浙江省台州市书生中学2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分） 1．sin15°cos15°=（） A．
2．已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（） A． 4 B． 5 C． 6 D．7
3．a，b，c为△ABC三边之长，若（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则△ABC的最大角为（） A． 30° B． 120° C． 90° D．60°
4．若sin2α=， A．
5．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（） A． 20 B． 22 C． 24 D．28
6．设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6=5a1+10d，则Sn取最大值时，n=（） A． 5 B． 6 C． 5或6 D．6或7
7．已知函数y=3sinxcosx+sinx﹣cosx，则它的值域为（） A．
8．关于函数f（x）=cos（2x﹣①y=f（x）的最大值为； ②y=f（x）的最小正周期是π； ③y=f（x）在区间[﹣
，
]上是减函数； ）+cos（2x+
），则
C．
B． D．
＜α＜B．
，则cosα﹣sinα的值（）
C．
D．
B．
C．
D．
④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确的是（） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④
二．填空题（9-12题每空2分，13-15每题3分，共25分） 9．已知α=（0，
10．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=；sinA=．
），tanα=，则sinα；tan2α=．
D．①②④
11．设{an}为等差数列，Sn为它的前n项和若a1﹣2a2=2，a3﹣2a4=6，则a2﹣2a3=，S7=．
12．函数y=
13．△ABC中，若面积
14．若关于x的方程sin2x+值范围为．
15．已知数列{bn}满足bn=3+（﹣1）λ2则实数λ的取值范围．
三．解答题（五大题8+8+9+9+9=43分） 16．已知等差数列{an}，满足a1=2，a3=6 （1）求该数列的公差d和通项公式an； （2）若数列{bn}的前n项的和为
n
n﹣1
n+1
sin2x+cosx的最小正周期为，最大值为．
2
，则角C=．
cos2x﹣k=0在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取
，对于任意的n∈N，都有bn+1＞bn恒成立，
*
，求数列{bn}的前n项和Sn．
17．在四边形ABCD中，∠DAB与∠DCB互补，AB=1，CD=DA=2，对角线BD=（1）求BC；
（2）求四边形ABCD的面积．
，
18．已知函数f（x）=﹣cosx+sinxcosx+1． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若f（θ）=，
19．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn＞1且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N （1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}的前n项的和为bn=﹣an+19，求数列{|bn|}的前n项和Tn．
20．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且2c•cos
2
*
2
的值．
=b+c．
（1）判断△的形状，并求sinA+sinB的取值范围；
（2）如图，三角形ABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的非负半轴上运动，AC=2，BC=1，求O，B间距离的取值范围．
浙江省台州市书生中学2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分） 1．sin15°cos15°=（） A．
B．
C．
D．
考点： 二倍角的正弦．
分析： 由正弦的倍角公式变形即可解之． 解答： 解：因为sin2α=2sinαcosα， 所以sin15°cos15°=sin30°=． 故选A．
点评： 本题考查正弦的倍角公式．
2．已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（） A． 4 B． 5 C． 6
考点： 等差数列． 专题： 计算题．
D．7
分析： 将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8=2a5求解．
解答： 解：解法1：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d， ∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12； ∴a1+4d=6； ∴a5=a1+4d=6．
解法2：∵a2+a8=2a5，a2+a8=12， ∴2a5=12， ∴a5=6， 故选C．
点评： 解法1用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想； 解法2应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq． 特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．
3．a，b，c为△ABC三边之长，若（a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则△ABC的最大角为（） A． 30° B． 120° C． 90° D．60°
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 已知的等式左边利用平方差公式及完全平方公式化简，整理后得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，即可得到结论．
