重难点
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：
a(a0)a(a0)a(a0)①a0(a0) ②a ③a
a(a0)a(a0)a(a0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若abc0，则a0，b0，c0
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa，且aa； （2）若ab，则ab或ab；
aa(b0)； bb（3）abab；
（4）|a|2|a2|a2；
a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
ab的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．
例题精讲
【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A、±2 B、2 C、-2 D、4 【难度】1星
【解析】此题要全面考虑，原点两侧各有一个点到原点的距离为2，即表示2和-2的点． 【答案】根据题意，知到数轴原点的距离是2的点表示的数，即绝对值是2的数，应是±2．
故选A．
点评：利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题，体现了数形结合的数学思想．
1
【例2】下列说法正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A、②④⑤⑥B、③⑤C、③④⑤D、③⑤⑥
【难度】2星
【解析】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断． 【答案】①0是有理数，|0|=0，故本小题错误；
②互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题错误； ③互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题正确； ④有绝对值最小的有理数，故本小题错误；
⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的，所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，故本小题正确；
⑥只有符号不同的两个数互为相反数，故本小题错误． 所以③⑤正确． 故选B．
点评：本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点，熟知以上知识是解答此题的关键．
【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（ ）
A、2 B、-2 C、±2 D、 【难度】1星
【解析】根据题意可知：绝对值等于2的数应该是±2．
【答案】2的绝对值是2，-2的绝对值也是2，所以a的值应该是±2．
故选C．
点评：本题考查了绝对值的概念，学生要熟练掌握． 【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（ ）
A、11a B、-11a C、-3a D、3a
2
【难度】2星
【解析】：本题考查有理数的绝对值问题，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取
值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a； ③当a是零时，a的绝对值是零
【答案】：解：∵a＜0，
∴|a|=-a.4a+7|a|=4a+7|-a|=4a-7a=-3a． 选C．
【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A、1，0 B、正数 C、非正数 D、非负数 【难度】1星
【解析】：根据绝对值的性质进行解答即可．
【答案】解：因为一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，
所以一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是非负数． 故选D．
【例6】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ）
A、7或-7 B、7或3 C、3或-3 D、-7或-3
【难度】2星
【解析】先根据绝对值的定义求出x、y的值，再由xy＞0可知x、y同号，根据此条件求出x、y的对应值
即可．
【答案】解：∵|x|=5，|y|=2，
∴x=±5，y=±2， ∵xy＞0，
∴当x=5时，y=2，此时x-y=5-2=3； 当x=-5时，y=-2，此时x-y=-5+2=-3． 故选C．
3
点评：本题考查的是绝对值的性质及有理数的加减法，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
【例7】若
xx1，则x是（ ）
A、正数 B、负数 C、非负数 D、非正数
【难度】2星
【解析】本题作为选择题可用排除法进行解答，由于 值范围进行讨论即可． 【答案】：解：∵
是分式，
是分式，所以x≠0，故可排除C、D；再根据x的取
∴x≠0， ∴可排除C、D，
∵当x＞0时，原式可化为 =1，故A选项错误． 故选B．
点评：本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【例8】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A、1-b＞-b＞1+a＞a D、1-b＞1+a＞-b＞a C、1+a＞1-b＞a＞-b B、1+a＞a＞1-b＞-b 【难度】3星
【解析】根据绝对值的定义，可知a＞0，b＜0时，|a|=a，|b|=-b，代入|a|＜|b|＜1，得a＜-b＜1，由不
