有理数及其运算
正整数(如:1,2,3) 零(0)整数 负整数(如:1,2,3)※ 有理数 11正分数(如:,,5.3,3.8) 23分数负分数(如:1,1,2.3,4.8)
< 23
※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）
※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0）
※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。
※绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。 (
※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
a(a0)a(a0)|a|0(a0) 或 |a|
a(a0)a(a0)
-3 -2 -1 0 1 、 3 ※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；
互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0
※比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： '
①先求出两个数负数的绝对值；
②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
※绝对值的性质：
①对任何有理数a，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b，则a=±b *
④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
※有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； 、
③分母相同的数，可以先相加；
④几个数相加能得到整数，可以先相加。
※有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 ¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号； ②改变减数的性质符号（变为相反数）
有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。 ¤有理数的加减法混合运算的步骤：
| ①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；
②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。 （注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。） ※有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，积仍为0。
135※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与 、 与…等）
253
※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 .
¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。
¤乘积为1的两个有理数互为倒数。注意： ①零没有倒数
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。 ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
※有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
》
②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。
个a※有理数的乘方 n指数
aaaaan底数 幂 ※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；
）
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 ※乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数；
④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1； 。
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
※有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。
专题一：正数和负数
1、下列各数中，大于－
A.－
2 3
11小于的负数是（ ） 2211 B.－ C.
33
2、负数是指（ ）
）
A.把某个数的前边加上“－”号 B.不大于0的数 C.除去正数的其他数 D.小于0的数
3、关于零的叙述错误的是（ ）
A.零大于所有的负数 C.零是整数 4、非负数是（ ）
A.正数 B.零 )
B.零小于所有的正数
D.零既是正数，也是负数 C.正数和零
D.自然数
5、文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（ ） A.文具店 B.玩具店 C.文具店西40米处 D.玩具店西60米处 6、大于－的所有负整数为_____.
7、珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为____. 8、请写出3个大于－1的负分数_____.
9、某旅游景点一天门票收入5000元，记作+5000元，则同一天支出水、电、维修等各种费用600元，应记作_____. 10、某同学语、数、外三科的成绩，高出平均分部分记作正数，低出部分记作负数，如表所示
… 语文 数学 外语 科目 ~ +15 －3 成绩 －6 请回答，该生成绩最好和最差的科目分别是什么
专题二：数轴与相反数
1、下面正确的是（ ）
A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线 B.离原点近的点所对应的有理数较小
C.数轴可以表示任意有理数 D.原点在数轴的正中间
2、关于相反数的叙述错误的是（ ）
!
A.两数之和为0，则这两个数为相反数
B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数 C.符号相反的两个数，一定互为相反数 D.零的相反数为零
3、若数轴上A、B两点所对应的有理数分别为a、b，且B在A的右边，则a－b一定（ ）
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.无法确定 4、在数轴上A点表示－
11，B点表示，则离原点较近的点是_____. 32
5、两个负数较大的数所对应的点离原点较_____.
【
6、在数轴上距离原点为2的点所对应的数为_____，它们互为_____. 7、数轴上A、B、C三点所对应的实数为－
234，－，，则此三点距原点由近及远的顺序为_____. 3458、数轴上－1所对应的点为A，将A点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A点距原点的距离为_____. 9、在等式3215的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立。则第一个方格
内的数是__________.
10、写出大于－小于的所有整数，并把它们在数轴上表示出来..
专题三：绝对值
1、任何一个有理数的绝对值一定（ ）
[
A.大于0 B.小于0 C.不大于0 D.不小于0
2、若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b一定是（ ）
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、下列说法正确的是（ ）
A.一个有理数的绝对值一定大于它本身 B.只有正数的绝对值等于它本身
C.负数的绝对值是它的相反数 D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 4、下列结论正确的是（ ）
A.若|x|=|y|，则x=－y B.若x=－y，则|x|=|y| C.若|a|＜|b|，则a＜b D.若a＜b，则|a|＜|b|
~
5、一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____. 6、绝对值大于小于的所有负整数为_____.
7、甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于本身，请你猜一猜|a-b|=
8、某班举办“迎五一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么最高分高出最低分
多少
专题四：有理数的加减法
1、有理数a,b在数轴上对应位置如图所示，则a+b的值为（ ）
，
B.小于0 C.等于0
D.大于a
A.大于0
2、下列结论不正确的是（ ）
A.若a>0,b>0,则a+b>0 C.若a>0,b<0,则|a|>|b|,则a+b>0 3、如果|c|=－c，则c－
B.若a<0,b<0,则a+b<0
D.若a<0,b>0,且|a|>|b|,则a+b>0
1一定是（ ） 2D.可能为正数也可能为负数
A.正数 B.负数 4、下面等式错误的是（ ）
-
A.
111111－－=－(+) 235235
B.－5+2+4=4－(5+2)
C.(+3)－(－2)+(－1)=3+2－1 5、－－3－4=－(－2)－(+3)+(－4)
12与的相反数的绝对值之和是______. 236、已知a、b互为相反数，c是绝对值最小的数，d是负整数中最大的数，则a+b+c－d=_____. 7、若|2x－3|+|3y+2|=0，则x－y=_____. 8、计算： （1）－]
11531521152+－+ （2）－+－ （3）－3－(－2)+3 34673636465
9、已知a=2，b=－3，c=－1，计算|a－b|+|b－c－a|+|3b－4c|. 10、“学雷锋活动月”活动中，对某小组做好事情况进行统计如下表 》 小明 小红 小娟 姓名 小青 （ 18 好事件数 16 【 本人所做好事与人+3 0 均好事的差值 －4 （1）完成上表.