22222
解答： 解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）=（a+b）﹣c=a+b﹣c+2ab=ab， 222
∴a+b﹣c=﹣ab，
∴cosC===﹣，
∵C为三角形内角， ∴C=120°为钝角． ∴C为最大角， 故选：B
点评： 本题主要考查余弦定理的应用，化简条件结合余弦定理是解决本题的关键．
4．若sin2α=， A．
＜α＜B．
，则cosα﹣sinα的值（）
C．
D．
考点： 二倍角的正弦．
专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 由已知可得cosα﹣sinα＜0，利用二倍角的正弦函数公式即可求值．
解答： 解：∵∴cosα﹣sinα=﹣
＜α＜，sin2α=，
=﹣
=﹣
．
故选：D．
点评： 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
5．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（） A． 20 B． 22 C． 24 D．28
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题．
分析： 由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a8的值，然后再由等差数列的性质得到所求的式子与a8的值相等，即可求出所求式子的值．
解答： 解：由a4+a6+a8+a10+a12=（a4+a12）+（a6+a10）+a8=5a8=120， 解得a8=24，
且a8+a12=2a10，则2a10﹣a12=a8=24． 故选C
点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．
6．设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6=5a1+10d，则Sn取最大值时，n=（） A． 5 B． 6 C． 5或6 D．6或7
考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 利用S6=5a1+10d，可得a6=0，根据数列{an}是公差d＜0的等差数列，即可得出结论．
解答： 解：∵S6=5a1+10d，
∴6a1+15d=5a1+10d得到a1+5d=0即a6=0， ∵数列{an}是公差d＜0的等差数列， ∴n=5或6，Sn取最大值． 故选：C．
点评： 本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项与求和，比较基础．
7．已知函数y=3sinxcosx+sinx﹣cosx，则它的值域为（） A．
C．
B． D．
考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
分析： 首先将y=sinx﹣cosx+sinxcosx 通过换元法，设sinx﹣cosx=t（﹣
≤t≤），关系
式转化为：g（t）=﹣t+t+，然后利用二次函数的性质就可求得结果． 解答： 解：∵y=sinx﹣cosx+3sinxcosx 设sinx﹣cosx=t（﹣
≤t≤
）则：sinxcosx=
2
2
，
因此函数关系是转化为：g（t）=﹣t+t+，利用二次函数的性质就可求得结果． g（t）=﹣t+t+=﹣（t﹣）+，（﹣∴g（t）max=g（）=， g（t）min=g（﹣
）=﹣﹣
故y=sinx﹣cosx+sinxcosx的值域为[﹣﹣
，]
2
2
≤t≤），
故选：B．
点评： 本题主要考查了二倍角的正弦及二次函数的性质的应用，重点体现了换元法和配方法，属于中档题．
8．关于函数f（x）=cos（2x﹣①y=f（x）的最大值为； ②y=f（x）的最小正周期是π； ③y=f（x）在区间[﹣④将函数y=
，
]上是减函数；
个单位后，将与已知函数的图象重合．
）+cos（2x+
），则
cos2x的图象向右平移
其中正确的是（）
A． ①②③ B． ②③④
考点： 两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的图像与性质．
C． ①③④ D．①②④
分析： 由诱导公式和整体思想化简可得f（x）=cos（2x﹣），逐个选项验证可得．
解答： 解：化简可得f（x）=cos（2x﹣=cos（2x+=sin（2x+==
﹣
）+cos（2x+
）
）
）+cos（2x+）
）+cos（2x+
﹣）
）
cos（2x+cos（2x﹣
①y=f（x）的最大值为，正确；
=π，正确；
≤x≤kπ+
，
②y=f（x）的最小正周期T=③由2kπ≤2x﹣
≤2kπ+π可得kπ+
∴函数的单调递减区间为[kπ+∴y=f（x）在区间[﹣④将函数y=得到函数y=
，
，kπ+]（k∈Z）
]上是减函数，错误；
个单位后，
）即已知函数的图象，故正确．
cos2x的图象向右平移cos2（x﹣
）=
cos（2x﹣
故选：D
点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的图象和性质．
二．填空题（9-12题每空2分，13-15每题3分，共25分） 9．已知α=（0，
），tanα=，则sinα
；tan2α=．
考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 利用同角三角函数的关系，求出sinα，利用二倍角公式，求出tan2α．
解答： 解：∵α∈（0，∴cosα=3sinα，
22
∵cosα+sinα=1， ∴sinα=
，
），tanα=，
tan2α==．
故答案为：；．
点评： 本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式，考查学生的计算能力，比较基础．
10．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=
．
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．
解答： 解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=， ∴由余弦定理得：c=a+b﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2； ∵cosC=，C为三角形内角， ∴sinC=