等式的性质得-b＞a，则1-b＞1+a，又1+a＞1，1＞-b＞a，进而得出结果．
【答案】∵a＞0，∴|a|=a；
∵b＜0，∴|b|=-b；
又∵|a|＜|b|＜1，∴a＜-b＜1； ∴1-b＞1+a； 而1+a＞1，
4
∴1-b＞1+a＞-b＞a． 故选D．
点评：本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的
绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．
【例9】已知a、b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）
A、2 B、2或3 C、4 D、2或4 【难度】2星
【解析】根据互为相反数的两数和为0，又因为|a-b|=6，可求得b的值，代入即可求得结果判定正确选项． 【答案】∵a、b互为相反数，
∴a+b=0， ∵|a-b|=6， ∴b=±3， ∴|b-1|=2或4． 故选D．
点评：此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b的值，再确定绝对值符号中代数式的正负，去绝对值符号．
【例10】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ） A、6 B、-4 C、-2a+2b+6 D、2a-2b-6 【难度】2星
【解析】：根据已知条件先去掉绝对值即可求解． 【答案】解：∵a＜0，ab＜0，
∴b-a+1＞0，a-b-5＜0， ∴|b-a+1|-|a-b-5| =b-a+1+a-b-5 =-4． 故选A．
5
【例11】若|x+y|=y-x，则有（ ）
A、y＞0，x＜0 B、y＜0，x＞0 C、y＜0，x＜0 D、x=0，y≥0或y=0，x≤0 【难度】4星
【解析】根据绝对值的定义，当x+y≥0时，|x+y|=x+y，当x+y≤0时，|x+y|=-x-y．从中得出正确答案．：【答案】解：∵|x+y|=y-x，
又当x+y≥0时，|x+y|=x+y，可得x=0，y≥0或者y=0，x≤0 又当x+y≤0时，|x+y|=-x-y，可得y=0，x≤0或x=0，y≥0 ∴x=0，y≥0或y=0，x≤0 选D．
点评：此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出x，y的值是解答此题的关键． 【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）
A、是正数 B、是负数 C、是零 D、不能确定符号
【难度】4星
【解析】：先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小，再画出数轴确定出各点在数轴上的位
置，根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值，使原式得到化简．
【答案】：解：由题意可知，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0
【例11】给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；
（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若|m|＞m，则m＜0；
（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（ ）
A、（1）（2）（3） B、（1）（2）（4） C、（1）（3）（4） D、（2）（3）（4） 【难度】3星
【解析】：分别根据绝对值的性质、相反数的定义进行解答．
6
【答案】解：（1）正确，符合绝对值的性质；
（2）正确，符合绝对值的性质； （3）正确，符合绝对值的性质； （4）错误，例如a=-5，b=2时，不成立． 故选A．
（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数，叫互为相反数；
（2）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【例12】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _________
【难度】3星
【解析】：根据图示，可知有理数a，b，c的取值范围b＞1＞a＞0＞c＞-1，然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c-b|-|b-a|-|a-c|的值．
【答案】：解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞-1，
∴|c-b|-|b-a|-|a-c| =-c+b-b+a-a+c =0
故答案是0．
点评：本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较． 【例13】若x＜-2，则|1-|1+x||=______
若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________ 【难度】3星
【解析】根据已知x＜-2，则可知1+x＜0，x+2＜0；再根据绝对值的定义|1-|1+x||逐步去掉绝对值可转化
为-2-x
根据已知|a|=-a与绝对值的定义，那么a≤0，则|a-1|-|a-2|可去掉绝对值后
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【答案】∵x＜-2，∴1+x＜0，x+2＜0，
则|1-|1+x||=|1-[-（1+x）]|=|2+x|=-2-x； ∵|a|=-a， ∴a≤0，
∴a-1＜0，a-2＜0，， 则|a-1|-|a-2|=1-a-（2-a）， =1-a-2+a， =-1．
故答案为：-2-x，-1．
