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2020-2021学年陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)及答案解析

来源:智榕旅游
 陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集U=R,集合A={x|﹣2≤x<0},B={x|2A.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) 2,+∞) 2.定义:

=ad﹣bc,若复数z满足

=﹣1﹣i,则z等于( )

x﹣1

<},则A∩B=( )

B.(﹣∞,﹣2)∪[﹣1,+∞) C.[﹣2,﹣1) D.(﹣

A.1+i B.1﹣i C.﹣i D.3﹣i

3.等差数列{an}中,a4+a8=﹣2,则a6(a2+2a6+a10)的值为( ) A.4

B.8

C.﹣4 D.﹣8

4.在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“不是整数”的概率为( ) A.

B.

C.

D.

5.设命题p: =(m,m+1),=(2,m+1),且∥;命题q:关于x的函数y=(m﹣1)logax(a>0且a≠1)是对数函数,则命题p成立是命题q成立的( ) A.充分不必要条件

B.必要不重充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不不要条件

6.执行如图所示的程序框图,若输出的S等于,则输入的N为( )

A.8 B.9

2

C.10 D.7

7.已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上过F的两个端点,设线段AB的中点M在l上的摄影为N,则A.

B.1

C.

D.2

=3,D是BC边中垂线上任意一点,则

的值是( )

的值是( )

8.在△ABC中,A.16

B.8

=5,C.4

D.2 ﹣

9.已知F1,F2分别是双曲线则△F1PF2的面积是( ) A.

B.4

C.2

=1(a>0)的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若∠F1PF1=60°,

D.

10.已知正四面体的棱长A.8π

B.12π C.

,则其外接球的表面积为( ) π D.3π

11.已知函数f(x)=数m的取值范围是( ) A.[1,4]

,若函数g(x)=f(x)﹣mx有且只有一个零点,则实

B.(﹣∞,0] C.(﹣∞,4] D.(﹣∞,0]∪[1,4]

﹣x)•cos(x+

)上所有点向右平移a(a>0)个单位,得到曲线C′,

π,

π](b为正整数)时,过曲线C′上任意

12.把曲线C:y=sin(

且曲线C′关于点(0,0)中心对称,当x∈[

两点的直线的斜率恒小于零,则b的值为( ) A.1

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(x﹣)的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则它的展开式中常数项是_______.

n

B.2 C.3 D.1或2

14.某师傅用铁皮制作一封闭的工件,其直观图的三视图如图示(单位长度:cm,图中水平线与竖线垂直),则制作该工件用去的铁皮的面积为_______cm.(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计)

2

15.若实数x,y满足,则的最大值是_______.

16.已知数列{an}中,a1=2,若an+1=2an+2(n∈N),则数列{an}的通项公式an=_______.

三、解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知

(1)求t的值以及函数f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若范围.

18.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PDC是正三角形,底面ABCD是边长为2DAB=120°,且侧面PDC与底面垂直,M为PB的中点. (1)求证:PA⊥平面CDM; (2)求二面角D﹣MC﹣B的余弦值.

的菱形,∠,求f(A)的取值

,函数

的图象过点

n+1*

19.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米及其以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本,检测值茎叶图如图(十位为茎,个位为叶),若从这6天的数据中随机抽出3天. (Ⅰ)求至多有2天空气质量超标的概率;

(Ⅱ)若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数,求X的分布和数学期望.

20.过椭圆C: +=1(a>b>0)的右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,F1为其左焦点,

已知△AF1B的周长为4(1)求椭圆C的方程;

,椭圆的离心率为.

(2)设P为椭圆C的下顶点,椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M,N,当|PM|=|PN|时,求实数m的取值范围.

21.已知函数f(x)=ln(3x+2)﹣x (Ⅰ)求f(x)的极值;

2

(Ⅱ)若对任意x∈[1,2],不等式|a﹣lnx|+ln|f′(x)+3x|>0恒成立,求实数a的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]

22.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB,且

(1)证明:直线AC与△BDE的外接圆相切; (2)求EC的长.