=
，
2
2
2
∴由正弦定理故答案为：2；
=．
得：sinA===．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
11．设{an}为等差数列，Sn为它的前n项和若a1﹣2a2=2，a3﹣2a4=6，则a2﹣2a3=4，S7=﹣28．
考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 利用a1﹣2a2=2，a3﹣2a4=6，求出d=﹣2，a1=2，再求出结论． 解答： 解：∵a1﹣2a2=2，a3﹣2a4=6， ∴两式相减可得2d﹣4d=4， ∴d=﹣2，
∴a1=2，
∴a2﹣2a3=0﹣2（2﹣4）=4；S7=7×2+
×（﹣2）=﹣28，
故答案为：4，﹣28．
点评： 本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．
12．函数y=
sin2x+cosx的最小正周期为π，最大值为．
2
考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： 由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式y=sin（2x+即可求得最小正周期，利用正弦函数的图象可求最大值． 解答： 解：∵y=∴函数y=∴
故答案为：π，．
sin2x+cosx=
2
2
）+，利用周期公式
sin2x+cos2x+=sin（2x+
，
）+，
sin2x+cosx的最小正周期T=
=1
=．
点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
13．△ABC中，若面积
考点： 余弦定理． 专题： 计算题．
，则角C=．
分析： 由余弦定理易得a+b﹣c=2abcosC，结合三角形面积S=
222
及已知中
，我们可以求出tanC，进而得到角C的大小．
解答： 解：由余弦定理得：a+b﹣c=2abcosC 又∵△ABC的面积∴cosC=∴tanC=
sinC
=
=
，
2
2
2
又∵C为三角形ABC的内角 ∴C=
故答案为：
点评： 本题考查的知识点是余弦定理，其中根据已知面积
中有平方和与差的关系，而确定使用余弦定理做为解答的突破口是关键．
，观察到分子
14．若关于x的方程sin2x+cos2x﹣k=0在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取
值范围为[﹣，2）．
考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由题意可知g（x）=sin2x+cos2x与直线y=k在[0，]上两个交点，结合正弦
函数的图象和性质可得k的取值范围． 解答： 解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+由于x∈[0，令2x+
]，故2x+
，
∈[
，
） 与直线y=k在[0，
，2]．
，
]上有两个交点， ]上两个交点．
]，故g（x）∈[﹣
=t，则t∈[]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=k在[
要使的两个函数图形有两个交点必须使得﹣≤k＜2，
故答案为：[﹣，2）．
点评： 本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．
15．已知数列{bn}满足bn=3+（﹣1）则实数λ的取值范围（﹣，）．
考点： 数列递推式．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
nn﹣1
λ2
n+1
，对于任意的n∈N，都有bn+1＞bn恒成立，
*
分析： 通过bn=3+（﹣1）（﹣1）λ2
n
n+1
nn﹣1
λ2
n+1
与bn+1=3
n+1
+（﹣1）λ2
*
nn+2
作差可知bn+1﹣bn=2•3+
n
，进而（﹣1）
n
n﹣1
λ＜
n+1
对于任意的n∈N恒成立，对n分奇数、偶数讨
论即得结论．
解答： 解：∵bn=3+（﹣1）λ2，
n+1nn+2
∴bn+1=3+（﹣1）λ2，
n+1nn+2nn﹣1n+1
两式相减得：bn+1﹣bn=[3+（﹣1）λ2]﹣[3+（﹣1）λ2]
nnn+1=2•3+（﹣1）λ2，
*
∵对于任意的n∈N，都有bn+1＞bn恒成立，
*nnn
∴对于任意的n∈N，都有3+（﹣1）λ2＞0恒成立， ∴（﹣1）
n﹣1
n﹣1
λ＜对于任意的n∈N恒成立，
≤； ≥﹣；
*
∴当n=2k﹣1时，λ＜当n=2k时，λ＞﹣
综上所述，实数λ的取值范围是：（﹣，）．
点评： 本题是一道关于数列递推关系的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
三．解答题（五大题8+8+9+9+9=43分） 16．已知等差数列{an}，满足a1=2，a3=6 （1）求该数列的公差d和通项公式an； （2）若数列{bn}的前n项的和为
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析： （1）利用（2）通过裂项可知bn=﹣
可求出公差，进而可得结论； ，并项相加即得结论．
解答： 解：（1）∵a1=2，a3=6， ∴公差d=
=
=2，
∴an=a1+（n﹣1）d =2+2（n﹣1）=2n； （2）∵an=2n， ∴===﹣
，
∴Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=
．
点评： 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
17．在四边形ABCD中，∠DAB与∠DCB互补，AB=1，CD=DA=2，对角线BD=（1）求BC；
（2）求四边形ABCD的面积．
，
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）在△ADB中，△DCB中，分别使用余弦定理进行求解即可求BC；
（2）四边形ABCD的面积S=S△ADB+S△BDC．分别根据三角形的面积公式进行求解即可． 解答： 解：（1）在△ADB中，cos∠DAB=即∠DAB=120°，则∠DCB=60°， 在△DCB中，cos∠DCB=
