五营区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 与函数 y=x有相同的图象的函数是（ ） A．

B．

C．

D．

2． 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

3． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心

4． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（ ）

A．2 B． C．

D．3

5． 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 C．等腰直角三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

6． 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ ）

A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}

7． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α相交但不垂直

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8． 已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（且a＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（ ）

2

，），

A．（﹣，﹣a2）∪（a2，） C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b） 9． 已知双曲线A．

B．

﹣ C．

B．（﹣，a2）∪（﹣a2，） D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） D．

10．已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 11．定义在R上的奇函数f（x），满足A．C．

12．数列{an}的通项公式为an=﹣n+p，数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣5，设cn=

*

中c8＞cn（n∈N，n≠8），则实数p的取值范围是（ ）

+∞） ，且在（0，上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（ ）

B．

D．

，若在数列{cn}

A．（11，25）

B．（12，16] C．（12，17） D．[16，17）

二、填空题

13．方程（x+y﹣1）

=0所表示的曲线是 ．

14．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.

215．如果实数x,y满足等式x2y3，那么

2y的最大值是 ． x16．已知函数f（x）=与i的夹角，则

+

+

，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N），向量=（0，1），θn是向量

+…+= ．

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17．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

给出结论如下：

①若(1,4)(,)，则1；

②对平面任意一点M，都存在,使得M(,)； ③若1，则(,)表示一条直线； ④(1,)18．在平面直角坐标系中，a(1,1)，b(1,2)，记(,)M|OMab，其中O为坐标原点，

(,2)(1,5)；

⑤若0，0，且2，则(,)表示的一条线段且长度为22． 其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线的参数方程是x24t（为参数）.

y3t（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C上任意一点到直线的距离的最大值.

20．设不等式

的解集为.

与

的大小。

（1）求集合； （2）若，∈，试比较

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21．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点． （Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE； （Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；

（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．

22．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=（Ⅰ）求；

22

（Ⅱ）若c=b+

a．

a2，求B．

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23．（本小题满分12分）已知函数f(x)mlnx(42m)x（1）当m2时，求函数f(x)的单调区间； 取值范围．

【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．

24．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

1(mR)． x（2）设t,s1,3，不等式|f(t)f(s)|(aln3)(2m)2ln3对任意的m4,6恒成立，求实数a的

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五营区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D 【解析】解：A：y=B：C：D：故选D

【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题

2． 【答案】A

2

【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x+bx+1，

的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误

与y=x的对应法则不一样，故B错误 =x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误

，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确

∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，

2

∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x+bx+1在交点（0，m）处有公切线，

∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b， 即a=1，b=0． ∴a+b=1． 故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．

3． 【答案】D

【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆心（2,1），半径2． 圆心到直线的距离为：

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。 故答案为：D 4． 【答案】C

解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面． 则体积为

=，解得x=．

圆

：

，所以直线与圆相交。

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故选：C． 5． 【答案】D

【解析】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A， ∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A， ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA， ∴2cosA（sinA﹣sinB）=0， ∴cosA=0，或sinA=sinB， ∴A=

，或a=b，

∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 故选：D． 易错题．

6． 【答案】D

【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象 关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0）， 故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个 单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0）， 则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4， 故选：D．

【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．

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7． 【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥， 因此l⊥α． 故选：B．

8． 【答案】A

，

2

【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a，b），g（x）＞0的解集为（2

），且a＜，

），

2

∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣

则不等式f（x）g（x）＞0等价为

22即a＜x＜或﹣＜x＜﹣a，

或

，

22

故不等式的解集为（﹣，﹣a）∪（a，），

故选：A． 解决本题的关键．

9． 【答案】D 【解析】解：双曲线

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是

﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．

22

根据圆（x﹣2）+y=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，

可得，1=，∴ =，

，可得e=

故此双曲线的离心率为：故选D．

． ．

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【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．

10．【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 11．【答案】B

【解析】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0， ∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减， ∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0 当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0 综上xf（x）＞0的解集为故选B

12．【答案】C

【解析】解：当an≤bn时，cn=an，当an＞bn时，cn=bn，∴cn是an，bn中的较小者， ∵an=﹣n+p，∴{an}是递减数列，

n5

∵bn=2﹣，∴{bn}是递增数列，

∵c8＞cn（n≠8），∴c8是cn的最大者，

则n=1，2，3，…7，8时，cn递增，n=8，9，10，…时，cn递减， ∴n=1，2，3，…7时，2当n=7时，2当n=9时，2

n﹣5

＜﹣n+p

总成立，

7﹣5

＜﹣7+p，∴p＞11，

n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，

9﹣5

＞﹣9+p，成立，∴p＜25，

而c8=a8或c8=b8，

3

若a8≤b8，即2≥p﹣8，∴p≤16，

则c8=a8=p﹣8， ∴p﹣8＞b7=2

7﹣5

，∴p＞12，

故12＜p≤16，

若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，∴p＞16，

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3

∴c8=b8=2，

那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9， ∴p＜17， 故16＜p＜17， 综上，12＜p＜17． 故选：C．

