一块钱哪里去了

M:一个唱片商店里,卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张,另外30张唱片是一块钱卖3张.那天,这60张唱片全卖完了.

M：30张一块钱两张的唱片收入15元,30张一块钱3张的唱片收入10元,总共是25元.

M：第二天商店老板又拿出60张唱片放到柜台上.

老板:何必要自找麻烦来分唱片？如果30张唱片是一块钱卖两张,30张是一块钱卖3张,何不把60张唱片放在一起,按两块钱5张来卖？这是一样的.

M：商店关门时,60张唱片全按两块钱5张卖出去了.可是,商店老板点钱时发现只卖得24元,不是25元,这使他很吃惊.

M：你认为这一块钱到哪里去了？是不是有个伙计偷了？是不是给顾客找错了钱.

这条悖论是建立等式和不等式性质的极好例子.正如上面的故事所表明的,那个老板觉得把两种唱片放在一起,每5张卖两块钱,和分开来一种卖两张一块钱,一种卖3张一块钱是“同样的”,这就搞错了.没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数.上面的例子中两者之间的差很小,以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的,或者是遗失了.

现在,我们对此悖论作一下代数分析.假设价格较高的唱片是每a张卖b元,价格较低的唱片每c张卖d元.若所有唱片都各以两种不同的价格卖,则一张

bd唱片的平均价格是a和c之和的一半.如果两种唱片合起来,按一个价格卖,那么bda+c张唱片就卖b+d元钱,一张唱片的平均价格就是ac.显然,两套唱片合起来

bdacbd要收入同样多的钱数就必须是2=ac.但令人吃惊的是,这个等式只有在a=c时成立,而与b和d的值无关.如a＞c,则两套唱片合起来卖可得的钱多一些(如我们这个说明中的例子,这里a=3,c=2);如果a＜c,则合起来卖就要赔钱(如上面所举的唱片例子).

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问题1

事实上，从老板思路看，可抽象成这样数学问题： 设新唱片价格为片的价格为

11元/张，共有x张，旧唱片价格为元/张，共有y张；两种合起来卖，唱232元/张，也共有（x+y）张，收入要相等，则有： 5112x+y=（x+y）---------这是一个二元一次不定方程 2352整理结果为：x=y

3 ∵x,y∈N，∴y被3整除，设y=3t,所以x=2t ∵0< x+y<60, ∴ 0<3t+2t<60 ∴ 0222y，即，x＞y 或 x＜y两种卖房所得收入就不一样了， 333比如，取x=30，y=30 x=30＞

2y=20，第一种卖法收入高， 32y=40,第二种卖法收入高。 3比如，取x=30，y=60 x=30＜

从此例来看，两种卖法收入与所卖的张数有关。 具有更为一般意义的结论为：

bd元/张，共有x张，旧唱片价格为元/张，共有y张；两种合acbd起来卖，唱片价格为元/张，也共有（x+y）张，收入要相等，则有：

acbdbdx+y=（x+y）---------这是一个二元一次不定方程，此方程有解。 aacc设新唱片价格为

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问题之2

bdbdbdbd对于x+y=（x+y）这一关系，我们想探讨的是，、、三者之

aaacaccc间的关系，更好的发现等式与不等式之间的关系。 另一个原因，觉得原材料提供的，即

bdac而前面的归纳： 2

bd、ac并非准确表达老板第二种卖法的意思。

这里如果与“何承天算法”联系，则有可能发现新的问题。 “何承天算法”与分数的近似计算

设a,b,c,d都是正整数，如果有

acamancc,则成立，m,n均为bdbmbndd正整数.这就是分数的近似计算方法。

期待有新的发现。

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