[选修4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线C1的参数方程是

(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴

为极轴,建立平面直角坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ. (1)求曲线C1和C2交点的直角坐标;

(2)A、B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积.

[选修4-5:不等式选讲]

24.已知函数f(x)=|x|,g(x)=﹣|x﹣4|+m (Ⅰ)解关于x的不等式g[f(x)]+2﹣m>0;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.

参与试题解析

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集U=R,集合A={x|﹣2≤x<0},B={x|2A.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) 2,+∞)

【考点】交集及其运算.

【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可. 【解答】解:由B中不等式变形得:2解得:x<﹣1,即B=(﹣∞,﹣1), ∵A=[﹣2,0), ∴A∩B=[﹣2,﹣1), 故选:C. 2.定义:

=ad﹣bc,若复数z满足

=﹣1﹣i,则z等于( )

x﹣1

x﹣1

<},则A∩B=( )

B.(﹣∞,﹣2)∪[﹣1,+∞) C.[﹣2,﹣1) D.(﹣

<=2,得到x﹣1<﹣2,

﹣2

A.1+i B.1﹣i C.﹣i D.3﹣i 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用新定义直接化简的共轭复数,进行化简可得答案. 【解答】解:根据定义则iz=1, ∴故选:C.

=﹣zi﹣i=﹣1﹣i,

=﹣1﹣i,则iz=1,求出复数z,它的分子、分母同乘分母

3.等差数列{an}中,a4+a8=﹣2,则a6(a2+2a6+a10)的值为( ) A.4

B.8

C.﹣4 D.﹣8

【考点】等差数列的通项公式.

【分析】由等差数列性质得a4+a8=2a6=﹣2,解得a6=﹣1,由此能求出结果. 【解答】解:∵等差数列{an}中,a4+a8=﹣2, ∴a4+a8=2a6=﹣2,解得a6=﹣1, ∴a6(a2+2a6+a10)=a6×4a6=4. 故选:A.

4.在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“不是整数”的概率为( ) A.

B.

C.

D.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【分析】先求出基本事件总数,再求出“不是整数”包含的基本事件个数,由此能求出“不是整数”的概率.

【解答】解:∵在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a, 再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b, ∴基本事件总数n=4×3=12,

“不是整数”包含的基本事件有,,,,,,,,共8个, ∴“不是整数”的概率p==故选:C.

5.设命题p: =(m,m+1),=(2,m+1),且∥;命题q:关于x的函数y=(m﹣1)logax(a>0且a≠1)是对数函数,则命题p成立是命题q成立的( ) A.充分不必要条件

B.必要不重充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不不要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】命题p: =(m,m+1),=(2,m+1),且∥,利用向量共线定理即可得出m的值.命题q:关于x的函数y=(m﹣1)logax(a>0且a≠1)是对数函数,可得m﹣1=1,x>0,解得m.即可判断出结论.

【解答】解:∵命题p: =(m,m+1),=(2,m+1),且∥,∴2(m+1)﹣m(m+1)=0,和化为(m+1)(m﹣2)=0,解得m=﹣1或2;

命题q:关于x的函数y=(m﹣1)logax(a>0且a≠1)是对数函数,∴m﹣1=1,x>0,解得m=2.

则命题p成立是命题q成立的必要不充分条件. 故选:B.

6.执行如图所示的程序框图,若输出的S等于,则输入的N为( )

A.8 B.9 C.10 D.7

【考点】程序框图.

【分析】模拟执行程序,可得当k=8时,S=

+

+

+…+

=,由题意,此时应

该不满足条件k<N,退出循环,输出S的值为,从而可得输入的N为为8. 【解答】解:由题意,模拟执行程序,可得 k=1,S=0 S=

满足条件k<N,k=2,S=满足条件k<N,k=3,S=…

满足条件k<N,k=8,S==1﹣=,

++

, +

+++…+=(1﹣)+()+…(﹣)

由题意,此时应该不满足条件k<N,退出循环,输出S的值为,故输入的N为为8. 故选:A.

