高中数学导数练习题

专题8：导数（文）

经典例题剖析

考点一：求导公式。 例1. f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是 。 32 解析：f'xx2，所以f'1123 答案：3

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y1x2，则2f(1)f(1) 。

解析：因为k11，所以f'1，由切线过点M(1，f(1))，可得点M的纵坐标为2255，所以f1，所以f1f'13 2232答案：3

例3.曲线yx2x4x2在点(1，3)处的切线方程是 。

解析：y'3x4x4，点(1，3)处切线的斜率为k3445，所以设切线方程为y5xb，将点(1所以，过曲线上点(1，3)带入切线方程可得b2，，3)处的切线方程为：5xy20 答案：5xy20

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：yx3x2x，直线l:ykx，且直线l与曲线C相切于点

322x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。

解析：直线过原点，则ky0x00。由点x0,y0在曲线C上，则x0y322y0x03x02x0， 0x03x02。又y'3x26x2， 在

x0x0,y0

处曲线C

的切线斜率为kf'x03x06x02，2

222x03x00，整理得：解得：x0x03x023x06x02，

3或x002（舍），此时，y0311，k。所以，直线l的方程为yx，切点坐标是84433,。 28答案：直线l的方程为y133x，切点坐标是, 428 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在

切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知fxax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围。

32解析：函数fx的导数为f'x3ax6x1。对于xR都有f'x0时，fx2a0为减函数。由3ax6x10xR可得，解得a3。所以，

3612a02当a3时，函数fx对xR为减函数。

18（1） 当a3时，fx3x33x2x13x。

39由函数yx在R上的单调性，可知当a3是，函数fx对xR为减函数。

33（2） 当a3时，函数fx在R上存在增区间。所以，当a3时，函数fx在

R上不是单调递减函数。

综合（1）（2）（3）可知a3。

答案：a3 点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值。 （1）求a、b的值；

323]，都有f(x)c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x[0，解析：（1）f(x)6x6ax3b，因为函数f(x)在x1及x2取得极值，则有

22

66a3b0，，解得a3，b4。 f(1)0，f(2)0．即2412a3b0．（2）由（Ⅰ）可知，f(x)2x9x12x8c，f(x)6x18x126(x1)(x2)。 当x(01)，时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)0。所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c。则当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c。因为对于任意的x0，3，有f(x)c恒成立，

2322所以 98cc，解得 c1或c9，因此c的取值范围为(，1)答案：（1）a3，b4；（2）(，1)2(9，)。

(9，)。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx的极值步骤：①求导数f'x； ②求f'x0的根；③将f'x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f'x在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。 考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，fxx4xa。求导数f'x；（2）若f'10，求fx2在区间2,2上的最大值和最小值。

解析：（1）fxxax4x4a， f'x3x2ax4。

32212。f'x3xx43x4x1 24令f'x0，即3x4x10，解得x1或x， 则fx和f'x在区间2,23上随x的变化情况如下表： （2）f'132a40，ax 2 0 2,1 ＋ 增函数 1 0 极大值 41, 3— 减函数 4 30 极小值 4,2 3＋ 增函数 2 0 f'x fx f19，2504f。所以，fx在区间2,2上的最大值为

273504f，最

273

小值为f19。 22答案：（1）f'x3x2ax4；（2）最大值为f43509，最小值为f1。 272 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数fx在区间a,b上的最值，要先求出函数fx在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数f(x)axbxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

3x6y70垂直，导函数f'(x)的最小值为12。（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。 解析： （1）∵f(x)为奇函数，∴f(x)f(x)，即axbxcaxbxc

∴c0，∵f'(x)3axb的最小值为12，∴b12，又直线x6y70的斜率为

2331，因此，f'(1)3ab6，∴a2，b12，c0． 623（2）f(x)2x12x。 f'(x)6x126(x2)(x2)，列表如下：

x (,2)  增函数 2 (2,2) 2 (2,)  增函数 f'(x) 0 极大  减函数 0 极小 f(x) 所以函数f(x)的单调增区间是(,2)和(2,)，∵f(1)10，

f(2)82，f(3)18，∴f(x)在[1,3]上的最大值是f(3)18，最小值是f(2)82。

答案：（1）a2，b12，c0；（2）最大值是f(3)18，最小值是f(2)82。 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。