点评：此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出1+x＜0、x+2＜0、a≤0 进而得出a-1
＜0、a-2＜0，这些是解答此题的关键
a1【例14】
2b20b的值 ，分别求a，
【难度】3星
【解析】根据平方和绝对值的非负性解决。
2a10,b20【答案】可得a10,b20；所以a1,b2
【例15】x1x54的最小值是_______ 【难度】4星 【解析】根据绝对值的定义，对本题需去括号，那么牵涉到x的取值，因而分①当x＜-1；②当-1≤x≤5；③当x＞5这三种情况讨论该式的最小值． 【答案】①当x＜-1，|x+1|+|x-5|+4=-（x+1）+5-x+4=8-2x＞10， ②当-1≤x≤5，|x+1|+|x-5|+4=x+1+5-x+4=10， ③当x＞5，|x+1|+|x-5|+4=x+1+x-5+4=2x＞10； 所以|x+1|+|x-5|+4的最小值是10． 故答案为：10． 8
点评：本题主要考查了绝对值的定义．如何去掉绝对值是解决本题的关键，因而采用了对x的取值讨论，去掉绝对值，进而确定式子的最小值． 【例16】计算 【难度】4星
【解析】根据绝对值的定义，去掉绝对值符合，化简求值． 【答案】= =
=
=
=
故答案为
点评：解决本题的关键是去掉绝对值符号后，部分数值恰好是互为相反数，其和等于0． 【例17】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________ 【难度】4星
【解析】根据绝对值的性质进行化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是
0．
【答案】∵|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，
∴a≤0，b≤0，c≥0， ∴a+b≤0，c-b≥0，a-c≤0， ∴原式=-b+a+b-c+b-a+c=b． 故答案为b．
点评：此题考查了绝对值的性质，同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号． 【例18】已知：abc≠0，且M=
，当a，b，c取不同值时，M有 ____种不同可能．
当a、b、c都是正数时，M= ______；
当a、b、c中有一个负数时，则M= ________；
9
当a、b、c中有2个负数时，则M= ________； 当a、b、c都是负数时，M=__________ ．
【难度】4星
【解析】：根据abc≠0，可以知道，a、b、c一定不可能是0，可以分三个中都是正数，只有一个负数，有2个负数，3个都是负数，4种情况进行讨论即可． 【答案】当a、b、c中都是正数时，M=1+1+1=3；
当a、b、c中有一个负数时，不妨设a是负数，则M=-1+1+1=1； 当a、b、c中有2个负数时，不妨设a，b是负数，则M=-1-1+1=-1； 当a、b、c都是负数时，M=-1-1-1=-3； 故M有4种不同结果．
课堂检测
1. 若a的绝对值是 ，则a的值是（ ） A、2 B、-2 C、 D、 【难度】1星
【解析】：根据绝对值的意义可知：表示数a的点与原点的距离为 ，这样的点有两个，分别在原点的左
右两侧．求出即可．
【答案】解：∵|a|= ，∴a=
故选D．
点评：此题注意考查绝对值的意义，应多让学生借助数轴，直观的观察、总结、归纳结论． 2. 若|x|=-x，则x一定是（ ）A、负数 B、负数或零 C、零 D、正数 【难度】1星
【解析】：根据绝对值的性质进行解答即可．
．
10
【答案】：解：A、错误，例如x=0时不成立；
B、正确，符合绝对值的性质； C、错误，x＜0时原式仍成立； D、错误，例如|5|≠-5． 故选B．
点评：本题考查的是绝对的性质，根据已知条件判断出x的取值范围是解答此题的关键．
2. 如果|x-1|=1-x，那么（ ）
A、x＜1 B、x＞1 C、x≤1 D、x≥1 【难度】1星
【解析】：根据|x-1|=1-x可确定x-1的符号，再根据不等式的性质解答即可． 【答案】：解：∵|x-1|=1-x，
∴x-1≤0， ∴x≤1． 故选C．
点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
在确定x与1的大小关系时要利用不等式的相关性质．
3. 若|a-3|=2，则a+3的值为（ ）A、5 B、8 C、5或1 D、8或4 【难度】2星
【解析】：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出a的值，再把a的值代入a+3进行计算即可． 【答案】：解：当a-3≥0，即a≥3时，原不等式可化为a-3=2，a=5，故a+3=5+3=8；
当a-3＜0，即a＜3时，原不等式可化为-a+3=2，a=1，故a+3=1+3=4． 故a+3=8或4． 故选D．
点评：本题考查的是绝对值的性质，解答此题题目是要注意分类讨论，不要漏解．
4.若x＜2，则|x-2|+|2+x|=________________
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【难度】2星
【解析】：已知x＜2，可得x-2＜0，先分类讨论，然后根据绝对值的性质进行求解． 【答案】：解：∵x＜2，
∴x-2＜0， ①若-2≤x＜2，
∴|x-2|+|2+x|=-（x-2）+2+x=4； ②x＜-2， ∴x+2＜0，
∴|x-2|+|2+x|=2-x-2-x=-2x． 故答案为：4或-2x．
点评：此题主要考查绝对值的性质，当x＞0时，|x|=x；当x≤0时，|x|=-x，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，是一道好题． 5. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________ 【难度】2星
【解析】根据绝对值的概念，即数轴上表示数的点到原点的距离叫这个数的绝对值，结合数轴，知绝对值