7.已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上过F的两个端点,设线段AB的中点M在l上的摄影为N,则A.

B.1

C.

D.2

的值是( )

2

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出|MN|=(|AF|+|BF|)=|AB|. 【解答】解:过A作AP⊥l于P,过B作BQ⊥l于Q, 则|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|.

∵M为AB的中点,∴|MN|=(|AP|+|BQ|)=(|AF|+|BF|)=|AB|. ∴

=.

故选:A.

8.在△ABC中,A.16

B.8

=5,C.4

D.2

=3,D是BC边中垂线上任意一点,则

的值是( )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设BC中点为M,利用【解答】解:设BC中点为M,则∴

∵DM⊥BC,∴∴

=(

=

=(

)•(

表示出

,.

,代入数量积公式计算.

=(故选:B.

)=×(25﹣9)=8.

9.已知F1,F2分别是双曲线则△F1PF2的面积是( )

=1(a>0)的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若∠F1PF1=60°,

A. B.4 C.2 D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意可得F2(

,0),F1(﹣

,0),由余弦定理可得 PF1•PF2=16,由S=

PF1•PF2sin60°,即可求得△F1PF2的面积. 【解答】解:由题意可得F2(在△PF1F2中,由余弦定理可得 F1F2=16+4a=PF1+PF2﹣2PF1•PF2cos60° =(PF1﹣PF2)+PF1•PF2=4a+PF1•PF2, 即有PF1•PF2=16. 可得S△故选:B.

10.已知正四面体的棱长A.8π

B.12π C.

,则其外接球的表面积为( ) π D.3π

=PF1•PF2sin60°=×16×

=4

2

2

2

2

2

2

,0),F1(﹣,0),

【考点】球的体积和表面积.

【分析】将正四面体补成一个正方体,正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长,即可得出结论.

【解答】解:将正四面体补成一个正方体,则正方体的棱长为1,正方体的对角线长为∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长, ∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr=4故选:D.

2

=3π.

11.已知函数f(x)=数m的取值范围是( ) A.[1,4]

,若函数g(x)=f(x)﹣mx有且只有一个零点,则实

B.(﹣∞,0] C.(﹣∞,4] D.(﹣∞,0]∪[1,4]

【考点】分段函数的应用.

【分析】若函数g(x)=f(x)﹣mx有且只有一个零点,则函数f(x)与函数y=mx的图象只有一个交点,数形结合可得答案.

【解答】解:若函数g(x)=f(x)﹣mx有且只有一个零点, 则函数f(x)与函数y=mx的图象只有一个交点, 在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示:

∵f′(x)=,

故当m∈(﹣∞,0]∪[1,4]时,两个函数图象有且只有一个交点, 即函数g(x)=f(x)﹣mx有且只有一个零点, 故选:D.

12.把曲线C:y=sin(

﹣x)•cos(x+

)上所有点向右平移a(a>0)个单位,得到曲线C′,

π,

π](b为正整数)时,过曲线C′上任意

且曲线C′关于点(0,0)中心对称,当x∈[

两点的直线的斜率恒小于零,则b的值为( ) A.1

B.2

C.3

D.1或2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】运用二倍角的正弦公式和诱导公式,可得y=cos2x,再由平移和中心对称可得y=±sin2x,求得函数的导数,由有余弦函数的图象可得减区间,再由b为整数,即可得到b=1或2. 【解答】解:y=sin(=sin(2x+

﹣x)•cos(x+

)=sin(x+

)cos(x+

)=cos2x,

由题意可得曲线C′:y=cos(2x﹣2a), 曲线C′关于点(0,0)中心对称,可得 2a=kπ+

,k∈N,

即有y=±sin2x,

由y=sin2x的导数为y′=cos2x, 由cos2x≤0,可得2x∈[2kπ+当x∈[

π,

,2kπ+

].

