导数练习题及答案

一、选择题

1. 已知曲线y = x2 + 2x — 2在点M处的切线与x轴平行，则点 M的坐标是( A . (— 1,3)

C. (— 2, — 3) D. (— 2,3) 答案 B

解析 T f' (x) = 2x+ 2 = 0,二 x=— 1.

2

)

B. (— 1，— 3)

f( — 1) = ( — 1)2+ 2 X (— 1) — 2=— 3.A M(— 1 , — 3). 2.

A .(―汽―1)及(0,1) B. (— 1,0)及(1 ,+^ ) C. (— 1,1)

D . ( — 8, — 1)及(1 , 答案 A

解析 y' = 4x3— 4x= 4x(x2 — 1)，令 y' <0 得 x 的范围为(―^ ,— 1) U (0,1)，故选 A. 3 .函数f(x)= x3+ ax2+ 3x— 9，在x=— 3时取得极值，则 a等于( A . 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案 D

解析 f' (x) = 3x2 + 2ax+ 3.由f(x)在x=— 3时取得极值， 即 f' (— 3) = 0，即 27 — 6a + 3= 0, /• a= 5.

1

4.

函数y= In |x+ 1|

答案 D

解析 函数的图象关于 x=— 1对称，排除A、C,当x>— 1时，y=— ln(x+ 1)为减函数，故选 5.

D.

■-的大致图象为( )

)

)

函数y= x4— 2x2 + 5的单调减区间为( )

二次函数y= f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f' (x)的图象过

第一、 二、三象限的一条直线， 则函数y= f(x)的图象的顶点所在象限是( ) A .第一 C.第三

B .第二 D .第四

答案 C

解析•/ y= f，(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数 y= f(x)的图象必然先下降再上升且对称

轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限. 6.

知函数f(x) = -x3+ ax2— x- 1在(—a,+s )上是单调函数，则实数 a的取值范围是( A .(―汽一.3) B. [ - .3, ,3] C. ( .3,+^ ) D. (- 3, 3)

答案 B

解析 f (x) = — 3x + 2ax— 1 w 0 在(—00 ,+ m)恒成立，△= 4a — 12 w 0? —:: 3w a w ：J3. 7.

设 f(x)= xln x，若 f' (xo)= 2，贝U xo 等于(

A . e2 B .In 2 In 2

C~^ D. e

答案 D 解析

f' (x) = x (ln x)' + (x)' ln x = 1 + ln x.

--f (x。)= 1 + ln xo = 2, •'•In x0= 1, …x° = e.

1

& 设函数 f(x) = 3x— In x(x>0)，贝y y= f(x)(

)

1

A .在区间(e，1)(1 , e)内均有零点

1

B. 在区间(-,1), (1 , e)内均无零点

1

C. 在区间(-,1)内无零点，在区间(1, e)内有零点

e 1

D. 在区间(：，1)内有零点，在区间(1, e)内无零点 答案 C

已

)

)

x— 3

解析

由题意得 f' (x)=厂，令 f' (x) >0 得 x> 3;令 f' (x)v 0 得 0v XV 3; f' (x) = 0 得 x= 3,

3x

故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3, + o)为增函数，在点x= 3处有极小值1 — In 3 V 0；

1

e

1

1

又 f(1) = §> 0, f(e)= 3— 1V 0, f(e)= 3e+ 1 > 0.

9.设函数f(x) = ain A

x3+ 备，2ecu A R 仃

厂x2 + tan 0,其中 两[0,匚]，则导数f' (1)的取值范围是( ) 「

A • [ - 2,2] B . [ ,2, C. [ 3, 2] D. [ 2, 2] 答案 D

.3]

解析 T f' (x) = x2sin 0+ x • 3cos 0, ••• f' (1) = sin 0+ 3cos 0= 2(*sin B+^cos 0

n

=2sin( 0+ 3).

n n 3 n • n0+n 34-，

— n

sin( +

3) w 1. • . 2< 2sin( 0+ 3)w 2.

n

2

10 .方程2x3- 6X2+ 7= 0在(0,2)内根的个数有( A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 答案 B

解析令 f(x)= 2x3- 6x2 + 7,

• f' (x) = 6x2- 12x = 6x(x- 2), 由 f' (x) > 0 得 x>2 或 xv 0;由 f' (x) v 0 得 0v xv2 ;又 f(0) = 7> 0, f(2) = - 1 v 0，•方程在(0,2)内只有一实根. 二、填空题

11.若曲线y = kx+ In x在点(1 , k)处的切线平行于 x轴，贝U k= _________________ . 答案 —1

解析 求导得y' = k+1，依题意k+1 = 0,

x

所以k=- 1.

12 .已知函数f(x) =- x3 + ax在区间(一1,1)上是增函数，则实数 a的取值范围是 _______________________ . 答案 a > 3 解析

由题意应有f' (x)=- 3求+ a>0,在区间(—1,1)上恒成立，则

a> 3x2, x€ (-1,1)恒成立，

故 a > 3.

13 .在平面直角坐标系

xOy中，点P在曲线C: y= x3- 10x+ 3上，且在第二象限内，已知曲线

C

在点P处的切线的斜率为 答案 (2,15)

2,则点P的坐标为 _______________ .