小于6的所有整数分别是±1，±2，±3，±4，±5，0，进一步求得其和与积．
【答案】绝对值小于6的所有整数分别是±1，±2，±3，±4，±5，0．
则它们的和是0，积是0． 故答案为0，0．
点评：此题考查了绝对值的意义以及有理数的加法和乘法运算．互为相反数的两个数的和是0；几个数相乘，若其中一个因数为0，则积为0．
6.如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为 __________
【难度】3星
【解析】先根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再根据绝对值的性质进行解答即可．
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【答案】∵由数轴上a、b两点的位置可知，-1＜a＜0，b＞1， ∴a+b＞0，b-a＞0， ∴原式=-a+b+a+b+b-a=3b-a． 故答案为：3b-a．
点评：本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点，能根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．
7. 已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，则x+y的值为 _________ 【难度】3星
【解析】若|x|=2，|y|=3，则x=±2，y=±3；又有xy＜0，则xy异号；故x+y=±1． 【答案】∵|x|=2，|y|=3，
∴x=±2，y=±3， ∵xy＜0， ∴xy符号相反，
①x=2，y=-3时，x+y=-1； ②x=-3，y=3时，x+y=1． 故答案为：±1．
点评：本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
总结复习
1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
13
课后作业
【难度】1星
1.（2011•济南）-19的绝对值是________
【解析】直接根据绝对值的性质进行解答即可． 【答案】：解：∵-19＜0，
∴|-19|=19． 故答案为：19．
点评：本题考查的是绝对值的性质，用到的知识点为：负数的绝对值是它的相反数．
2. 如果|-a|=-a，则a的取值范围是（
A、a＞O B、a≥O C、a≤O D、a＜O
【难度】1星
【解析】：根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．若|-a|=-a，则可求得a
的取值范围．注意0的相反数是0．
【答案】：解：因为一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0或相反数，所以如果|a|=-a，那么a
的取值范围是a≤0． 故选C．
点评：此题考查的知识点是绝对值，关键明确绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
3. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个． 【难度】2星
【解析】先根据题意列出不等式组，求出x的取值范围，在x的取值范围内找出符合条件的x的整数值即
可．
14
【答案】由题意得 ，
解得1＜x≤5或-5≤x＜-1，
所以x的值可以是2、3、4、5或-2、-3、-4、-5共8个． 故答案为：8．
点评：本题考查的是绝对值的性质及一元一次不等式组的特殊解，根据题意列出不等式组是解答此题的关键．
4.绝对值最小的有理数是 _________．绝对值等于本身的数是________． 【难度】1星
【解析】根据绝对值的定义及性质来解答．
【答案】绝对值等于本身的数是非负数．绝对值最小的有理数是0．
故答案为：0、非负数．
点评：本题考查了绝对值的定义．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5. 当x __________时，|2-x|=x-2． 【难度】2星
【解析】因为x-2和2-x互为相反数，即一个数的绝对值等于它的相反数，所以2-x≤0，即可得到答案． 【答案】∵x-2=-（2-x），，|2-x|=x-2，
∴2-x≤0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2．
点评：本题考查对绝对值和相反数的理解和掌握，知一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是负数是解此题的关键．
6.如图，有理数x，y在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________
【难度】3星
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【解析】依据x，y在数轴上的位置比较大小，在此基础上化简给出的式子． 【答案】根据数轴图可知：x＞0，y＜-1，
∴|y-x|=x-y，|y+1|=-1-y，|x|=x； ∴|y-x|-3|y+1|-|x|=x-y+3（1+y）-x=2y+3．
点评：考查绝对值的运算，先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号．借助数轴化简含有绝对值
的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势． 7. 若3x2y30，则【难度】3星 【解析】根据绝对值的非负性来解决。 【答案】由x20,y30可得：x20,y30所以x2,y3所以
y的值是多少？ x3y= x2 16
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