，
=
，
即
2
，
即BC﹣2BC﹣3=0．
解得BC=3或BC=﹣1（舍）． （2）四边形ABCD的面积S=S△ADB+S△BDC=
+
=
+
=2，
点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．
18．已知函数f（x）=﹣cosx+sinxcosx+1． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若f（θ）=，
的值．
2
考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析： （1）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f（x）=sin（2x﹣2kπ
≤2x﹣
≤2kπ
，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．
）+，由
（2）由已知可得sin（2x﹣从而可求cos（2x﹣
）=，根据θ∈（，），可得2θ∈（，
+
），）
）的值，利用两角和的正弦函数公式即可求得sin2θ=sin（2θ﹣
的值．
解答： （本题满分为10分） 解：（1）∵f（x）=﹣cosx+=﹣=
=sin（2x﹣∴由2kπk
）+ ≤2x﹣
≤2kπ
，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k
，
+
sin2x+1
2
sinxcosx+1
]（k∈Z）…4分
）+=，可得sin（2x﹣
∈（
，
）， =﹣
+
）=sin（2x﹣
=
）cos
，
）
）=，
（2）∵f（θ）=sin（2θ﹣∵θ∈（
，
），可得2θ）=﹣
∴cos（2x﹣
∴sin2θ=sin（2θ﹣sin
=
+cos（2x﹣
…10分
点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．
19．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn＞1且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N （1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}的前n项的和为bn=﹣an+19，求数列{|bn|}的前n项和Tn．
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）通过在6Sn=（an+1）（an+2）中令n=1可知首项a1=2，当n≥2时利用6Sn﹣6Sn
（an+2）﹣（an﹣1+1）（an﹣1+2）、整理得an﹣an﹣1=3，进而可得结论； ﹣1=（an+1）
（2）通过（1）可知bn=20﹣3n，考虑到当n≤6时bn＞0、当n≥7时bn＜0，分类讨论即得结论．
解答： 解：（1）当n=1时，6a1=（a1+1）（a1+2）， ∴a1=2或a1=1（舍）；
当n≥2时，6Sn﹣6Sn﹣1=（an+1）（an+2）﹣（an﹣1+1）（an﹣1+2）， 整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0，
*
∴an﹣an﹣1=3，
∴数列{an}是以2为首项、3为公差的等差数列， ∴an=2+3（n﹣1）=3n﹣1；
（2）由（1）可知bn=﹣an+19=20﹣3n， ∴当n≤6时，bn＞0；当n≥7时，bn＜0． ∴当n≤6时，Tn=|b1|+|b2|+…+|bn| =b1+b2+…+bn =
=；
当n≥7时，Tn=|b1|+|b2|+…+|bn| =b1+b2+…+b6﹣b7﹣b8﹣…﹣bn
=﹣（b1+b2+…+bn）+2（b1+b2+…+b6） =﹣=
﹣
+2•+114，
∴数列{|bn|}的前n项和Tn=
．
点评： 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且2c•cos
2
=b+c．
（1）判断△的形状，并求sinA+sinB的取值范围；
（2）如图，三角形ABC的顶点A，C分别在x轴， y轴的非负半轴上运动，AC=2，BC=1，求O，B间距离的取值范围．
考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）根据正弦定理、二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简已知式子，再由角的范围求出cosC的值，由特殊角的余弦值求出C，判断出三角形的形状，由诱导公式、辅助角公式化简sinA+sinB，利用角的范围和正弦函数的形状求出sinA+sinB的范围； （2）设∠ACO=x、过点B作BD垂直与x轴，由图象和条件求出B的坐标，利用两点之间
2
的距离公式表示出|0B|，利用平方关系、二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式化简，由x的范围和正弦函数的性质求出O，B间距离的取值范围． 解答： 解：（1）由题意得，2c•cos由正弦定理得2sinC•
2
=b+c，
=sinB+sinC，
∴sinC+sinCcosA=sin（A+C）+sinC，
∴sinCcosA=sinAcosC+sinCcosA，则sinAcosC=0， 又A、C∈（0，π）， 则cosC=0，∴C=
；
则△ABC是直角三角形， ∴sinA+sinB=sinA+cosB=∵0＜A＜
，∴
）；
），则CO=2cosx，
﹣x，
，则
，
，
∴sinA+sinB的范围是（1，（2）设∠ACO=x，x∈（0，
过点B作BD垂直与x轴，D为垂足，则∠BOC=即B（2cosx+sinx，cosx），
2222
∴|0B|=（2cosx+sinx）+cosx=4cosx+4sinxcosx+1 =4×∵0＜x＜∴
∴O，B间距离的取值范围是（1，
+2sin2x+1=，∴
，则，则1]．
+3，
，
，
点评： 本题考查正弦定理、二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，以及正弦函数的性质，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于中档题．
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