函数值域求法(例题)

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函数值域求法（例题）

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数

y1x的值域。

解：∵x0

10∴x

显然函数的值域是：(,0)(0,)

例2. 求函数y3x的值域。

解：∵x0

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x0,3x3

故函数的值域是：[,3]

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数yx22x5,x[1,2]的值域。

解：将函数配方得：

y(x1)24 ∵x[1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin4，当x1时，ymax8

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

1xx2例

4. 求函数

y1x2的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

(y1)x2(y1)x0

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（1）当y1时，xR

(1)24(y1)(y1)0

13y2 解得：2131,（2）当y=1时，x0，而22

132,2 故函数的值域为例5. 求函数yxx(2x)的值域。

222x2(y1)xy0（1） 解：两边平方整理得：

∵xR

24(y1)8y0 ∴

解得：12y12

但此时的函数的定义域由x(2x)0，得0x2

由0，仅保证关于x的方程：2x22(y1)xy20在实数集R有实根，而不能确保其

实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的X围可能比y的实际

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X

132,2。 围大，故不能确定此函数的值域为可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵0x2

yxx(2x)0

ymin0,y12代入方程（1）

解得：

x1222422[0,2]

22242x12即当

时，

原函数的值域为：[0,12]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例

3x46. 求函数5x6值域。

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解：由原函数式可得：

x46y5y3

则其反函数为：

y46y3x5x3，其定义域为：5

3,5 故所求函数的值域为：5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例

ex1yx7. 求函数e1的值域。

解：由原函数式可得：

exy1y1

∵ex0

y10y1∴

解得：1y1

故所求函数的值域为(1,1)

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例8. 求函数

ycosxsinx3的值域。

解：由原函数式可得：ysinxcosx3y，可化为：

y21sinx(x)3y

sinx(x)3y即y21

∵xR

∴sinx(x)[1,1]

13yy21即1

22解得：

4y4

故函数的值域为2,244 6. 函数单调性法

例9. 求函数

y2x5log3x1(2x10)的值域。 解：令

y12x5,y2log3x1 . .word..

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则y1,y2在[2，10]上都是增函数

所以yy1y2在[2，10]上是增函数

当x=2时，

y3min2log32118

当x=10时，y5max2log3933

故所求函数的值域为：18,33 例10. 求函数yx1x1的值域。

解：原函数可化为：

y2x1x1

令y1x1,y2x1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数

所以yy1，y2在[1,]上也为无上界的增函数

2所以当x=1时，yy1y2有最小值

2，原函数有最大值22

显然y0，故原函数的值域为(0,2]

7. 换元法

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通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数yxx1的值域。

解：令x1t，(t0)

则xt21

∵

yt2t1(t1)2324 又t0，由二次函数的性质可知

当t0时，ymin1

当t0时，y

故函数的值域为[1,)

例12. 求函数yx21(x1)2的值域。

解：因

1(x1)20 即

(x1)21 . .word..

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故可令x1cos,[0,]

∴

ycos11cos2sincos1 2sin(4)1

∵

0,04

22sin(4)102sin(4)112 故所求函数的值域为[0,12]

13. 求函数yx3x例

x42x21的值域。

12x1x2解：原函数可变形为：

y21x21x2

2x1x2可令xtg，则有1x2sin2,21x2cos

y12sin2cos214sin4

当

k28时，

y1max4 . .word..

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k当

28时，y1min4

而此时tan有意义。

故所求函数的值域为114,4 例

14. 求函数y(sinx1)(cosx1)，x12,2的值域。

解：y(sinx1)(cosx1)

sinxcosxsinxcosx1

令sinxcosxt，则sinxcosx12(t21)

y112(t21)t12(t1)2

由tsinxcosx2sin(x/4)

且x12,2

2可得：

2t2

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332∴当t2时，

ymax222，当

t2时，

y42

故所求函数的值域为3242,322。 例15. 求函数yx45x2的值域。

解：由5x20，可得|x|5

故可令x5cos,[0,]

y5cos45sin10sin(4)4

∵0

44

当/4时，ymax410

当时，ymin45

故所求函数的值域为：[45,410]

8. 数形结合法

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其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例

22y(x2)(x8)16. 求函数

的值域。

解：原函数可化简得：y|x2||x8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(8)间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，y|x2||x8||AB|10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y|x2||x8||AB|10

故所求函数的值域为：[10,]

22例17. 求函数yx6x13x4x5的值域。

解：原函数可变形为：

y(x3)2(02)2(x2)2(01)2

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和，

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22由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin|AB|(32)(21)43，

故所求函数的值域为[43,]

22例18. 求函数yx6x13x4x5的值域。

2222解：将函数变形为：y(x3)(02)(x2)(01)

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)的距离之差。

即：y|AP||BP|

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成ABP'，

22||AP'||BP'|||AB|(32)(21)26 根据三角形两边之差小于第三边，有

即：26y26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP||BP|||AB|26

综上所述，可知函数的值域为：(26,26]

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注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），(2,1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,1)，在x轴的同侧。

9. 不等式法

3(a,b,cR)，求函数的最值，其题型特征解析ab2ab,abc3abc利用基本不等式

式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19. 求函数

y(sinx1212)(cosx)4sinxcosx的值域。

解：原函数变形为：

y(sin2xcos2x)1ces2xsec2x3tan2xcot2x33tan2xcot2x2511sin2xcos2x

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当且仅当tanxcotx

即当

xk4时(kz)，等号成立

故原函数的值域为：[5,)

例20. 求函数y2sinxsin2x的值域。

解：y4sinxsinxcosx

4sin2xcosx

y16sin4xcos2x8sin2xsin2x(22sin2x)8[(sin2xsin2x22sin2x)/3]327

当且仅当sin2x22sin2x，即当

sin2x23时，等号成立。

83由

y227可得：

9y839

故原函数的值域为：83,8399 10. 一一映射法

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原理：因为

yaxb(c0)cxd在定义域上

x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一

个变量X围，就可以求另一个变量X围。

3x例21. 求函数

y12x1的值域。

解：∵定义域为x|x12或x12 131y由yxx2x1得2y3

y2y312或x1y故

x12y312

解得

y332或y2 故函数的值域为,3322, 11. 多种方法综合运用

2例22. 求函数

yxx3的值域。

解：令tx2(t0)，则x3t21

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y（1）当t0时，

t11t21t12t，当且仅当

t=1，即x1时取等号，所以

0y12

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：0,12

注：先换元，后用不等式法

1x2x2x3x4例

23. 求函数

y12x2x4的值域。

12x2x4xx3解：y12x2x412x2x4

1x221x2x1x2

1x22令xtancos22，则1x2

x1x212sin

ycos2112sinsin22sin1

2117sin416 . .word..

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∴当

sin117ymax16 4时，

当sin1时，ymin2

此时

tan172,16 2都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

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