初高中数学教学衔接内容

初中高中教材衔接内容

组稿者 李娜娜 张贵江 2007-8-28

近阶段发现同学们对一些必要与初中衔接的数学知识及方法,掌握不好,现归纳如下,与同学们共享. 第一讲 十字相乘法

我们在前面研究了a22abb2这样的二次三项式，那么对于x25x6，

3x211x10这样的二次三项式，各项无公因式，不能用提公因式法，又

不能凑成完全平方公式的形式，应怎样分解？

我们来观察x25x6x2(23)x23x22x3x23

x(x2)3(x2)(x2)(x3)

又有在我们学习乘法运算时有：(xa)(xb)x2(ab)xab 因此在分解因式中有x2(ab)xab(xa)(xb) 注意观察上式的系数。

对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式x2pxq，它的常数项可看作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b，q=ab时，

x2pxqx2(ab)xab(xa)(xb)

用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。

例1：分解因式： （1）x25x6 （2）x24x21

分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后

利用来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常

数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。

解：（1）原式=(x-2)(x-3)

112136325

（2）原式=(x+3)(x-7)

1131721374

例2：分解因式 （1）x42x28 （2）(ab)24(ab)3

分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解，如（1）可以看作关于x2的二次三项式（2）可以看作关于（a+b）的二次三项式。

解：（1）原式(x22)(x24)

(x22)(x2)(x2)

112148242

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（2）原式=(a+b-1)(a+b-3)

111133134

例3：分解因式 （1）x23xy2y2

（2）3a2x215a2xy42a2y2

分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字母，如（1）可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。（2）应先进行公因式的提取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。

解：（1）原式=(x-2y)(x-y)

112y21y2y2yy3y

（2）原式3a2(x25xy14y2)

3a2(x7117y2y)(x2y) 12y14y7y2y5y

例4：分解因式：

（1）2x27x3（2）4x4y25x2y29y2

分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断试一试几种可分的情况，同时注意符号的合理匹配。

解：（1）原式=(x-3)(2x-1)

213213617 （2）原式y2(4x45x29)

y2(x21)(4x29)

y2(x21)(2x3)(2x3)

411499495 例5：分解因式

（1）(x22x2)7(x22x)8 （2）x22x15ax5a

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十

字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合。

解：（1）原式(x22x1)(x22x8)

(x1)2(x2)(x4) 111188187 112148242 （2）原式(x22x15)(ax5a)

(x3)(x5)a(x5)(x5)(x3a)

1131515352

注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解。

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第二讲 一元二次方程

一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．

1、 概念:方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 称为一元二次方程． 2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法． 3、 对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当

△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

当△＜0时，方程无实数根．

练习：1、 只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的整式方程叫做一元二次方程，它的一般形式是__________.

⒉ 一元二次方程的二次项系数α是______实数.

⒊ 方程ax2+bx+c=0 (a≠ 0，b2－4ac≥0) 的两个根

，x2=_____.

⒋ 一元二次方程的解法有______, ______, ______, _______等，简捷求解的关键是观察方程的特征，选用最佳方法. ⒌ 应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0 (b2－4ac≥0)时，第一步是把方程的常数项移到等号的右边，得ax2+bx=－c；第二步把方程两边同除以a，得x2+

；紧接方程两边同时加上_____，并配方

得________.

⒍ 对于实系数的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠ 0) △=b2－4ac称为此方程根的判别式且有如下性质：

(1)△>0 二次方程有两个________实数根；

(2)△=0 二次方程有两个________实数根； (3)△<0 二次方程________实数根.

这些性质在解题中主要的应用如下：(1)不解方程判断_________的情况；

(2)求方程中的参数值、范围或相互关系；

(3)判定二次三项式在实数范围内 ________分解因式. ⒎ (1)若一元二交方程ax2+bx+c=0 （a≠ 0）的两个根为x1,x2，则x1+x2=_____，x1x2=_______. （韦达定理）

(2)若x1,x2是方程x2+px+q=0的二根，则p=______, q=_______，以实数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________. ⒏ 根与系数关系主要应用是：

(1)求作________方程；

(2)求含有根有关代数式的值；

(3)确定字母系数_______以及字母系数之间关系. (4)验根，求根式确定_______符号. (5)解特殊方程式_________.