π](b为正整数),

过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零, 即有y′<0恒成立,可得[即有b=1或2;

由y=﹣sin2x的导数为y′=﹣cos2x, 由﹣cos2x≤0,可得2x∈[2kπ+当x∈[

π,

,2kπ+

].

π,

π]⊆[

],

π](b为正整数),

过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零, 即有y′<0恒成立, 则[

π,

π]⊆[2kπ+

,2kπ+

]不恒成立.

综上可得b=1或2.

故选:D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(x﹣)的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则它的展开式中常数项是1120. 【考点】二项式系数的性质.

【分析】由题意求得n=8,在二项式展开式的通项公式中,再令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项的值.

【解答】解:(x﹣)的展开式中只有第5项的二项式系数最大,故n为偶数, 展开式共有9项,故n=8.

(x﹣)即(x﹣),它的展开式的通项公式为 Tr+1=令8﹣2r=0,求得r=4,则展开式中的常数项是故答案为:1120.

14.某师傅用铁皮制作一封闭的工件,其直观图的三视图如图示(单位长度:cm,图中水平线与竖线垂直),则制作该工件用去的铁皮的面积为度忽略不计)

cm.(制作过程铁皮的损耗和厚

2

n

8n

n

=

•(﹣2)r•x8﹣2r,

•(﹣2)4=1120.

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图.由三视图可知,该几何体的形状如图,它是底面为正方形,

各个侧面均为直角三角形[的四棱锥,用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积

【解答】解:由三视图可知,该几何体的形状如图,它是底面为正方形,各个侧面均为直角三角形的四棱锥,用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积,其底面边长为10,故底面面积为10×10=100 与底面垂直的两个侧面是全等的直角,两直角连年长度分别为10,20,故它们的面积皆为100 另两个侧面也是全等的直角三角形,两直角边中一边是底面正方形的边长10,另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得,其长为锥的表面积为故答案为:

cm.

2

=10,故此两侧面的面积皆为50故此四棱

15.若实数x,y满足,则的最大值是2.

【考点】简单线性规划.

【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,结合的几何意义求出其最大值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:

由,解得A(1,2),

而的几何意义表示平面区域内的点到原点0的斜率, 显然OA的斜率最大, 故的最大值是2, 故答案为:2.

16.已知数列{an}中,a1=2,若an+1=2an+2(n∈N),则数列{an}的通项公式an=n•2. 【考点】数列递推式.

【分析】an+1=2an+2(n≥1),变形为【解答】解:an+1=2an+2(n≥1), ∴

=1,

n+1

n+1

n+1

*

n

﹣=1,利用等差数列的通项公式即可得出.

∴数列是等差数列,首项为1,公差为1.

∴=1+(n﹣1)=n,

n

an=n•2. 故答案为:n•2.

三、解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知

(1)求t的值以及函数f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若范围.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.

,求f(A)的取值

,函数

的图象过点

n

【分析】(1)由向量和三角函数公式可得f(x)=sin(2x﹣

可得单调增区间;

),由周期公式可得周期,解

(2)由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=,进而可得A的范围,由三角函数值域可得.

【解答】解:(1)由题意可得

∵点解得解

∴函数f(x)的单调增区间为(2)∵

,∴ccosB+bcosC=2acosB,

在函数f(x)的图象上,∴,∴f(x)=sin(2x﹣

),∴

可得kπ﹣

, ≤x≤kπ+

, ;

∴由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB,即sinA=2sinAcosB, ∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴cosB= ∵B∈(0,π),∴∴∴

∴f(A)的取值范围是

18.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PDC是正三角形,底面ABCD是边长为2DAB=120°,且侧面PDC与底面垂直,M为PB的中点. (1)求证:PA⊥平面CDM;

的菱形,∠

, .

(2)求二面角D﹣MC﹣B的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.

