湖南省衡阳市2020届高三下学期第一次联考(一模)数学理科试题及答案word

理科数学 第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合Axx(x1)0,Bx11，则CBA=（ ） x2A.(1,0] B.(1,0) C.(,1] D.(,0]

2.复数z在复平面内所对应的点的坐标为(1,1)，则

zz的实部与虚部的和是（ ）

A.2 B.0 C.

222i D.

2223.若“xR，使得sinx3cosxa”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A.[2,2] B.(2,2) C.(,2][2,) D.(,2)(2,) 4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(,0)上单调递增，若af(log13)，

21bf(21.2)，cf()，则a、b、c的大小关系为（ ）

2A.acb B.bca C.bac D.abc 5.已知向量a,b满足：a2,b2，(ab)a，则a在b方向上的投影为（ ）

A.1 B.

2 C.2 D.1 26.我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献. 这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期. 某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ） A.

7245 B. C. D. 9999m0x37.二项式(mx1)(m0)展开式的第二项的系数为3，则edx的值为（ ）

A.e1 B.e1 C.1e D.11 e8.太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”。在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示

x2y242222A(x,y)x(y1)1或x(y1)1，设点(x,y)A，则zxy的取值范

x0围是（ ）

12] A.[12,22] B.[22,22] C.[22,12] D.[2，9.衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘. 某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加二增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该点要求的是（ ） （参考数据：1.0151004.432，lg111.041）

xA.y0.04x B.y1.0151 C.ytan(x1) D.ylog11(3x10) 19x2y210.已知F1，F2分别为双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，过点F1与双曲线的一

ab条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若MF1MF20，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.(1,2) B.(3,) C.(1,2) D. (2,) 11.已知A是函数f(x)sin(2020x)cos(2020x)的最大值，若存在实数x1,x2使

63得对任意实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)成立，则Ax1x2的最小值为（ ）

A.

 B. C. D. 101020203030404012.如图，矩形中ABCD，BC=2AB=2，N为边BC的中点，将△ABN沿AN翻折成B1AN（B1平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在ABN翻折过程中，下列命题： ①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；

②线段CM的长为

3； 23； 3③异面直线CM与NB1所成角的正切值为

④当三棱锥DANB1的体积最大时，三棱锥DANB1外接球表面积是4.正确的个数为（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题与选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．若曲线y=x2+lnx在点（1，1）处的切线与直线x-ay+2=0平行，则实数a的值为 ． 14．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C．△ABC的面积S满足若a43Sb2c2a2，33，则

ac= ．

sinAsinC15．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象

1(OAOB)（其中O为坐标原点），则AB= ． 2ln(x3)1m恒成立，则m的最大值为16已知m为整数，若对任意x(3,)，不等式

xe限的点M（t，2），满足OM ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） （一）必做题（共60分）

17．（本小题满分12分）已知an为等差数列，前n项和为Sn，a3=9，S9=135． （1）求数列an的通项公式；

111（2）记数列前n项和为T，证明: Tnna632n

18．（本小题满分12分）如图，在多面体 ABCDE中，DE∥AB，AC⊥BC，平面DAC⊥平面ABC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC

（1）若点F为BC的中点，证明:EF⊥平面ABC；

（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．

2x2y219．（本小题满分12分）已知椭圆C:221（a>b>0）的离心率为，左、右焦点

2ab分别为F1，F2，过F2的直线与C交于M，N两点，△MF1N的周长为42． （1）求椭圆C的标准方程

（2）过M作与y轴垂直的直线l，点K（为定值?请说明理由．

3，0），试问直线NK与直线l交点的横坐标是否220．（本小题满分12分）若方程f（x）=x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f(x)exlnx(a1)xalnx（a∈R）

（1）若a=-e，求证:f（x）有唯一不动点；

（2）若f（x）有两个不动点，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括:（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收人-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．

新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下： 缴税基数 1 2 3 不超过1500元的部分 超过1500元至4500元的部分 超过4500元至9000元的部分 3 10 20 分 超过25000元至35000元的部4 超过9000元至35000元的部分 25 分 超过35000元至55000元的部5 …

随机抽取某市2020名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每

超过35000元至55000元的部分 … 30 分 … … … 30 25 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部20 3 10 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点 税率（%） 每月应纳税所得额（含税）=收税率（%） 入-个税起征点-专项附加扣除 旧个税税率表（个税起征点3500元） 新个税税率表（个税起征点5000元） 人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1:1:1:2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．

假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题： （1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税；

（2）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望； （3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收人？

（二）选做题（共10分）

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程a(1sin)(a0)表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直

3tx1角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为． 3（t为参数）

y3t（1）求曲线C2的极坐标方程

（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．

23．已知函数f(x)x6xm的定义域为R．

（1）求实数m的取值范围；

（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2=t． 试证明:

1111 ． 222a1b1c1