⒐ 注意根与系数式关系与根的判别式配合使用.

【学法指要】

例1. 解方程：x2－3x+2=0

思路分析1：此方程左边是二次三项式，它引起我们联想二次三项式的因式分解──十字相乘法，可在这条道路上探索，找到解题思路.

思路分析2：此方程是一元二次方程的标准形式，因已知a=1, b=－3, c=2，由此可知应用求根公式可解.

观察本例，可发现它的结构符号二次三项式及一元二次方程的标准形式，使我们把陌生的一元二次方程与十字相乘法，求根公式这些熟知的问题连在一起，化陌生为熟悉.“化陌生为熟悉”这种重要的数学思维方法，是解决新问题常用方法，当你遇到新问题时，不妨用此法一试，它确定可助你一臂之力！

一道新问题解决以后，除分享胜利喜悦外，还要静心回忆一下，通过问题解决，我们学习了什么？如本例， 我们学习了

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用因式分解法，求根公式法解一元二次方程，又学习了“转化”思想，继续探索还会有什么新的发现，新的收获吗？这也是我们获取知识，提高数学素养的重要途径之一.如本例，经过探索，观察可发现a+b+c=1+(－3)+2=0，它的根是x1=1, x2=2是不是a+b+c=0它们必有一个根是1呢？另一个根是常数项呢？再选几 由(3)得 4n=m2+8m－8 代入(1),(2)并化简，得 解得

例进行探索.

解方程：（⒈）x2+5x－6=0 （⒉）2x2－3x+1=0 （⒊）199x2－2000x+1=0 „„„„„„„

⒈ 的方程解为x1=1 x2=－6 ⒉ 的方程解为x1=1 x2= ⒊ 的方程解为x1=1 x2=

由以上可以发现，当a+b+c=0 →x 1=1, x2=，这一重要发 现给我们解所类方程提供十分简捷的方法──观察法.下面提供几例，给读者练习.解方程： ⒈x2－14x+13=0

⒉1949x2－1999x+50=0 ⒊x2－(4+

)x+3+

=0

⒋x2－2000x+1999=0

1. 已知m,n为整数，关于x的三个方程：x2+(7－m)x+3+n=0有两个不相等的实数根；x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等实数根； x2－(m－4)x+n+1=0没有实数根. 求m,n的值 。 依题意有：（答案学生写出）

∵m为整数，∴m=2 ∴n=3

162－4n=400－28

∴4n=－116 , ∴n=－29

∵m=4，n=－29满足m4－4n≥0 ∴m=4，n=－29

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第三讲 一元二次方程的根与系数的关系

例1：已知，x1、x2是关于x的一元二次方程ax2bxc0 (a0)的两根。

求证：

x1x2baxxc12a

分析：由求根公式xbb24ac2a计算一下x1x2，x1x2可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。

证明：由求根公式有：xbb24ac2a，xbb24ac122a

bb24acbb2∴

xx4ac2bb122a2a2aa xbb24acbb24ac1x22a2a

(b)2(b24ac)b2b24acc4a24a2a 注：韦达定理当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x的方程

x2pxq0时，x1x2p，x1x2q也很常用。

例2：已知：x1、x2是方程x25x20两个实数根。

1求：①x1x2②x1x2③x112221x2④x1x22⑤x31x32⑥x1x2 ⑦(x11)(x21)

分析：题目所求的式子都可以称为对称式，即交换x1与x2的位置代数式的形式不变，这些对称式均可以变形为用两根和与两根积表示的形式，利用

韦达定理代入后，可求值，请记住这些常规变形，在今后的学习中是很常见的。

解：∵x25x20两根为x1、x2∴①x1x25②x1x22

11x1x255③x1x2x1x222 ④x2x22212(x1x2)2x1x252(2)29

⑤x3321x2(x1x2)(x1x22x1x2)5[29(2)]155

121x21x229⑥x221x22x21x2(2)2294 ⑦(x11)(x21)x1x2(x1x2)12516

例3：已知：α、β是方程x27mx4m20的两根，且（α-1）（β-1）

=3，求m的值

分析：解这种求字母值的问题时，需考虑题目对字母的几点限制，①是二次项系数不为0；②是方程有实根的条件，即判别式；③是由已知带来的信息。综合①②③找到公共解集，才能确定字母的值。 解：由题意可得：

