2020-2021学年陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)及答案解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） 2，+∞） 2．定义：

=ad﹣bc，若复数z满足

=﹣1﹣i，则z等于（ ）

x﹣1

＜}，则A∩B=（ ）

B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1） D．（﹣

A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i

3．等差数列{an}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（ ） A．4

B．8

C．﹣4 D．﹣8

4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

5．设命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）logax（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不重充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不不要条件

6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（ ）

A．8 B．9

2

C．10 D．7

7．已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则A．

B．1

C．

D．2

=3，D是BC边中垂线上任意一点，则

•

的值是（ ）

的值是（ ）

8．在△ABC中，A．16

B．8

=5，C．4

D．2 ﹣

9．已知F1，F2分别是双曲线则△F1PF2的面积是（ ） A．

B．4

C．2

=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，

D．

10．已知正四面体的棱长A．8π

B．12π C．

，则其外接球的表面积为（ ） π D．3π

11．已知函数f（x）=数m的取值范围是（ ） A．[1，4]

，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实

B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]

﹣x）•cos（x+

）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，

π，

π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意

12．把曲线C：y=sin（

且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[

两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（ ） A．1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（x﹣）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是_______．

n

B．2 C．3 D．1或2

14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为_______cm．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）

2

15．若实数x，y满足，则的最大值是_______．

16．已知数列{an}中，a1=2，若an+1=2an+2（n∈N），则数列{an}的通项公式an=_______．

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知

．

（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若范围．

18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点． （1）求证：PA⊥平面CDM； （2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．

的菱形，∠，求f（A）的取值

，函数

的图象过点

n+1*

19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标． 某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天． （Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；

（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．

20．过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，

已知△AF1B的周长为4（1）求椭圆C的方程；

，椭圆的离心率为．

（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．

21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x （Ⅰ）求f（x）的极值；

2

（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且

（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切； （2）求EC的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知曲线C1的参数方程是

（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴

为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ． （1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；

（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m （Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．

参与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） 2，+∞）

【考点】交集及其运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可． 【解答】解：由B中不等式变形得：2解得：x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1）， ∵A=[﹣2，0）， ∴A∩B=[﹣2，﹣1）， 故选：C． 2．定义：

=ad﹣bc，若复数z满足

=﹣1﹣i，则z等于（ ）

x﹣1

x﹣1

＜}，则A∩B=（ ）

B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1） D．（﹣

＜=2，得到x﹣1＜﹣2，

﹣2

A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用新定义直接化简的共轭复数，进行化简可得答案． 【解答】解：根据定义则iz=1， ∴故选：C．

．

=﹣zi﹣i=﹣1﹣i，

=﹣1﹣i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母

3．等差数列{an}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（ ） A．4

B．8

C．﹣4 D．﹣8

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】由等差数列性质得a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，由此能求出结果． 【解答】解：∵等差数列{an}中，a4+a8=﹣2， ∴a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1， ∴a6（a2+2a6+a10）=a6×4a6=4． 故选：A．

4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】先求出基本事件总数，再求出“不是整数”包含的基本事件个数，由此能求出“不是整数”的概率．

【解答】解：∵在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a， 再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b， ∴基本事件总数n=4×3=12，

“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个， ∴“不是整数”的概率p==故选：C．

5．设命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）logax（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不重充分条件

．

C．充要条件 D．既不充分也不不要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥，利用向量共线定理即可得出m的值．命题q：关于x的函数y=（m﹣1）logax（a＞0且a≠1）是对数函数，可得m﹣1=1，x＞0，解得m．即可判断出结论．

【解答】解：∵命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥，∴2（m+1）﹣m（m+1）=0，和化为（m+1）（m﹣2）=0，解得m=﹣1或2；

命题q：关于x的函数y=（m﹣1）logax（a＞0且a≠1）是对数函数，∴m﹣1=1，x＞0，解得m=2．

则命题p成立是命题q成立的必要不充分条件． 故选：B．

6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．7

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序，可得当k=8时，S=

+

+

+…+

=，由题意，此时应

该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，从而可得输入的N为为8． 【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得 k=1，S=0 S=

，

满足条件k＜N，k=2，S=满足条件k＜N，k=3，S=…

满足条件k＜N，k=8，S==1﹣=，

++

， +

，

+++…+=（1﹣）+（）+…（﹣）

由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，故输入的N为为8． 故选：A．

7．已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则A．

B．1

C．

D．2

的值是（ ）

2

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出|MN|=（|AF|+|BF|）=|AB|． 【解答】解：过A作AP⊥l于P，过B作BQ⊥l于Q， 则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|．