【分析】(1)建立空间直角坐标系,根据线面垂直的性质定理即可证明DM⊥BM; (2)利用向量法求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】证明(1)由底面ABCD是边长为2∴DC=2

,D0=

,则OA⊥DC,

的菱形,∠DAB=120°,且侧面PDC与底面垂直,

建立以O为坐标原点,OA,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图: 则A(3,0,0),P(0,0,3),D(0,﹣∵M为PB的中点. ∴M(,

,),

=(,2=(0,2×0﹣×3=0,

,), ,0), •

=0,

,0),B(3,2

,0),C(0,

,0),

=(3,0,﹣3),则

=×3+2

则PA⊥DM,PA⊥DC,

∵CD∩DM=D,∴PA⊥平面DMC. (2)

=(,0,),

=(3,﹣

,0),

设平面AMC的法向量为=(x,y,z), 则由•

=0, •

=0,得, ,﹣1),

令x=1,则y=,z=﹣1,则=(1,

同理可得平面CDM的法向量为==(3,0,﹣3),

则cos<,>===.

即二面角D﹣MC﹣B的余弦值是

19.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米及其以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本,检测值茎叶图如图(十位为茎,个位为叶),若从这6天的数据中随机抽出3天. (Ⅰ)求至多有2天空气质量超标的概率;

(Ⅱ)若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数,求X的分布和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.

【分析】(Ⅰ)至多有2天空气质量超标的对立事件是3天空气质量都超标,由此利用对立事件概率计算公式能求出至多有2天空气质量超标的概率.

(Ⅱ)由题意知X的可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和EX. 【解答】解:(Ⅰ)设“至多有2天空气质量超标”为事件A,“3天空气质量都超标”为事件B, 则P(B)=0,

∴至多有2天空气质量超标的概率P(A)=1﹣P(B)=1. (Ⅱ)由题意知X的可能取值为1,2,3, P(X=1)=

=

P(X=2)==,

P(X=3)==,

∴X的分布列为: X P EX=

20.过椭圆C:

+

=1(a>b>0)的右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,F1为其左焦点, 1 =2.

2

3

已知△AF1B的周长为4(1)求椭圆C的方程;

,椭圆的离心率为.

(2)设P为椭圆C的下顶点,椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M,N,当|PM|=|PN|时,求实数m的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1)利用△AF1B的周长为4程;

,椭圆的离心率为

,确定几何量,从而可得椭圆的方

(2)设A为弦MN的中点,直线与椭圆方程联立得(3k+1)x+6mkx+3(m﹣1)=0,由于直线与椭圆有两个交点,可得m<3k+1,|PM|=||PN|,可得AP⊥MN,由此可推导出m的取值范围. 【解答】解:(1)∵△AF1B的周长为4∴a=

,c=

,椭圆的离心率为

2

2

222

∴b=1,

∴椭圆的方程为:

=1;

(2)设A(xA,yA)、M(xM,yM)、N(xN,yN),A为弦MN的中点, 直线y=kx+m与椭圆方程联立,消去y可得(3k+1)x+6mkx+3(m﹣1)=0, ∵直线与椭圆相交,∴△=(6mk)﹣12(3k+1)(m﹣1)>0,∴m<3k+1,① 由韦达定理,可得A(﹣∵|PM|=||PN|,∴AP⊥MN,

2

2

2

2

2

2

2

2

∴2m=3k+1②

把②代入①得2m>m解得0<m<2 ∵2m=3k+1>1,∴m> ∴<m<2.

当k=0时,m=,也成立. 综上可得m的范围是[,2).

21.已知函数f(x)=ln(3x+2)﹣x (Ⅰ)求f(x)的极值;

(Ⅱ)若对任意x∈[1,2],不等式|a﹣lnx|+ln|f′(x)+3x|>0恒成立,求实数a的取值范围.

2

2

2

2

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.

【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极大值即可;

(Ⅱ)问题转化为a>lnx﹣lng(x)=lnx+ln

=ln

或a<lnx+ln

恒成立①,设(hx)=lnx﹣ln

=ln

,根据函数的单调性求出a的范围即可.

