圆与方程

一、 基本知识

21、圆的标准方程：xaybr

222、圆的一般方程：x2y2DxEyF0D2E24F0 思考：Ax2By2CxyDxEyF0表示圆的条件是什么？

AB0AB0 C0C0D2E24AF022DEF40AAA3、圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0 4、点与圆的位置关系

dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外 5、直线与圆的位置关系

（1）相离没有公共点0dr （2）相切只有一个公共点0dr （3）相交有两个公共点0dr 6、圆与圆的位置关系

（1）dr1r2外离 （2）dr1r2外切 （3）r1r2dr1r2相交 （4）dr1r2内切 （5）dr1r2内含 7、圆系方程

C（1）过两圆C1：xyD1xE1yF20交点的圆的方程为10和2：xyD2xE2yFx2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20（1）

（2）过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆的方程为

2222x2y2DxEyFAxByC0

C（3）若圆C1：xyD1xE1yF20相交，则公共弦方程10与圆2：xyD2xE2yF为D1D2xE1E2yF1F20

补充说明：若C1与C2相切，则表示经过切点的公切线方程。 8、轨迹方程

（1）定义法（圆的定义）

2222（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用坐标，将这种等量关系表示出来，并将它化简，就可以得到轨迹方程.

（3）相关点法（代入法）：待求动点随已知动点的变动而变动。 9、与圆有关的平面几何知识

（1）圆外一定点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

PBminBNBCr PBmaxBMBC r（2）圆内一点定A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAminANrAC PAmaxAMrA C（3）过圆内一定点A点作最长、最短的弦（直径与垂直于直径的弦） （4）直线与圆相离，圆上的动点P与直线的距离的最大值、最小值。

（5）两个圆相离，两圆上各取一点，两点之间距离的最值（可与轴对称问题结合）。 （6）过切点的半径垂直与切线；垂径定理。

（7）圆上有一个、两个、三个、四个点到直线的距离为1的条件。

二、基本问题 1、圆的方程

例1 （1）以点(2,1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为( ) (A)(x2)2(y1)23 (B)(x2)2(y1)23 (C)(x2)2(y1)29 (D)(x2)2(y1)29

（2）一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程 （3）求圆心在直线xy0上，且过两圆x2y22x10y240，x2y22x2y80交点的圆的方程．

2、位置关系

例2（1）若圆x2y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l:axby0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) (A)[5,] (B)[,] (C)[,] (D)[0,] 1241212632（2）若方程的任意一组解都满足不等式，则的取值范围是

( ) A. B. C. D.

（3）已知圆C： x320， Bt，0(t0)，若圆C上存在点P，使y11和两点At，2得PA·PB0，则t的最小值为（ ）A. 3 B. 2 C.

3 D. 1

（4）若曲线C1:y1x22x与曲线C2:y1ykx2k0有四个不同的交点，则实数k的取值范围为__________

3、切线问题

例3（1）求过坐标原点且与圆x2y24x2y40相切的直线方程 （2）求与直线xy0相切于点(2,2)，且经过点(4,2)的圆的方程

（3）过直线x-y+6=0上一点，作圆x2y22x10y240的切线，求切线长的最小值 4、弦长问题

例4（1）求过点P（6，－4）且被圆x2y220截得长为62的弦所在的直线方程． （2）已知直线l：

3xy60与圆x2y212交于A， B两点，过A， B分别作l的垂线，两

条直线分别与y轴交于C， D两点，则CD（ ）A. 2 B. 23 C. 4 D. 43 22（3）已知圆C:x1y225及直线l:2m1xm1y7m4mR

①证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交；

②求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

5、对称问题

例5（1）自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆

x2y24x4y70相切，求光线L所在直线方程．

2（2）已知点Pt,t,tR，点M是圆xy121122上的动点，点N是圆x2y上的动点，44则PNPM的最大值是（ ） A.

6、最值问题

51 B. 2 C. 3 D. 5 例6（1）过点(1,2)的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k

（2）（接例4）设直线与圆相交于AB，求ACAB得最小值

（3）实数a,b满足a2b22a2b0，实数c,d满足cd2，则acbd的小值是（ ）A. 2 B. （4）已知圆

222 C. 8 D. 22 ，点为直线

上一动点，过点向圆引两条切线

，其中

为

切点，则的取值范围为__________

（5）已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0，求

①

y22

的最大值和最小值； ②y－x的最小值； ③x+y的最大值和最小值。 x

7、综合问题

例7、已知圆C：x2y22x4y40，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．

例8、已知过点P(0,2)且方向向量为a(1,k)的直线l与圆Q:x2y212x320相交于A、B两点 （1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在常数k，使得向量OAOB与PQ共线？如果存在，求出常数k；否则，请说明理由。

例9、已知圆C1:x2y26x0关于直线l1:y2x1对称的圆为C. （1）求圆C的方程；

（2）过点1,0作直线l与圆C交于A,B两点， O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得在平行四

边形OASB中OSOAOB？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.

例10、已知圆心在原点的圆被直线yx1截得的弦长为14. (1) 求圆的方程；

(2) 设动直线ykx1k0与圆C交于A,B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线

AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由