∵M为AB的中点，∴|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|． ∴

=．

故选：A．

8．在△ABC中，A．16

B．8

=5，C．4

D．2

=3，D是BC边中垂线上任意一点，则

•

的值是（ ）

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】设BC中点为M，利用【解答】解：设BC中点为M，则∴

∵DM⊥BC，∴∴

•

=（

．

）

=

=（

）•（

）

．

表示出

，．

，代入数量积公式计算．

=（故选：B．

）=×（25﹣9）=8．

9．已知F1，F2分别是双曲线则△F1PF2的面积是（ ）

﹣

=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，

A． B．4 C．2 D．

【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意可得F2（

，0），F1（﹣

，0），由余弦定理可得 PF1•PF2=16，由S=

PF1•PF2sin60°，即可求得△F1PF2的面积． 【解答】解：由题意可得F2（在△PF1F2中，由余弦定理可得 F1F2=16+4a=PF1+PF2﹣2PF1•PF2cos60° =（PF1﹣PF2）+PF1•PF2=4a+PF1•PF2， 即有PF1•PF2=16． 可得S△故选：B．

10．已知正四面体的棱长A．8π

B．12π C．

，则其外接球的表面积为（ ） π D．3π

=PF1•PF2sin60°=×16×

=4

．

2

2

2

2

2

2

，0），F1（﹣，0），

【考点】球的体积和表面积．

【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．

【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长， ∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr=4故选：D．

2

，

=3π．

11．已知函数f（x）=数m的取值范围是（ ） A．[1，4]

，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实

B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]

【考点】分段函数的应用．

【分析】若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，数形结合可得答案．

【解答】解：若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点， 则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点， 在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：

∵f′（x）=，

故当m∈（﹣∞，0]∪[1，4]时，两个函数图象有且只有一个交点， 即函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点， 故选：D．

12．把曲线C：y=sin（

﹣x）•cos（x+

）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，

π，

π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意

且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[

两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．1或2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】运用二倍角的正弦公式和诱导公式，可得y=cos2x，再由平移和中心对称可得y=±sin2x，求得函数的导数，由有余弦函数的图象可得减区间，再由b为整数，即可得到b=1或2． 【解答】解：y=sin（=sin（2x+

﹣x）•cos（x+

）=sin（x+

）cos（x+

）

）=cos2x，

由题意可得曲线C′：y=cos（2x﹣2a）， 曲线C′关于点（0，0）中心对称，可得 2a=kπ+

，k∈N，

即有y=±sin2x，

由y=sin2x的导数为y′=cos2x， 由cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+当x∈[

π，

，2kπ+

]．

π]（b为正整数），

过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零， 即有y′＜0恒成立，可得[即有b=1或2；

由y=﹣sin2x的导数为y′=﹣cos2x， 由﹣cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+当x∈[

π，

，2kπ+

]．

π，

π]⊆[

，

]，

π]（b为正整数），

过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零， 即有y′＜0恒成立， 则[

π，

π]⊆[2kπ+

，2kπ+

]不恒成立．

综上可得b=1或2．

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（x﹣）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是1120． 【考点】二项式系数的性质．

【分析】由题意求得n=8，在二项式展开式的通项公式中，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

【解答】解：（x﹣）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数， 展开式共有9项，故n=8．

（x﹣）即（x﹣），它的展开式的通项公式为 Tr+1=令8﹣2r=0，求得r=4，则展开式中的常数项是故答案为：1120．

14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为度忽略不计）

cm．（制作过程铁皮的损耗和厚

2

n

8n

n

=

•（﹣2）r•x8﹣2r，

•（﹣2）4=1120．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，

各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积

【解答】解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100 与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100 另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为锥的表面积为故答案为：

cm．

2

=10，故此两侧面的面积皆为50故此四棱

15．若实数x，y满足，则的最大值是2．

【考点】简单线性规划．

【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出其最大值即可． 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

由，解得A（1，2），

而的几何意义表示平面区域内的点到原点0的斜率， 显然OA的斜率最大， 故的最大值是2， 故答案为：2．

16．已知数列{an}中，a1=2，若an+1=2an+2（n∈N），则数列{an}的通项公式an=n•2． 【考点】数列递推式．

【分析】an+1=2an+2（n≥1），变形为【解答】解：an+1=2an+2（n≥1）， ∴

﹣

=1，

n+1

n+1

n+1

*

n

﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．

∴=1+（n﹣1）=n，

n

an=n•2． 故答案为：n•2．

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知

．

（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若范围．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．

，求f（A）的取值

，函数

的图象过点

n

【分析】（1）由向量和三角函数公式可得f（x）=sin（2x﹣

可得单调增区间；

），由周期公式可得周期，解

（2）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=，进而可得A的范围，由三角函数值域可得．

【解答】解：（1）由题意可得

，

∵点解得解

∴函数f（x）的单调增区间为（2）∵

，∴ccosB+bcosC=2acosB，

在函数f（x）的图象上，∴，∴f（x）=sin（2x﹣

），∴

可得kπ﹣

， ≤x≤kπ+

， ；

，

∴由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB， ∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB， ∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB= ∵B∈（0，π），∴∴∴

∴f（A）的取值范围是

18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点． （1）求证：PA⊥平面CDM；

的菱形，∠

，

， ．

，

，

，

（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面垂直的性质定理即可证明DM⊥BM； （2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可． 【解答】证明（1）由底面ABCD是边长为2∴DC=2

，D0=

，则OA⊥DC，

的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，

建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： 则A（3，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣∵M为PB的中点． ∴M（，

