两角和与差的正弦、余弦与正切

两角和与差的正弦、余弦与正切

目标认知：学习目标：

会推导两角和与差的余弦公式，能根据两角和的余弦公式推导两角和与差的正弦、正切公式；对所推导的公式能够进行双向运用；能够理解识记公式，准确的运用公式进行三角化简、计算及证明三角恒等式．

学习重点：

推证两角和与差的正、余弦和正切公式并能够准确进行双向运用；辅助角公式及运用．

学习难点：

使学生理解识记公式，准确灵活的运用公式进行三角化简计算，证明三角恒等式．

内容设计：

一、立足于问题的发现解决，立足于知识方法体系的发展完善，引出公式，证公式，重知识发现的

探索过程，重方法的总结领会问题

二、通过例题，精讲，精练，总结领会概括，明析易错易混之处．

推

内容解析：

和差角三角函数公式的推导、应用．

1．问题的提出：

一、

，

2．主要问题的确定：

，

涉及到两个角和与差的三角函数公式，即：、，、、、

，根据同角三角函数关系式，只要解决了正弦、余弦，正切就可以解决了，又根据减正角等价于加负角，

“和”与“差”解决一个就可以了，又根据诱导公式，正弦、余弦解决一个就可以了．

3．主要问题的解决： 我们如何寻找

、

、

（

）的正弦、余弦之间的关系．两角和与差的正、余弦函数与单角的函数值

间会有何关系呢？→问题分析：解决问题不用每个都下大力气，由代数换之思想何诱导公式，知道一个就可推证其他，比如若已知

与α、β 的函数值之间的关系式，由代数换元，可知

即

的关系式，

再由

精力解决一个．

思路分析：我们如何寻找图示．

方法一．

代入新得关系式再进一步化简即可，亦然．→集中

、、（）的正弦、余弦之间的关系．→从熟知的知识中找思路：定义、

1

设：

、

、 ，

、

根据平面几何的知识：

则

与

全等， ，

根据直角坐标系中两点间距离公式有： 即： 因此得到：

方法二． 设：

中，

，

，

，

、

，

，

（即三角形已知两边和夹角，三角形是唯一确定的，如何求第三边？） 如果

是直角三角形，直接运用勾股定理就可解决问题，而斜三角形可以利用直角三角形辅助解决问题，如

果没有直角三角形，那么我们可以作一个直角三角形． 过 ∵ ∴ ∴

因此得到：

作

中，

于，则

，

，

， ，

． ．

2

方法三：

利用三角形的面积公式：

，

，

∵ ∴ ∴

．

，

，

方法四：利用平面几何的知识： 设： 过

方法五：

如图示：Rt△AOB和Rt△AOC ∣OA∣=1,∠AOB= AD⊥CE于D点，易推知∠ACE= 则三角函数定义可知：AC=

，

作

于

，

， ，

，

,∠AOC=,∠CAO=∠ABO=90°,CE⊥OB 于E点，

, CO=

3

, AB=,

CE=

∴CD=CE-AB= AD=OB-OE=

,OE=

由

∠ACE==

可得：

由

∠ACE=

可得：

这些方法中，涉及到三角形中的问题，都需要考虑如何扩展到任意角． 评述：尽管上述几种证法在证的过程中都没有考虑

为任意角的性行，但都有思想的火花在里头，应该领会的

取任意角

是，此处学习的任意角三角函数是直角三角比的推广，许多关系虽从具体中推导出来，但可以证明它在时仍是成立的．

4．所有问题的解决：

无论是得到两角和,还是两角差的正弦、余弦,我们都可以通过诱导公式得到两角和与差的其他三角公式

例： 即：

利用换元法得到：

；

，

开始的问题： 思考：

、

与

、

的关系．

．

，

4

，

注意：两角和（差）的正切公式的适用范围：

、、、的终边都不在轴．

二、和差角三角函数公式的变形、拓展．

1、辅助角公式：

，其中；

或：

注意：一般辅助角取锐角．

口答练习：

，其中；

化简：（1） （3）

； （2）， （4）

； ．

本周典型例题：

1、求值：

；

（1）

（2） （3） （4） （5）

；

； ； ；

分析：注意结合诱导公式等，创造条件使用两角和与差的正弦、余弦公式．

解析：（1）

（2）

（3）

（4）

5

（5）

2、已知

，又由

由

求

， 故

分析：若展开又可直接由

，从而可得出关于的方程求解．经观察：

代入求解．

解析：由 ∴

由 ∴

∴ 故

3、求值：

（1） （3）

； （2）

；

注意：和差角正切公式的运用！ 解析：（1）

4、化简

（2）

（3）

（1）；

（2）； （3）

6

解析：（1）原式=

（2）原式=

=．

（3）[法1] 原式=

=

．

[法2] 原式=

5、已知

的值，先求出

均为锐角，求的值．

的正弦或余弦值．

分析：欲求的某个函数值．由已知弦函数的值，可求

解析：（1）若求 需要判断

的正弦值，得到，

为锐角还是钝角；需要估值：由

7

（2）若求 注意：公式的逆用．

6、已知：函数：

的余弦值，得到．

，

求：（1）的最小正周期； （2）的单调减区间；

（3）对称轴，对称中心； （4）函数的最值； （5）五点法作图（如何取点？）． 分析：[1]从解析式，换元法；[2]从图象切入． 解析：（1）

，

，则，

（2）为函数单调减区间，

（3）为对称轴，

又，则对称中心为；

（4）由，

（5）略．

课堂练习：

，．

（1）若

，，则__________．

（2）若

，则＝__________．

（3）函数 A．周期为

是（ ）

的奇函数 B．周期为

的偶函数

8

C．周期为

的奇函数 D．周期为的偶函数

（4）与函数 (x∈R)为同一个函数的是（ ）

A． B．

C． D．

（5）求值：的值．

（6）已知：，且，求和．

（7）求证：

参：

1、； 2、； 3、D； 4、C； 5、1； 6、； 9

7、略．