2007年高考数学卷(江苏卷)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（江苏卷）

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式：

若事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的

kknk概率为Pn(k)Cnp(1p)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的． ．．．．

1．下列函数中，周期为Ａ．ysinπ的是（ ） 2Ｃ．ycosx 2

Ｂ．ysin2x

x 4

UＤ．ycos4x

2．已知全集UZ，A101，，，2，Bxxx，则A2B为（ ）

Ａ．1，2 Ｂ．10， Ｃ．01，

Ｄ．1，2

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x2y0，则它的离心率为（ ）

Ａ．5 Ｂ．

5 2Ｃ．3 Ｄ．2

4．已知两条直线m，n，两个平面，．给出下面四个命题：

all`试题 1

梦想不会辜负一个努力的人 ①m∥n，m⊥n⊥；②∥，m，nm∥n； ③m∥n，m∥n∥；④∥，m∥n，m⊥n⊥． 其中正确命题的序号是（ ） Ａ．①、③ Ｂ．②、④

Ｃ．①、④ Ｄ．②、③

5．函数f(x)sinx3cosx(xπ，0)的单调递增区间是（ ）

Ａ．π，5π 6Ｂ．5ππ， 660 Ｃ．，π30 Ｄ．，π66．设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x1对称，且当x≥1时，

f(x)3x1，则有（ ）

Ａ．ff1332f 23Ｂ．f231ff 323321ff 233Ｃ．f213ff 332Ｄ．f3237．若对于任意的实数x，有xa0a1(x2)a2(x2)a3(x2)，则a2的值为（ ）

Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12

8．设f(x)lgＡ．(1，0)

2a是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是（ ） 1xＢ．(0，1)

Ｃ．(，0)

Ｄ．(，0)(1，)

29．已知二次函数f(x)axbxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，有

f(x)≥0，则

Ａ．3

f(1)的最小值为（ ） f(0)Ｂ．

5 2Ｃ．2

Ｄ．

3 210．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，y)xy≤1，且x≥0，y≥0，则平面区域B(xy，xy)(x，y)A的面积为（ ） Ａ．2

Ｂ．1

Ｃ．

1 2Ｄ．

1 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．

all`试题 2

梦想不会辜负一个努力的人 13，cos()，则tantan_____． 5512．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答）

11．若cos()13．已知函数f(x)x12x8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则

3Mm_____．

14．正三棱锥PABC的高为2，侧棱与底面ABC成45角，则点A到侧面PBC的距离为_____．

15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆

x2y2sinAsinC1上，则_____． 259sinB16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则

d_____，其中t0，60．

三、解答题：本大题共5小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）

某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后第2位）： （1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．（4分） 18．（本题满分12分）

D1

如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，

B1 C1 点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11． （1）求证：E，B，F，D1四点共面；（4分）

A1

F M D

C E

2（2）若点G在BC上，BG，点M在BB1上，

3H G B

A

GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1；（4分）

（3）用表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tan．（4分） 19．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点

C A O P B y all`试题 x Q l 3

梦想不会辜负一个努力的人 C(0，c)任作一直线，与抛物线yx2相交于A，B两点．一条垂直于x轴的直线，分别与

线段AB和直线l:yc交于点P，Q． （1）若OAOB2，求c的值；（5分）

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分） 20．（本题满分16分）

a1b1，a2b2a1，已知an是等差数列，记Sn为数列bnbn是公比为q的等比数列，

的前n项和．

（1）若bkam（m，k是大于2的正整数），求证：Sk1(m1)a1；（4分） （2）若b3ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列bn中的每一项都是数列an中的项；（8分）

（3）是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）

21．（本题满分16分）

已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f(x)bxcxd，

2g(x)ax3bx2cxd．方程f(x)0有实数根，且f(x)0的实数根都是

g(f(x))0的根；反之，g(f(x))0的实数根都是f(x)0的根．

（1）求d的值；（3分）

（2）若a0，求c的取值范围；（6分）

（3）若a1，f(1)0，求c的取值范围．（7分）

all`试题 4

梦想不会辜负一个努力的人 2007年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（江苏卷）参考答案

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，共计50分．

1．Ｄ 2．Ａ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ａ 9．Ｃ 10．Ｂ

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共计30分． 11．

6515πt 12．75 13．32 14． 15． 16．10sin

52460三、解答题

17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为

P5(2)C520.82(10.8)52100.820.230.05．

（2）5次预报中至少有2次准确的概率为

1P5(0)P5(1)

11C500.80(10.8)50C50.81(10.8)51

10.000320.00640.99．

（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为

10.8C40.8(10.8)4140.820.230.02．

18．本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分． 解法一：

D1

A1

（1）如图，在DD1上取点N，使DN1，连结EN，CN，

B1 C1 则AEDN1，CFND12．

F N E

CFD1N因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE，

都为平行四边形．

M D

C AD，FD1∥CN． 从而EN∥H G B

A

BC，所以EN∥BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，又因为AD∥从而FD1∥BE．

因此，E，B，F，D1四点共面．

all`试题 5

梦想不会辜负一个努力的人 （2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM∠CFB，

BMBGtan∠BGMBGtan∠CFBBGBC231． CF32BM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM． 因为AE∥又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1．

（3）如图，连结EH．

因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF． 于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM．

