【题型特征】 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.
【解题策略】 解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.
【小结】 几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.
【提醒】 几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.
为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.
类型一 以三角形为背景的综合题
典例1 (2015·江苏泰州)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,EF∥AC.
(1)求证:BE=AF;
(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.
【技法梳理】 (1)由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论;
(2)首先过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,易求得DG与DE的长,继而求得答案.
【解析】 (1)∵DE∥AB,EF∥AC,
∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE. ∴AF=DE.
∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠ABD=∠DBE. ∴∠DBE=∠BDE. ∴BE=DE. ∴BE=AF.
(2)过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,
∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠EBD=30°.
∴DE=BE=2.
∴四边形ADEF的面积为DE·DG=6
举一反三
.
1. (2015·湖北武汉)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0 (1) (2) (第1题) 【小结】 此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 类型二 以四边形为背景的综合题 典例2 (2015·安徽)如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于点N. (1)①∠MPN= ; ②求证:PM+PN=3a; (2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON; (3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由. (1) (2) (3) 【全解】 (1)①∵四边形ABCDEF是正六边形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°. ∵PM∥AB,PN∥CD, ∴∠BPM=60°,∠NPC=60°. ∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC =180°-60°-60°=60°. 故答案为60°. ②如图(1),作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K, (1) (2)如图(2),连接OE. (2) ∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC, ∴AM=BP=EN. 又∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE, 在△ONE和△OMA中, ∴△OMA≌△ONE(SAS). ∴OM=ON. (3)如图(3),连接OE. (3) 由(2)得,△OMA≌△ONE, ∴∠MOA=∠EON. ∵EF∥AO,AF∥OE, ∴四边形AOEF是平行四边形. ∴∠AFE=∠AOE=120°. ∴∠MON=120°. ∴∠GON=60°. ∵∠GON=60°-∠EON,∠DON=60°-∠EON, ∴∠GOE=∠DON. ∵OD=OE,∠ODN=∠OEG, 在△GOE和∠DON中, ∴△GOE≌△NOD(ASA). ∴ON=OG. 又∠GON=60°, ∴△ONG是等边三角形. ∴ON=NG. ∵OM=ON,∠MOG=60°, ∴△MOG是等边三角形. ∴MG=GO=MO. ∴MO=ON=NG=MG. ∴四边形MONG是菱形. 【技法梳理】 (1)①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解,②作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解; (2)连接OE,由△OMA≌△ONE证明; (3)连接OE,由△OMA≌△ONE,再证出△GOE≌△NOD,由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形. 举一反三 2. (2015·山东烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动. (1)如图(1),当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由. (2)如图(2),当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明) (3)如图(3),当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. (4)如图(4),当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值. (1) (2) (3) (4) (第2题) 【小结】 主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段. 类型三 以圆为背景的综合题 典例3 (2015·江苏苏州)如图,已知l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,☉O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD,AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若☉O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,☉O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s), (1)如图,连接OA,AC,则∠OAC的度数为 °; (2)如图,两个图形移动一段时间后,☉O到达☉O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长); (3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图). 