圆方程的求法

（1）转移法——化未知为已知

若已知动点P1（α ,β）在曲线C1：f1（x,y）=0上移动，动点P（x,y）依动点P1而动，它满足关系：

xx(,) ① yy(,)则关于α 、β反解方程组①，得g(x,y) ②

h(x,y)代入曲线方程f1（x,y）=0，即可求得动点P的轨迹方程C：f（x,y）=0.

【例5】已知点A(3，0)，点P在圆x２+y２=1的上半圆周上，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q 的轨迹方程.

【法一】如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，Q(x，y). ∵OQ为∠AOP的平分线，∴

PQ|OP|1， QA|OQ|3∴Q分PA的比为

1. 31x3033(x1)x01441xx1033即∴

14yyy000333y0y141316316222y1. y0又因x0＝１，且y0>0，∴x949∴Q的轨迹方程为(x)2y22

349(y0). 16，则OQ直线方程为2【法二】 设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ=y=x·tan

=kx ① 21

kPA＝

sinsin(x－3) ② ,∴直线PA方程为y=

cos(3)cos32k2k(x3)1k由Q满足①②且k=tan.由②得y=.消去k有•(x3)21k22k2131k2y(x3)3y=x2,∴x2+y2－x0，由图知y>0.

22y1x23故所求Q点轨迹方程为x2＋y2－x=0(y>0).

2【点评】上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法. （2）待定系数法——把方程（组）带进几何

当已知动点的轨迹是所学过的曲线方程时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程. 其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.

【例6】求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x

－y－4=0上的圆的方程.

22x1x6xy6x40【法一】 解方程组 得 或

22y3y2xy6y280∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2). 设所求圆方程为：x2＋y2＋dx＋ey＋f =0

(1)232d3ef0d1 (6)2(2)26d2ef0e7 ∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y

df32e4022－32=0 .

22x1x6xy6x40【法二】 解方程组  得 或

22y2xy6y280y3∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2). 设所求圆方程为：(x－a)2＋(y－b)2=r2

2

1a2(1a)2(3b)2r27 ∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－(6a)2(2b)2r2b2ab402178r432=0.

【法三】设所求圆方程为： x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2+6y－28)=0 即：

x2y266428xy0 1113333,40 ∴λ 又∵圆心在直线x－y－4=0上 ∴1111∴圆心为=－7

∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0 （3）几何法——与向量或三角沟通

直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算，此公式是

半径2=弦心距2+半弦长2.

【例7】 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，

且点B的纵坐标大于零.

（1）求向量AB的坐标； （2）求圆x6xy2y0关于直线OB对称的圆的方

程；

22u2v2100|AB|2|OA|,即 【解析】 （1）设AB(u,v),则由、|AB||OA|04u3v0,得 u6u6,或.因为OBOAAB{u4,v3}, v8v83

所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.

（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y1x. 2由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则

y1x320x122,得,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10. y3y12x3（4）参数法——与函数或不等式接轨

当动点P（x,y）直接找不出坐标x,y之间的关系时，可设动点P（x,y）满足关于参数t的方程

xx(t) （t是参数） ③ yy(t)则由方程组③消去参数t，即求得动点P(x,y)的普通方程：f(x,y)=0.

【例8】点P（x，y）在圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上运动，点A（2，2），B（2，-2）是平面上两点，求AP•BP的最值.

【解析】∵ AP(x2,y2),BPx2,y2,

∴AP•BP=x2,y2•x2,y2x2y2y2x2y24x

2设x2+y2+4x=k，即（x+2）2+y2=4+k，视为以K（-2，0）为圆心，4k为半径. (问题转化为求半径的取值范围)

∵x、y在圆x1y11上运动，而点K（-2，0）在圆C外，

22又两圆心距为(12)(1)10

222-4=7+210. 当圆K与圆C内切时4k取最大值，最大值为10+1，此时k=（10+1）

当圆K与圆C外切时4k取最小值，此时有4k+1=10，k7210. 即x2+y2+4x的最大值为7+210，最小值为7210.

4

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