【解答】解:(Ⅰ)函数的定义域是(﹣,+∞), f′(x)=

令f′(x)>0,解得:﹣<x<,令f′(x)<0,解得:x>, ∴f(x)在(﹣,)递增,在(,+∞)递减, ∴f(x)极大值=f()=ln3﹣;

(Ⅱ)对任意x∈[1,2],不等式|a﹣lnx|+ln|f′(x)+3x|>0恒成立, ⇔a>lnx﹣ln设h(x)=lnx﹣lng(x)=lnx+ln

=ln或a<lnx+ln

=ln

恒成立①, ,

由题意得:a>h(x)或a<g(x)在x∈[1,2]恒成立, ⇔a>h(x)max或a<g(x)min, ∵h′(x)=

>0,g′(x)=

>0,

∴h(x),g(x)在[1,2]递增,要使不等式①恒成立, 当且仅当a>h(2)或a<g(1), 即a<ln或a>ln

请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]

22.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB,且

(1)证明:直线AC与△BDE的外接圆相切; (2)求EC的长.

【考点】与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明.

【分析】(1)取BD的中点为O,连接OE,由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质,结合圆的切线的定义,即可得证;

(2)设△BDE的外接圆的半径为r,运用直角三角形的勾股定理,和直角三角形的性质,即可得到所求EC的长.

【解答】解:(1)证明:取BD的中点为O,连接OE, 由BE平分∠ABC,可得∠CBE=∠OBE, 又DE⊥EB,即有OB=OE,可得∠OBE=∠BEO, 可得∠CBE=∠BEO,即有BC∥OE, 可得∠AEO=∠C=90°,

则直线AC与△BDE的外接圆相切; (2)设△BDE的外接圆的半径为r, 在△AOE中,OA=OE+AE, 且即(r+2解得r=2

2

22

2

2

)=r+6, ,OA=4

2

由OA=2OE,可得∠A=30°,∠AOE=60°, 可得∠CBE=∠OBE=30°,BE=2rsin60°=则EC=BE=•

r=×

×2

=3.

r,

[选修4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线C1的参数方程是

(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴

为极轴,建立平面直角坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ. (1)求曲线C1和C2交点的直角坐标;

(2)A、B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】(1)由

,两式平方作和可得直角坐标方程,由ρ=﹣4cosθ

2222

可得:ρ=ρcosθ,把ρ=x+y,x=ρcosθ,代入可得直角坐标方程,联立解得交点坐标.

(2)由平面几何知识可知,当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大,此时O到直线AB的距离为【解答】解:(1)由

2

2

,即可得出.

2

2

两式平方作和得:x+(y﹣2)=4,即x+y﹣4y=0.① 由ρ=﹣4cosθ⇒ρ=ρcosθ,即x+y=﹣4x②

②﹣①:x+y=0,代入曲线C1的方程得交点为(0,0)和(﹣2,2).

(2)由平面几何知识可知,当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大,此时O到直线AB的距离为∴△OAB的面积为:

[选修4-5:不等式选讲]

24.已知函数f(x)=|x|,g(x)=﹣|x﹣4|+m (Ⅰ)解关于x的不等式g[f(x)]+2﹣m>0;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围. 【考点】函数的图象;绝对值不等式的解法.

2

2

2

【分析】(Ⅰ)把函数f(x)=|x|代入g[f(x)]+2﹣m>0可得不等式||x|﹣4|<2,解此不等式可得解集;

(Ⅱ)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,则f(x)>g(x)恒成立,即m<|x﹣4|+|x|恒成立,只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可.

【解答】解:(Ⅰ)把函数f(x)=|x|代入g[f(x)]+2﹣m>0并化简得||x|﹣4|<2, ∴﹣2<|x|﹣4<2, ∴2<|x|<6,

故不等式的解集为(﹣6,﹣2)∪(2,6);

(Ⅱ)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方, ∴f(x)>g(x)恒成立,即m<|x﹣4|+|x|恒成立, ∵|x﹣4|+|x|≥|(x﹣4)﹣x|=4, ∴m的取值范围为m<4.

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