解析 y' = 3x2— 10 = 2? x =戈，又点P在第二象限内，••• x=- 2，得点P的坐标为(—2,15)

14.函数f(x)= x3+ ax2 + bx+ a2,在x= 1时有极值10,那么a, b的值分别为 __________________________ . 答案 4，— 11

解析 f' (x) = 3x + 2ax+ b, f' (1) = 2a+ b+ 3 = 0,

2

2

f(1) = a + a+ b+ 1= 10, 2a+ b=— 3 |a2+ a + b = 9 —11. 三、解答题

15•设|a3 3

f(0) = b, f(a) = — 2 + b, f( — 1) = — 1 —壬+ b, 3

f(1) = 1 — ?a+ b

2 3 因为33 3

所以f(x)的最小值为f(— 1) = — 1 —歹+ b=—尹， 所以—3a=— -2，所以 a=36. 故 a = ~6 b= 1.

3

1 1

16 •若函数f(x) = 4x3 — ax+ 3在［—y ［上是单调函数，则实数

3

,

a=— 3 | b = 3

，或

a = 4 |b =— 11

，当a=— 3时，x= 1不是极值点，a, b的值分别为4,

a的取值范围为多少？

解f' (x) = Hx2— a,若f(x)在［—1，1上为单调增函数，则f' (x)> 0在［—2 2上恒成立，

2 1 1 即

12x — a>0在［—2, 2】上恒成立，

• a< 12x 在［—2,刁上恒成立，••• a< (12x)min = 0. 当 a = 0 时，f (x) = 12x2> 0 恒成立(只有 x= 0 时 f (x) = 0). ••• a= 0符合题意.

1 1

2 1 1 2

若f(x)在［—2, 2】上为单调减函数，

1 i

则f (x)w o,在［—2, 2】上恒成立，

2

i i

即12x — aw 0在［—2, 2】上恒成立，

2

1 1

• a> 12x在［—2, 2】上恒成立， • - a》(12x)max= 3.

当 a = 3 时，f' (x) = 12x2— 3= 3(4x2— 1)w0 恒成立(且只有 x= g时 f (x) = 0). 因此，a的取值范围为aw 0或a > 3. 17.

池的底面半径为

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 r米，高为h米,

100元/平方米，底面的建造

(不计厚度).设该蓄水

体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；

⑵讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解(1)因为蓄水池侧面的总成本为

12 000n元(n为圆周率).

100 • 2rto= 200nh(元)，底面的总成本为160n2元，

2

所以蓄水池的总成本为(200 nrh + 160 nr)元. 又根据题意 200 nrh + 160 n2= 12 000 n,

2

n

3

从而 V(r)= n h= 5(300r — 4r ). 因为r>0，又由h>0可得r<5 3, 故函数V(r)的定义域为(0,5 . 3).

n

⑵因为 V(r)= 5(300r — 4r ),

3

n

2

故 V' (r) = 5(300 — 12r ).

令V' (r)= 0,解得 门=5,「2= — 5(因为「2=— 5不在定义域内，舍去).

当r € (0,5)时，V' (r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r € (5,5 3)时，V' (r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知，V(r)在r = 5处取得最大值，此时 即当r = 5, h = 8时，该蓄水池的体积最大.

17.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 解析式可以表示为：

1

3

h= 8.

y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数

3

y= 128 00°x 80X+ 8(0v x< 120).已知甲、乙两地相距 100千米.

(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升? 解(1)当x= 40时，汽车从甲地到乙地行驶了

1

o

100

小时，设耗油量为 x

100= 2.5小时，

(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 要耗油(芮000 X 403- 80X 40 + 8)X 2.5= 17.5(升).

h(x)升,

x3- 80

,

x 800

h (x)= 640-芬

640x2 (0 v x< 120).

依题意得 h(x)= (^f000x3-静+ 8).晋=^x2 + 竽—乎(0vxw 120),

令 h ' (x)= 0，得 x= 80.

当 x€ (0,80)时，h' (x) v 0, h(x)是减函数; 当 x€ (80,120)时，h' (x)>0, h(x)是增函数. •••当 x= 80 时，h(x)取到极小值 h(80) = 11.25. 因为h(x)在 (0,120]上只有一个极值，所以它是最小值. 答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升. 18. 已知函数 f(x)= 3x3- aln x- f(a € R, a 丰 0).

(1) 当a = 3时，求曲线y= f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程； (2) 求函数f(x)的单调区间；

17.5升.当汽车以80千米/时的

⑶若对任意的x€ [1,+^ )，都有f(x) >0成立，求a的取值范围. 解(1)当 a= 3 时，f(x)= 3x3- 3ln x-3, f(1) = 0, f，(x) = x — X，二 f'⑴=_ 2，

•••曲线y= f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程 2x+ y— 2 = 0.

3

, 2 a x —a

(2)f' (x) = x — x=〒(x>0).

3

x — a

① 当av 0时，f' (x)= ——> 0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0 ,+p .

x

② 当 a>0 时，令 f' (x)= 0,解得 x= 3 a或 x=— 3 a(舍).

x f' (x) f(x)

(0,編 一 减 0 极小值 (看 + 8 ) + 增 •函数f(x)的递增区间为(3a ,+s)，递减区间为(0, 3 a) ⑶对任意的x€ [1 ,+s )，使f(x)> 0成立，只需对任意的

1 1

①当 av 0 时，f(x)在[1 ,+s)上是增函数，•只需 f(1) > 0,而 f(1) = - — aln 1 — 3 = 0, • av 0满足题意，

②当 0v aw 1 时，0v 鴿 < 1, f(x)在 [1 ,+s)上是增函数，•只需 f(1) > 0 而 f(1) = 3— aln 1 —1= 0, • 0v aw 1满足题意；

当a> 1时，智〉1, f(x)在[1 ,智]上是减函数， [3a, + 8 )上是增函数, 而f(需)v f(1) = •只需f(需)> 0即可,

x€ [1 ,+s ), f(x)min》

③

0, • a> 1不满足题意;

综上，a € ( — 8, 0)u (0,1].