初高中数学衔接 1.数与式教案

第一讲 数与式

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．

一、乘法公式

【公式1】平方差公式：ab(ab)(ab) 【公式2】完全平方公式：(ab)a2abb 【公式3】完全立方公式：(ab)a3ab3abb

【公式4】(abc)abc2ab2bc2ca（完全平方公式）

证明：(abc)[(ab)c](ab)2(ab)cc

222222223322322222a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ca. 等式成立

2【例1】计算：(x2x)

解：原式=[x(2x)]

132123111(x2)2(2x)2()22x2(2)x2x22(2x)333 8222143x22xxx.33922233说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式5】(ab)(aabb)ab(立方和公式)

证明: (ab)(aabb)aababababbab. 【公式6】(ab)(aabb)ab(立方差公式)

证明：(ab)(aabb)[a(b)][aa(b)(b)]a(b)ab.

【例2】计算：

222233332232222333223311111n)(m2mnn2)

52251044222222（3）(a2)(a2)(a4a16) （4）(x2xyy)(xxyy)

（1）(4m)(164mm)

2（2）(m解：（1）原式=4m64m.

33313131313mn.

52125824222336（3）原式=(a4)(a4a4)(a)4a64.

（2）原式=(m)(n)（4）原式=(xy)(xxyy)[(xy)(xxyy)]

22223222(xy)x2xyy.

说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．

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1的值． x312解：x3x10 x0 x3

x1211122原式=(x)(x12)(x)[(x)3]3(33)18

xxxx2说明：本题若先从方程x3x10中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．本题则根据条件

【例3】已知x3x10，求x32式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．

引申：abc3abc(abc)(abcabbcca)

二、指数式

当nN时，aaaa. n个an当nQ时，⑴零指数a1(a0)， ⑵负指数anm333222n01(a0). an⑶分数指数 aman(a0,m,n为正整数).

mnmn幂运算法则：(1)aaa23,(2)(am)namn,(3)(ab)nanbn (a,b0,m,nZ).

33164【例4】求下列各式的值：8，100，()8112解: 8(2)223323323163272224；10011111；()4(4)433．

8183321002(102)21021216564333【例5】计算下列各式

⑴(2ab)(6ab)(3ab)； ⑵(p解: ⑴(2a⑵(pq 三、根式

式子a(a0)叫做二次根式，其性质如下：

2(1) (a)a(a0)

142312121314q)． b11523638823b)(6ab)(3ab)4a1412121316562113264ab04a；

388)(p)(q8388)pq23p2q3．

(2) a2|a| (4) bb(a0,b0) aan如果有xa，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数．

a,a0. nnn当n为奇数时，ana，当n为偶数时，a|a|a,a0(3) abab(a0,b0)

【例6】化简下列各式：

(1) (32)2(31)2

解：(1) 原式=|32||31|23311

(2) (1x)2(2x)2 (x1)

(x1)(x2)2x3 (x2)(2) 原式=|x1||x2|

(x1)(x2)1 (1x2) 说明：请注意性质a2|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

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【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

(1) 323 (2) 11 ab(3) 2xx38x 2633 解：(1) 原式=

3(23)(23)(23)3(23)223aba2bab2(2) 原式= abab(3) 原式=22xxx2222x2xxx22x32xxx. 22说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因

3x式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)．这时

223xx可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根2b23(23)3式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中23(23)(23)23可将其化为形式(如与23叫做互为有理化因式)．

四、分式

aAA的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：BB(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．

x【例8】化简

1xx1xxx(x1)x1xxxx解法一：原式= 221x(1x)xxxxxxxx2xxx1(x1)(x1)x1x1xx(x1)xxxx12解法二：原式=

(1x)xx(1x)xxxxxxxx21x1x1(x)xx说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式

AAm的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．

BBmx23x96xx1【例9】化简 3362xx279xxx23x96xx116x1解：原式= 232(3x)x3(x3)(x3)2(x3)(x3)(x3x9)x(9x)当分式

2(x3)12(x1)(x3)(x3)23x .

2(x3)(x3)2(x3)(x3)2(x3)说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

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