【全解】 (1)∵l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切, ∴∠OAD=45°. ∵AB=4 cm,AD=4cm, ∴CD=4cm,AD=4cm. ∴∠DAC=60°. ∴∠OAC的度数为∠OAD+∠DAC=105°. (2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设☉O1与l1的切点为点E, 连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1, 在Rt△A1D1C1中, ∵A1D1=4,C1D1=4∴tan∠C1A1D1= , . ∴∠C1A1D1=60°. ∴OO1=3t=2+6. (3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1, 如图,此时☉O移动到☉O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置, 设☉O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2, ∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2. 由(2)得,∠C2A2D2=60°, ∴∠GA2F=120°. ∴∠O2A2F=60°. 在Rt△A2O2F中,O2F=2, ②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2, 记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时为位置二,第二次相切时为位置三, 由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等, 【提醒】 本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识,利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键. 【技法梳理】 (1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°,∠DAC=60°,进而得出答案; (2)首先得出,∠C1A1D1=60°,再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2,求出t的值,进而得出OO1=3t得出答案即可; (3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,分别求出即可. 举一反三 3. (2015·浙江宁波)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案: 方案一:直接锯一个半径最大的圆; 方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆; 方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆; 方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆. (1)写出方案一中圆的半径. (2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大? (3)在方案四中,设CE=x(0 ②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半 径最大. 方案一 方案二 方案三 方案四 方案备用图 方案备用图 (第3题) 【小结】 本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容,题目虽看似新颖不易找到思路,但仔细观察每一小问都是常规的基础考点,所以总体来说是一道质量很高的题目,值得认真练习. 类型一 2. (2015·浙江嘉兴)如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论: ①CE=CF; ②线段EF的最小值为2 ; ③当AD=2时,EF与半圆相切; ④若点F恰好落在 上,则AD=2 ; ⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是16 其中正确结论的序号是 . . (第2题) 类型二 3. (2015·广东珠海)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG. (1)求证:EF∥AC; (2)求∠BEF大小; . (第3题) 4. (2015·浙江温州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒. (1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标. (2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形. (3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中▱PCOD的面积为S. ①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值; ②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取 值范围. (第4题) 类型三 5. (2015·湖南怀化)如图,E是长方形ABCD的边AB上的点,EF⊥DE交BC于点F. (1)求证:△ADE∽△BEF; (2)设H是ED上一点,以EH为直径作☉O,DF与☉O相切于点G,若DH=OH=3,求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位, ≈1.73,π≈3.14). (第5题) 6. (2015·黑龙江大庆)如图(1),已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x. (1)用x表示AD和CD; (2)用x表示S,并求S的最大值; (3)如图(2),当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求☉O的半径R的值. (1) (2) (第6题) 参考答案 【真题精讲】 (2)如图(1),过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t, (第1题(1)) ∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°, ∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°. ∴△ACQ∽△CMP. (3)如图(2),仍有PM⊥BC于点M,PQ的中点设为点D,再作PE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F, (第1题(2)) ∵∠ACB=90°, ∴DF为梯形PECQ的中位线. ∵BC=8,过BC的中点R作直线平行于AC, ∴RC=DF=4成立. ∴D在过R的中位线上. ∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上. 2. (1)AE=DF,AE⊥DF.理由: ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°. ∵DE=CF, ∴△ADE≌△DCF. ∴AE=DF,∠DAE=∠CDF. 