湖水的污染

湖水污染问题数学建模

摘要

随着市场经济和现在工业的飞速发展，人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾，废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说事行不通的。

通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。

下降到原来的5%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

一、问题重述

设一容积为V（m3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀地分布在湖中，没湖水更新的速率为r(m3/天)，并假设湖水的体积没有变化，试建立湖水污染浓度的数学模型，某时刻起污染源被切断，求污染被中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需时间。

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流入r流出湖区V 二、模型假设

1． 湖中的污染状况与任何局部水体的湖中的位置无关。

2． 由于水体的自净能力很弱，忽略生物学因素在水体自净过程中的作用，污染物流出不因腐烂、沉积或其他任何手段从湖中消失。

3． 不考虑湖水在季节上的差异，湖水的体积保持不变，也就是说，假设由降水等原因所引起的流入增量与被蒸发、渗漏所造成的损失量相互抵消。

三、符号说明；

P(t)：t时刻湖水中的污染物含量；

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K :一个大于0的常数；

S ：起始时候湖水中污染物的总量；

t ：时间，以天来进行计算；

J(t)：流入的污染物浓度；

C(t)：流出的污染物浓度；

V(t)：流入污染物的速度；

W(t)：流出污染物的速度。

四、问题分析

在问题中，要估计湖水污染程度随时间的变化，我们用t时刻湖水的污染浓度P(t)来衡量湖水的污染程度。考虑到⊿t时间内湖水中污染物的改变量，在（t+⊿）时刻，湖水污染物浓度为P(t+⊿)，故该时刻内污染物的增加量为V*[P(t+⊿)-P(t)],而湖水中污染物的增量=污染物的流进量-污染物的流出量，即V*[P(t+⊿)-P(t)]=J(t)*V(t)*⊿-C(t)*W(t)*⊿,再进行微分方程求解便可得出污染物浓度与时间的关系，也即污染程度随时间的关系。且又知道从某时刻起污染源被切断，所以就不在需要考虑流入污染物的问题，湖水中的污染物不断减少，即其浓度不断降低。

五、 建立模型与求解

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根据问题的分析，污染物的增量=污染物的流入量-污染物的流出量，建立下面的等式关系：

V*[P(t+⊿)-P(t)]=J(t)*V(t)*⊿-C(t)*W(t)*⊿,对其进行变换得：

V*[P(t+⊿)-P(t)]/⊿= J(t)*V(t)-C(t)*W(t)；

令⊿t 趋近0，取极限，得：

V*dp/dt= J(t)*V(t)-C(t)*W(t)；

由题意和假设可知V(t)= W(t)=r；且污染物的流出浓度与时间成反比，假设其关系为：C(t)=k/t^2

又由于J(t)=0，所以等式进一步化为V*dp/dt=C(t)*r；

变换公式得：dp=(k*r*/t^2)*v*dt;

两边同时积分得：P=s/v-k*r/v*t

代入得：t=[k*r/(s/v-p)]/v;

由题意得P=5%s/v；

得：t=[95%（s/v）*k*r]/v.

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六、 模型的应用

面对越来越紧张的环境污染形势，我们必须将环境问题作为今后发展的前提，努力做到可持续发展。这个模型具有一定的应用价值，可以在环境保护方面，特别是在湖水污染物的治理上，能够起到一定的参考价值，即在处理污染物时，或者在处理一般的溶解问题以及稀释问题上，可以得到很好的应用。

东华理工大学

2010级数学建模作业

课题：湖水污染

学院：机械与电子工程学院

姓名：仇文亮 学号：1020640216

姓名：胡劲 学号：1020640118

姓名：吴家磊 学号：1020640110