因为∠MBH∠CFB，所以MHBMsin∠MBHBMsin∠CFB

BMBCBC2CF21332223， 13tanEM13． MH解法二：

0，1)，BF(0，3，2)，BD1(3，（1）建立如图所示的坐标系，则BE(3，3，3)，

所以BD1BEBF，故BD1，BE，BF共面． 又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面．

D1 z A1 B1 ，z， （2）如图，设M(0，0，z)，则GM0，23C1 F 23，2)，由题设得GMBF3z20， 而BF(0，3得z1．

y C 0，0)， 因为M(0，0，1)，E(3，0，1)，有ME(3，E M D A x

H G B 3，0)，所以MEBB10，MEBC0，从而ME⊥BB1，又BB1(0，0，3)，BC(0，ME⊥BC．

故ME⊥平面BCC1B1．

3)⊥截面EBFD1，于是BP⊥BE，BP⊥BF． （3）设向量BP(x，y，0，1)，BF(0，3，2)，得BPBE3x30，BPBF3y60，解得而BE(3，2，3)． x1，y2，所以BP(1，0，0)⊥平面BCC1B1，所以BP和BA的夹角等于或π（为锐角）． 又BA(3，all`试题 6

梦想不会辜负一个努力的人 于是cosBPBABPBA1． 14故tan13．

19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分． 解：（1）设直线AB的方程为ykxc，

2将该方程代入yx得xkxc0．

2y B 2令A(a，a)，B(b，b)，则abc．

2C A O P x 因为OAOBababcc2，解得c2， 或c1（舍去）．故c2．

222Q l a2ca2abab，c，直线AQ的斜率为kAQ2a． （2）由题意知Qabab2a22又yx的导数为y2x，所以点A处切线的斜率为2a， 因此，AQ为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：

2c)． 设Q(x0，若AQ为该抛物线的切线，则kAQ2a， 又直线AQ的斜率为kAQa2ca2aba2ab，所以2a，

ax0ax0ax0ab． 22得2ax0aab，因a0，有x0故点P的横坐标为

ab，即P点是线段AB的中点． 220．本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力．满分16分．

解：（1）设等差数列的公差为d，则由题设得a1da1q，da1(q1)，且q1． 由bkam得b1qk1a1(m1)d，所以b1(qk11)(m1)d，

b1(qk11)(m1)d(m1)a1(q1)Sk1(m1)a1．

q1q1q1all`试题 7

梦想不会辜负一个努力的人 故等式成立．

（2）（ⅰ）证明q为整数：

22由b3ai得b1qa1(i1)d，即a1qa1(i1)a1(q1)，

移项得a1(q1)(q1)a1(i1)(q1)．

因a1b10，q1，得qi2，故q为整数． （ⅱ）证明数列bn中的每一项都是数列an中的项： 设bn是数列bn中的任一项，只要讨论n3的情形． 令b1qn1a1(k1)d，即a1qn1a1(k1)a1(q1)，

qn112qq2得k1q1qn2．

2因qi2，当i1时，q1，qq而i2，否则q0，矛盾．

qn2为1或0，则k为1或2；

当i≥3时，q为正整数，所以k为正整数，从而bnak． 故数列bn中的每一项都是数列an中的项． （3）取q513，b2b1q，b4b1q． 2513b1(51)2b2． b1b4b1(1q3)b112所以b1，b2，b4成等差数列．

21．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化

等思想方法分析问题及推理论证的能力．满分16分．

解：（1）设r为方程的一个根，即f(r)0，则由题设得g(f(r))0．于是，

g(0)g(f(r))0，即g(0)d0．

所以，d0．

（2）由题意及（1）知f(x)bxcx，g(x)axbxcx． 由a0得b，c是不全为零的实数，且g(x)bxcxx(bxc)，

2232all`试题 8

梦想不会辜负一个努力的人 则g(f(x))x(bxc)bx(bxc)cx(bxc)(b2x2bcxc)． 方程f(x)0就是x(bxc)0．①

方程g(f(x))0就是x(bxc)(bxbcxc)0．②

（ⅰ）当c0时，b0，方程①、②的根都为x0，符合题意． （ⅱ）当c0，b0时，方程①、②的根都为x0，符合题意． （ⅲ）当c0，b0时，方程①的根为x10，x2它们不是方程bxbcxc0的实数根．

22由题意，方程bxbcxc0无实数根，此方程根的判别式(bc)4bc0，得

2222c，它们也都是方程②的根，但b220c4．

综上所述，所求c的取值范围为0，4．

（3）由a1，f(1)0得bc，f(x)bxcxcx(x1)，

2g(f(x))f(x)f(x)cf(x)c．③

2由f(x)0可以推得g(f(x))0，知方程f(x)0的根一定是方程g(f(x))0的根． 当c0时，符合题意．

当c0时，b0，方程f(x)0的根不是方程f(x)cf(x)c0 ④ 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．

那么当(c)4c0，即0c4时，f(x)cf(x)c0，符合题意．

222cc24c当(c)4c≥0，即c0或c≥4时，由方程④得f(x)cxcx，

222cc24c0，⑤ 即cxcx22cc24ccc24c20且(c)4c0． 则方程⑤应无实数根，所以有(c)4c22216，矛盾，舍去． 316当c≥4时，只需c22cc24c0，解得0c．

316因此，4≤c．

3当c0时，只需c22cc24c0，解得0call`试题 9

综上所述，所求c的取值范围为0，163．

all`试题 梦想不会辜负一个努力的人 10