直线与抛物线题解

，求A，B两点的坐标；

(2)①若点P的坐标为(－2，t)．当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA＝AB成立．

(3)设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．

解：(1)∵点A、B是抛物线y＝x2与直线解得x＝1或B(

，)．

．当x＝1时，y＝1；当

的交点，∴时，

，

，∴A(1，1)，

(2)①∵点P(－2，t)在直线y＝－2x－2上，∴t＝2，∴P(－2，2)．设A(m，m2)，如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F ∵PA＝AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，∴GE＝EF，

．∵GE＝EF＝OE＋OF，∴OF＝GE－OE

＝(GO-OE)-OE=GO-2OE=2－2m．∵

，

∴BF＝2AE－PG＝2m2－2．∴B(2－2m，2m2－2)．∵点B在抛物线y＝x2上，∴2m2－2＝(2－2m)2解得：m＝－1或－3，当m＝－1时，m2＝1；当m＝－3时，m2＝9∴点A的坐标为(－1，1)或(－3，9)．

②设P(a，－2a－2)，A(m，m2)．如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．与①同理可求得：B(2m－a，2m2＋2a＋2)．∵点B在抛物线y＝x2上，∴2m2＋2a＋2＝(2m－a)2整理得：2m2－4am＋a2－2a－2＝0．△＝16a2－8(a2－2a－2)＝8a2＋16a＋16＝8(a＋1)2＋8＞0，∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA＝AB成立．

(3)∵△AOB的外心在边AB上，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠AOB＝90°．设A(m，m2)，B(n，n2)，如答图2所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．∴即

，

，整理得：mn(mn＋1)＝0，∵mn≠0，

∴mn＋1＝0，即mn＝－1．设直线m的解析式为y

＝kx＋b，联立，得：x2－kx－b＝

0．∵m，n是方程的两个根，∴mn＝－b．∴b＝1．设直线m与y轴交于点D，则OD＝1．易知C(0，－2)，OC＝2，∴CD＝OC＋OD＝3．∵∠BPC＝∠OCP，

∴PD＝CD＝3．设P(a，－2a－2)，过点P作PG⊥y轴于点G，则PG＝－a，GD＝OG－OD＝－2a－3．在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2＋GD2＝PD2，即：(－a)2＋(－2a－3)2＝32，整理得：5a2＋12a＝0，解得a＝0(舍去)或

时，

，∴P(

，

)．

，当