07m4m222(1)(1)3(7m)44m0mR∴()13∴4m27m13 mR1 ∴m12或m124∴m的值为2或4

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例5：已知关于x的方程x2mxn0的根为2和-2，求x2nxm0的两根。

分析：由方程①的根系关系可以确定m与n的值，这样可以得到方程②，再解方程即可得到方程两根

解：∵关于x的方程x2mxn0的两根为2和-2

∴2(2)mm02(2)n ∴n4 ∵x2nxm0即x24x00 ∴x(x-4)=0 ∴x10或x24

例6：m为何值时，x2(m1)x(2m3)0的两根均为正

分析：两根均为正，即x1x20，x1x20由此可以得到m的取值范围，但注意检验，看是否满足判别式。

解：由题意可列：

0(m1)24(2m3)0mRx10m11x20mx1x20∴2m30∴m32∴m32 3∴

m2时，原方程两根均为正。 注：此类问题还会有两根均为负，一正一负根，有一根为0，两根互为相反数，两根互为倒数，有两根均大于1等多种形式，望同学多积累解题经验。

1．已知：x1、x2是方程2x23x10的两个实数根，分别求出下列各

式的值。

1①x1x2、②x1x2、③x1111x22332、④x1x2、⑤x1x2、⑥x21x22 ⑦(x11)(x21)、⑧|x1x2|

2．已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一根及k的值。

3．已知两个数的和等于8，积等于-9，求这两个数

4．求作一个方程，使它的根是方程x27x80的两根的平方的负倒数

参考答案：

3113451．①2、②172、③-3、④4、⑤8、⑥13、⑦-1、⑧2

2．设方程的另一个根是x，则2x65

3∴

x5，(35)2k5 ∴k=-7

3．设这两个数为a、b则a、b为方程 x28x90的两根，则a=-1,b=9

或a=9,b= -1

4．设x1、x2是方程x27x80的两根，∴x1x27，x1x28，设

y1、y2是新方程的两根

2y1y1x2221则

x21x2x12x22331x264

yy1112x21x2264

y233∴

64y1640

∴

64y233y10 课件园http://www.kejianyuan.com

第四讲 立方和与立方差公式(一)

(公式1：(a+b)(a-b)=a2-b2，公式2：(a±b)=a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式．语言叙述略)

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3． (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3．

特点：1 (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果

都是二项式，而且是立方的形式)

2 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)

1．填空，使之符合立方和或立方差公式：

(1)(x-3)( )=x3-27；(2)(2x+3)( )=8x3+27； (3)(x2

+2)( )=x6+8；(4)(3a-2)( )=27a3

-8． 2．填空，使之符合立方和或立方差公式：

(1)( )(a2+2ab+4b2)＝______；(2)( )(9a2-6ab+4b2)=______； 3．运用立方和与立方差公式计算：

(1)(y+3(y2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c2)； (5)(x2-y2)(x4+x2y2+y4)． 计算时同学们要注意两点：

1．两步审查——对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项式的因

式判断公式中的a与b，又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后再运用公式．

2．记清运算结果是积的形式——a与b的立方和或立方差．

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第五讲 二次函数配方法求最值

1、二次函数大致图象：

21、 已知函数y2(x1)1，在直角坐标系中画出它的大致图象

（三）定轴动区间

2y2x4x1，若x[t,t1](tR) 思考题：已知：函数

求：该函数的最大值或最小值。

（3）顶点横坐标在给定区间左； 2、 已知函数y2x24x1，在直角坐标系中画出它的大致图象

2、二次函数yax2bxc(a0)经配方得：

ya(xb2b24ac2a)4a 的图象：1）a>0 2）a<0

Y Y

O O x x

x

3、应用二次函数图象，利用配方法求函数最值 （一） 定轴定区间

3、1、 顶点在给定区间内

例1、 已知函数y2x24x1，

（1） 若xR，求：该函数的最大值或最小值 （2） 若x1,2，求：该函数的最大值或最小值 2、顶点在给定区间外

（3） 若x1,0，求；该函数的最大值或最小值。

（二） 动轴定区间

例2、已知：函数yx2ax1(aR)，若x[2,4]，

求：该函数的最大值或最小值。