矩阵等价的充要条件是同型矩阵且秩相等。相似必定等价，等价不⼀定相似。两矩阵等价，秩相等，列向量，⾏向量极⼤线性⽆关组数相等。
等价矩阵的性质
1.矩阵A和A等价(反⾝性）；
2.矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
3.矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；4.矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为⾮零常数)5.具有⾏等价关系的矩阵所对应的线性⽅程组有相同的解
6.对于相同⼤⼩的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：（1）矩阵可以通过基本⾏和列操作的⽽彼此变换。（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。
两个矩阵等价可以推出什么
根据矩阵等价的充要条件，两个矩阵有相同的秩，可知n阶⽅阵A与单位⽅阵E等价的充要条件是：A秩=E秩=n。也就是说A可以通过有限次初等变换得到E，⽽|E|=1. 由⾏列式初等变换的原理，可以知道，必存在⼀个⾮零的数k，使得|A|=k|E|不等于0，因此|A|不等于0是A和E等价的充要条件。我们可以由两个矩阵等价推出：1、它们有相同的⾏数和列数；2、它们的秩相同；
3、它们与同⼀标准型矩阵等价；
4、如果它们是同阶⽅阵，则它们所对应的⾏列式同时等于0或同时不等于0；5、可以通过有限次初等变换，由其中⼀个矩阵得到另外⼀个矩阵。
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容