由于∠CDF+∠ADF=90°. ∴∠DAE+∠ADF=90°. ∴AE⊥DF; (2)是. (3)成立.理由如下: 由(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF, 如图(1),延长FD交AE于点G, (第2题(1)) 则∠CDF+∠ADG=90°, ∴∠ADG+∠DAE=90°. ∴AE⊥DF; (4)如图(2): (第2题(2)) 由于点P在运动中保持∠APD=90°, ∴点P的路径是一段以AD为直径的弧, 设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小, 在Rt△ODC中,OC= = = , ∴CP=OC-OP=-1. 3. (1)方案一中的最大半径为1. 分析如下: 因为长方形的长宽分别为3,2,那么直接取圆直径最大为2,则半径最大为1. (2)如图(1),方案二中连接O1,O2,过O1作O1E⊥AB于E,方案三中,过点O分别作AB,BF的垂线,交于M,N,此时M,N恰为☉O与AB,BF的切点. 方案二 方案三 (第3题) 方案二:设半径为r. 在Rt△O1O2E中, ∵O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=AB-AO1-CO2=3-2r, ∴(2r)2=22+(3-2r)2, 比较知,方案三半径较大. (3)①∵EC=x, ∴新拼图形水平方向跨度为3-x,竖直方向跨度为2+x. 类似题(1),所截出圆的直径最大为3-x或2+x较小的. ∴方案四时可取的圆桌面积最大. 【课后精练】 1. ①②③④ 解析:①∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵∠ADE=∠B, ∴∠ADE=∠C. ∴△ADE∽△ACD. 故①结论正确. 故③正确. ④易证得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16, 设BD=y,CE=x, 整理,得y2-16y+64=64-10x, 即(y-8)2=64-10x, ∴0 (第2题(1)) ∵点E与点D关于AC对称, ∴CE=CD. ∴∠E=∠CDE. ∵DF⊥DE, ∴∠EDF=90°. ∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°. ∴∠F=∠CDF. ∴CD=CF. ∴CE=CD=CF. ∴结论“CE=CF”正确. ②当CD⊥AB时,如图(2)所示. (第2题(2)) ∵AB是半圆的直径, ∴∠ACB=90°. ∵AB=8,∠CBA=30°, ∴∠CAB=60°,AC=4,BC=4∵CD⊥AB,∠CBA=30°, . 根据“点到直线之间,垂线段最短”可得: 点D在线段AB上运动时,CD的最小值为2 . ∵CE=CD=CF, ∴EF=2CD. ∴线段EF的最小值为4 . ∴结论“线段EF的最小值为2”错误. ③当AD=2时,连接OC,如图(3)所示. (第2题(3)) ∵OA=OC,∠CAB=60°, ∴△OAC是等边三角形. ∴CA=CO,∠ACO=60°. ∵AO=4,AD=2, ∴DO=2. ∴AD=DO. ∴∠ACD=∠OCD=30°. ∵点E与点D关于AC对称, ∴∠ECA=∠DCA. ∴∠ECA=30°. ∴∠ECO=90°. ∴OC⊥EF. ∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF, ∴EF与半圆相切. ∴结论“EF与半圆相切”正确. ④当点F恰好落在 上时,连接FB,AF,如图(4)所示. (第2题(4)) ∵点E与点D关于AC对称, ∴ED⊥AC. ∴∠AGD=90°. ∴∠AGD=∠ACB. ∴ED∥BC. ∴△FHC∽△FDE. ∴DB=4. ∴AD=AB-DB=4. ∴结论“AD=2 ”错误. ⑤∵点D与点E关于AC对称, 点D与点F关于BC对称, ∴当点D从点A运动到点B时, 点E的运动路径AM与AB关于AC对称, 点F的运动路径NB与AB关于BC对称. ∴EF扫过的图形就是图(5)中阴影部分. (第2题(5)) ∴EF扫过的面积为16. ∴结论“EF扫过的面积为16 3. (1)∵四边形ABCD是正方形, ”正确. ∴AD∥BF. ∵AE=CF, ∴四边形ACFE是平行四边形. ∴EF∥AC. (2)连接BG, (第3题) ∵EF∥AC, ∴∠F=∠ACB=45°. ∵∠GCF=90°, ∴∠CGF=∠F=45°. ∴CG=CF. ∵AE=CF, ∴AE=CG. 在△BAE与△BCG中, ∴△BAE≌△BCG(SAS). ∴BE=BG. ∵BE=EG, ∴△BEG是等边三角形. ∴∠BEF=60°. (3)∵△BAE≌△BCG, ∴∠ABE=∠CBG. ∵∠BAC=∠F=45°, ∴△AHB∽△FGB. (2)如图(1),连接CD交OP于点G, (第4题(1)) 在▱PCOD中,CG=DG,OG=PG, ∵AO=PO, ∴AG=EG. ∴四边形ADEC是平行四边形. (3)①(Ⅰ)当点C在BO上时, 第一种情况:如图(2),当点M在CE边上时, (第4题(2)) ∵MF∥OC, ∴△EMF∽△ECO. ∴t=1. 第二种情况:如图(3),当点N在DE边 (第4题(3)) ∵NF∥PD, ∴△EFN∽△EPD. (Ⅱ)当点C在BO的延长线上时, 第一种情况:如图(4),当点M在DE边上时, (第4题(4)) ∵MF∥PD, ∴EMF∽△EDP. 第二种情况:如图(5),当点N在CE边上时, (第4题(5)) ∵NF∥OC, ∴△EFN∽△EOC. 5. (1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=90°. ∵EF⊥DE, ∴∠DEF=90°. ∴∠AED=90°-∠BEF=∠EFB. ∵∠A=∠B,∠AED=∠EFB, ∴△ADE∽△BEF. (2)∵DF与☉O相切于点G, ∴OG⊥DG. ∴∠DGO=90°. ∵DH=OH=OG, ∴∴图中阴影部分的面积约为6.2. 6. (1)作AH⊥CD于点H,BG⊥CD于点G,如图(1), (第6题(1)) 则四边形AHGB为矩形, ∴HG=AB=3x. ∵四边形ABCD为等腰梯形, ∴AD=BC,DH=CG. 在Rt△ADH中,设DH=t, ∵∠ADC=60°, ∴∠DAH=30°. ∴AD=2t,AH=∴BC=2t,CG=t. ∵等腰梯形ABCD的周长为48, ∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x. ∴AD=2(8-x)=16-2x, CD=8-x+3x+8-x=16+x. t. (3)连接OA,OD,如图(2), (第6题(2)) 当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为则AE=3,DF=9, (8-2)=6 , ∵点E和点F分别是AB和CD的中点, ∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴. ∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上. 设OE=a,则OF=6在Rt△AOE中, -a. . ∵OE2+AE2=OA2, ∴a2+32=R2. 在Rt△ODF中, ∵OF2+DF2=OD2, ∴(6 -a)2+92=R2. -a)2+92,解得a=5 ∴a2+32=(6∴R2=(5∴R=2 . )2+32=84. . 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容