，），

=（，2=（0，2×0﹣×3=0，

，）， ，0）， •

=0，

，0），B（3，2

，0），C（0，

，0），

=（3，0，﹣3），则

•

=×3+2

则PA⊥DM，PA⊥DC，

∵CD∩DM=D，∴PA⊥平面DMC． （2）

=（，0，），

=（3，﹣

，0），

设平面AMC的法向量为=（x，y，z）， 则由•

=0， •

=0，得， ，﹣1），

令x=1，则y=，z=﹣1，则=（1，

同理可得平面CDM的法向量为==（3，0，﹣3），

则cos＜，＞===．

，

即二面角D﹣MC﹣B的余弦值是

19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标． 某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天． （Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；

（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）至多有2天空气质量超标的对立事件是3天空气质量都超标，由此利用对立事件概率计算公式能求出至多有2天空气质量超标的概率．

（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX． 【解答】解：（Ⅰ）设“至多有2天空气质量超标”为事件A，“3天空气质量都超标”为事件B， 则P（B）=0，

∴至多有2天空气质量超标的概率P（A）=1﹣P（B）=1． （Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3， P（X=1）=

=

，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

∴X的分布列为： X P EX=

20．过椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点， 1 =2．

2

3

已知△AF1B的周长为4（1）求椭圆C的方程；

，椭圆的离心率为．

（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）利用△AF1B的周长为4程；

，椭圆的离心率为

，确定几何量，从而可得椭圆的方

（2）设A为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k+1）x+6mkx+3（m﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m＜3k+1，|PM|=||PN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵△AF1B的周长为4∴a=

，c=

，椭圆的离心率为

，

2

2

222

∴b=1，

∴椭圆的方程为：

=1；

（2）设A（xA，yA）、M（xM，yM）、N（xN，yN），A为弦MN的中点， 直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k+1）x+6mkx+3（m﹣1）=0， ∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）﹣12（3k+1）（m﹣1）＞0，∴m＜3k+1，① 由韦达定理，可得A（﹣∵|PM|=||PN|，∴AP⊥MN，

，

）

2

2

2

2

2

2

2

2

∴

∴2m=3k+1②

把②代入①得2m＞m解得0＜m＜2 ∵2m=3k+1＞1，∴m＞ ∴＜m＜2．

当k=0时，m=，也成立． 综上可得m的范围是[，2）．

21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x （Ⅰ）求f（x）的极值；

（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．

2

2

2

2

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；

（Ⅱ）问题转化为a＞lnx﹣lng（x）=lnx+ln

=ln

或a＜lnx+ln

恒成立①，设（hx）=lnx﹣ln

=ln

，

，根据函数的单调性求出a的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是（﹣，+∞）， f′（x）=

，

令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞， ∴f（x）在（﹣，）递增，在（，+∞）递减， ∴f（x）极大值=f（）=ln3﹣；

（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立， ⇔a＞lnx﹣ln设h（x）=lnx﹣lng（x）=lnx+ln

=ln或a＜lnx+ln

=ln

，

恒成立①， ，

由题意得：a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[1，2]恒成立， ⇔a＞h（x）max或a＜g（x）min， ∵h′（x）=

＞0，g′（x）=

＞0，

∴h（x），g（x）在[1，2]递增，要使不等式①恒成立， 当且仅当a＞h（2）或a＜g（1）， 即a＜ln或a＞ln

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]

．

22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且

（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切； （2）求EC的长．

【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．

【分析】（1）取BD的中点为O，连接OE，由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证；

（2）设△BDE的外接圆的半径为r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求EC的长．

【解答】解：（1）证明：取BD的中点为O，连接OE， 由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE， 又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO， 可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE， 可得∠AEO=∠C=90°，

则直线AC与△BDE的外接圆相切； （2）设△BDE的外接圆的半径为r， 在△AOE中，OA=OE+AE， 且即（r+2解得r=2

2

22

2

2

）=r+6， ，OA=4

，

2

由OA=2OE，可得∠A=30°，∠AOE=60°， 可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=则EC=BE=•

r=×

×2

=3．

r，

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知曲线C1的参数方程是

（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴

为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ． （1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；

（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）由

得

，两式平方作和可得直角坐标方程，由ρ=﹣4cosθ

2222

可得：ρ=ρcosθ，把ρ=x+y，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程，联立解得交点坐标．

（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时O到直线AB的距离为【解答】解：（1）由

2

2

，

，即可得出．

得

2

2

两式平方作和得：x+（y﹣2）=4，即x+y﹣4y=0．① 由ρ=﹣4cosθ⇒ρ=ρcosθ，即x+y=﹣4x②

②﹣①：x+y=0，代入曲线C1的方程得交点为（0，0）和（﹣2，2）．

（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时O到直线AB的距离为∴△OAB的面积为：

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m （Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围． 【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．

，

．

，

2

2

2

【分析】（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0可得不等式||x|﹣4|＜2，解此不等式可得解集；

（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可．

【解答】解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣4|＜2， ∴﹣2＜|x|﹣4＜2， ∴2＜|x|＜6，

故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；

（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方， ∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立， ∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4， ∴m的取值范围为m＜4．