ……………………………………………………………………12分 4272,) ………………………………………………1分 1010解法二：（Ⅰ）由题意得，A(sin72, ………………………………………………………………2分 10 8 / 15

cos2， ………………………………………………………………… 3分 10722722)sinsincos101056 ……………………………6分 10 2sincos6cos72226()21010102(3443（Ⅱ）由题意得，B(,)，sin,cos………………………………………7分

5555cos()coscossinsin …………………………………………8分

237242 …………………………………………10分 1051052又,是锐角 0 ……………………………………………11分

3 ……………………………………………………………………12分 4xxx20.解法一：（Ⅰ）∵f(x)cos2sincos………………………………….1分

222 2(sinxxcos) ……………………………….2分 22x22sin()24 …………………………3分

由2kx2k，kZ ……….….……………4分 22423x4k，kZ…………………..…………………5分 22解得4k3∴ 函数f(x)的单调递增区间为[4k,4k]kZ………………6分

22（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(2)2(sincos)

sincos2. ……………………………………………………8分 322...........................7分 3cos2(1tan)(cos2sin2)(cossin) …………………………………………

1tancossin…………10分

9 / 15

（使用余弦二倍角公式正确得1分，切化弦并化简正确得1分）

(cossin)2 …………….……….…………………….…11分

29 …………….……….……………..…….………..………12分

解法二：

（Ⅰ）同法一；................................................ 6分 （Ⅱ）

122，sin().………………………7分 f(2)22sin()4343cos2(1tan)(cos2sin2)(cossin)∴…………………..….…………9分

1tancossin（使用余弦二倍角公式正确得1分，切化弦并化简正确得1分）

(cossin)2…………….……….…………………….……10分

[2sin()]24…………….……….…………….…….….…11分 29…………….……….……………..…….………..…………12分

21. (本题满分12分)

解：（Ⅰ）∵f(x)3sin2xcos2x1……………………………………………………1分

2(31sin2xcos2x)1 222sin(2x)1……………………………………………………3分

6∴

f()2sin()12sin121……………………………………………………4241264分

（Ⅱ）由2k2x2k,kZ 262xk,kZ 36区

间

k,k(kZ)36得k∴

f(x)在上是增函

数……………………………………………………5分 ∴

当

k0时，f(x)在区间

3,6上是增函

10 / 15

数……………………………………………………6分 若

函

数

f(x)在区间[mm,上是单调递增函数，则

[mm,]7分 [……………………………,]36m6∴m， 解得0m……………………………………………………8分

36m0∴m的最大值是

 6（Ⅲ）解法1：方程f(x)a0在区间(0,)内有两实数根x1,x2(x1x2)等价于

2直线ya与曲线f(x)2sin(2x)1（0x）有两个交点.

62时， 由（Ⅱ）知f(x)2sin(2x)1在0,上是增函数，在,上26662是减函数， 且f(0)2,f()3,f()0,

62∵当0x ∴ 2a3

即实数a的取值范围是(2,3)……………………………………………………10分 ∵函数f(x)的图象关于x∴x1x2对称 6. 3. 6∵x1x2，∴0x111xx33∴123. x1x2x1x2x1x2x(x)x2x111133∵函数yx221x在(0,)内递增 362∴xx1(0,)

336∴

1112(,) x1x212的取值范围为(,). ……………………………………………………12分

 11 / 15

解法2：设t2x(0x)，则g(t)2sint1，t(,)

6662方程f(x)a0在区间(0,)内有两实数根x1,x2(x1x2)等价于

2直线ya与曲线g(t)2sint1，t(,)有两个交点.

66g(t)2sint1在,上是增函数，在,上是减函数，

6226 且g()2,f()3,f()0,

626 ∴ 2a3

即实数a的取值范围是(2,3)……………………………………………………10分 以下同上.

22．(本题满分12分)

解法一：（Ⅰ）设圆P的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则

ab0222(0a)(2b)r ………………………………………………2分 222(3a)(1b)r（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）

解得ab0,r24, ………………………………………………3分 ∴圆P的方程为x2y24 ………………………………………………4分 （Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线l1,l2的交点F(x0,y0)

若E(x,y)为直线l1上任意一点，则 AEOA0,得x1(xx1)y1(yy1)0，

∵x12y124,

∴x1xy1y4，即A处的圆P的切线方程l1:x1xy1y4，……………5分 同理可得，在点B处的圆P的切线方程为l2:x2xy2y4 ………………6分 由直线l1,l2过点F(x0,y0)

12 / 15

∴x1x0y1y04,x2x0y2y04, ……………………………………8分 ∴点A,B满足方程x0xy0y4

即直线AB的方程为x0xy0y4 ， ……………………………………10分 又直线AB过点Q(1,1)

∴x0y04，即x0y040 ……………………………………………11分 ∴直线l1,l2的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为xy40. …12分

解法二：（Ⅰ）设圆P的方程为x2y2DxEyF0，则

222EF022(3)13DEF0………………………………………………2分 DE022（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）

解得DE0,F4 ………………………………………………3分 圆P的方程为x2y24 ………………………………………………4分

（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，E(x,y)为直线l1上任意一点， 由AEOA0,得x1(xx1)y1(yy1)0，

∵x12y124,∴x1xy1y4，即A处的圆P的切线方程l1:x1xy1y4， 同理B处的圆P的切线方程分别为l2:x2xy2y4， ……………………6分 ①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x1 x1 由2得A(1,3),B(1,3) 2xy4∴在点A,B处的切线方程分别为，l1:x3y40，l2:x3y40

13 / 15

x3y40x4由得

y0x3y40此时切线l1,l2的交点为G(4,0), ……………………………………………7分 当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为y1 y1由2得A(3,1),B(3,1) 2xy4∴在点A,B处的圆P的切线方程l1:3xy40，l2:3xy40 此时切线l1,l2的交点为H(0,4). ……………………………………………8分 ∴直线GH的方程为xy40. …………………………………………9分 ②当直线AB的斜率存在时,直线AB的方程为y1k(x1)，即ykxk1，

4y24y1x,xyxyx1xy1y4,1221由且x1y2x2y10,得 ……………………10分

xxyy4,4x4x2221y,xyxy2112∴xy44y24y14x24x14

x1y2x2y1x2y1x1y2(4y24y1)(4x24x1)4(x1y2x2y1)

x1y2x2y1(y2y1)(x2x1)(x1y2x2y1)

x1y2x2y1k(x2x1)(x2x1)[x1(kx2k1)x2(kx1k1)]

x1y2x2y1(k1)(x2x1)(k1)(x1x2)

x1y2x2y14440

∴当直线AB的斜率存在时,直线l1,l2的交点坐标满足方程xy40.

14 / 15

综上所述，直线l1,l2的交点都在直线同一条直线上，且该直线方程为 xy40. ………………………………………………………12分

解法三：（Ⅰ）设圆E的方程为(xa)2(yb)2r2

33,) 223…………………………………………………………1分 3弦MN的中点C(又kMN2103∴MN的垂直平分线的方程：y333(x) 22 即3xy0………………………………………………2分 圆心P是MN的垂直平分线与直线l的交点

a0ab0∴由，得，即圆心P(0,0)……………………………3分

b03ab0又半径r|PM|2

∴圆P的方程为x2y24 ………………………………………………4分

（Ⅱ）同解法一

15 / 15