（2）谁做的好事最多，谁最少
（3）最多的比最少的多多少
^
11、10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)：2,3,－,－3,5,－8,,,8,－
这10名学生的总体重为多少10名学生的平均体重为多少
12、一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走千米到达商场C，又向西走了千米到达超市D，最后回到货场.
）
（1）用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A，批发部B，商场C，超市D的位置.
（2）超市D距货场A多远
（3）货车一共行驶了多少千米
专题五：有理数的乘除法
1、若mn>0,则m,n（ ）
A.都为正 B.都为负 C.同号 2、若m、n互为相反数，则（ ）
<0 >0 ≤0 ≥0
#
D.异号
3、下列结论正确的是（ ）
1111×3=1 B.|－|×=－ 37749C.－1乘以一个数得到这个数的相反数 D.几个有理数相乘，同号得正 4、如果两数之和等于零，且这两个数之积为负数，那么这两个数只能是（ ）
A.两个互为相反数的数 B.符号不同的两个数 C.不为零的两个互为相反数的数 D.不是正数的两个数
5、如果一个数的绝对值与这个数的商等于－1，则这个数是（ ）
》
A.－A.正数
B.负数
C.非正
D.非负
6、如果abcd＜0，a+b=0，cd＞0，那么这四个数中负因数的个数至少有（ ）
个 个 7、下列运算错误的是（ ）
A.
个 个
11÷(－3)=3×(－3) B.－5÷(－)=－5×(－2) 32－(－2)=8+2 ÷3=0
8、在某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低 ℃,已知山脚的温度是24 ℃,山顶的温度是4 ℃,试问这座山的高度是 米； （
9、计算：
(
117313155115)×(－48) (1)1×－(－)×2+(－)× 126424277227 (2)49
)
242541×(－5) （3）［4×(－)+(－÷(－)］×1 25314255
10、.某班举办数学知识比赛，共分五个小组，其中四个小组的成绩如表所示，请问
（1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高还是低为什么 （2）据（1）你能否判断第五组的成绩比全班平均分高，还是低
, 小组 第二组 第三组 第四组 第一组 | 15 13 12 14 人数 小组平均分与全班平均分的差值 ·
4 －3 －2 1
专题六：有理数的乘方
1、如果a2=a,那么a的值为（ ）
或0 #
D.－1
2、一个数的平方等于16，则这个数是（ ）
A.+4 B.－4 C.±4 3、a为有理数，则下列说法正确的是（ ）
>0 －1>0 +1>0 +1>0 4、下列式子中，正确的是（ ）
A.－102=(－10)×(－10)
=3×2 C.(－
D.±8
13111)=－×× 2222=32
5、（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______.
\"
6、n为正整数，则（－1）2n=_______,(－1) 2n+1=_______.
7、一个数的平方等于这个数本身，则这个数为_______；一个数的立方与这个数的差为0，则这个数是_______. 8、质点P从距原点1个单位的A点处向远点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1
的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为_______。
#
P P O AA、 P AA x
9、将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到 条折痕,如果对折n次,可以得到 条折痕.
%
第一次对折
第二次对折 第三次对折
10、我们平常用的数都是十进制数，例如：8321＝8×103＋3×102＋2×101＋1×100，表示十进制的数要用十个数码（又叫做数字）0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而在计算机中用的是二进制，它只有两个数码:0、1来表示.如二进制中101＝1×22＋0×21＋1×20等于十进制中的数5，再如10110＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20等于十进制中的数22，同学们你看出其中的规律了吗试一试你的能力吧: 二进制中101011等于十进制中多少呢
专题七：有理数的混合运算
1、下列各数中与（－2－3）5相等的是（ ）
B.－55 C.（－2）5+（－3）5 2、某数的平方是
A.
【
D.（－2）5－35
1 8
1，则这个数的立方是（ ） 4111 B.－ C.或－
888 D.+8或－8
D.－(－22)=4
3、下列语句中，错误的是（ ）
的相反数是－a 的绝对值是|a| C.(－1)99=－99
4、计算：(－3)2÷
15×0－=_______. 545、某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示。例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1∶00，那么这个地点就用代码010045来表示。按这种表示方式，南偏东40°方向78千米的位置，可用代码表示为 。
6、计算题
（1）－7×6×(－2) （2）(－20)×(－1)7－0÷(－4)
…
（3）(－2)2×(－1)3－3×［－1－(－2)］ （4）23－32－(－4)×(－9)×0
`
7、当x=－1,y=－2,z=1时，求(x+y)2－(y+z)2－(z+x)2的值.
8、计算：
(1)－33×(－5)+16÷(－2)3－｜－4×5｜+(
52－ 8
(2)(－1)－(－5
(4)25×
10、某股票经纪人，给他的股资者出了一道题，说明投资人的赢利净赚情况：（单位：元）
股票名称 天河 北斗
14)×+(－8)÷［(－3)+5］ (3)［0－(－3)］×(－6)－12÷［(－3)+(－8)÷6］ 2113111－(－25)×+25× (5)3+50÷22×(－) 4245每股净赚（元） +23 + 股数 500 1000 白马 海潮 －3 －（－2） 1000 500 23×500+［（+×1000+(－3)×1000］－［(－2)×500］
请你计算一下，投资者到底赔了还是赚了，赔或赚了多少元
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