二、填空题

13．【答案】 两条射线和一个圆 ．

22

【解析】解：由题意可得x+y﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分． 由方程（x+y﹣1）

=0，可得x+y﹣1=0，或 x2+y2=4，

故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆， 故答案为：两条射线和一个圆．

【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．

2214．【答案】xy2

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd|002|2，故圆的方程为2x2y22.

15．【答案】3 【解析】

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考点：直线与圆的位置关系的应用. 1

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把16．【答案】

【解析】解：点An（n，

=

∴

+． ，

+…+

=

+

）（n∈N），向量=（0，1），θn是向量

y的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题. x ．

与i的夹角，

，…，=

=， +…+

=1﹣

=

，

故答案为：

【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．【答案】 ②④

【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为两圆的圆心距d=两圆的半径之差R﹣r=

2

（k+1）﹣

k2，

2

（k+1），

圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

=

k2=2

k+

，

，

任取k=1或2时，（R﹣r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误； 若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

22424

将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）+9k=2k，即10k﹣2k+1=2k（k∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 则真命题的代号是②④． 故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．

18．【答案】②③④

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【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由ab(1,4)得21，∴，①错误；

124a与b不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；

记aOA，由OMab得AMb，∴点M在过A点与b平行的直线上，③正确；

1

b由aba2b得，(1)a(2)b0，∵a与不共线，∴，∴aba2b(1,5)，

2

∴④正确；

21xy2xy0x33设M(x,y)，则有，∴，∴且x2y60，∴(,)表示的一

xy0y21x1y33条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)，其长度为25，∴⑤错误．

三、解答题

19．【答案】（1）参数方程为【解析】

试题分析：（1）先将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得(x1)2y21,利用圆的参数方程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C上任一点坐标,用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值. 试题解析：

（1）曲线C的普通方程为2cos，∴xy2x0，

222x1cos14，3x4y60；（2）.

5ysinx1cos∴(x1)y1，所以参数方程为，

ysin直线的普通方程为3x4y60.

（2）曲线C上任意一点(1cos,sin)到直线的距离为

33cos4sin65sin()91414d，所以曲线C上任意一点到直线的距离的最大值为.

555522考点：1.极坐标方程；2.参数方程. 20．【答案】（1）（2）

【解析】（1）由所以

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（2）由（1）和所以故

21．【答案】

，

【解析】（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体， ∴B1C1⊥平面ABB1A1； ∵A1B⊂平面ABB1A1， ∴B1C1⊥A1B．

又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1， ∴A1B⊥平面ADC1B1， ∵A1B⊂平面A1BE，

∴平面ADC1B1⊥平面A1BE； （Ⅱ）证明：连接EF，EF∥设AB1∩A1B=O， 则B1O∥C1D，且

∴EF∥B1O，且EF=B1O， ∴四边形B1OEF为平行四边形． ∴B1F∥OE．

又∵B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE， ∴B1F∥平面A1BE， （Ⅲ）解：

=

=

=

=．

，

，且EF=

，

22．【答案】

sinA

sinA，

22

【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinAsinB+sinBcosA=22

即sinB（sinA+cosA）=

∴sinB=sinA， =

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22

（Ⅱ）由余弦定理和C=b+222

由（Ⅰ）知b=2a，故c=（2+

a2，得cosB=

2）a，

2

可得cosB=，又cosB＞0，故cosB=

所以B=45° 题进行了互化．

23．【答案】

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问

【解析】（1）函数定义域为(0,)，且f(x)令f(x)0，得x1m1(2x1)[(2m)x1]242m． xxx211，x2，………………2分 22m当m4时，f(x)0，函数f(x)的在定义域(0,)单调递减； …………3分 1111当2m4时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x或x， 22m22m1111)，递减区间为(0,)，(,)； 所以函数f(x)的单调递增区间为(,22m22m1111x；由f(x)0，得0x当m4时，由f(x)0，得或x， 2m22m21111,)，递减区间为(0,)，(,)．………5分 所以函数f(x)的单调递增区间为(2m22m2综上所述，m4时，f(x)的在定义域(0,)单调递减；当2m4时，函数f(x)的单调递增区间为111111(,)，递减区间为(0,)，(,)；当m4时，函数f(x)的单调递增区间为(,)，22m22m2m211)，(,)．………6分 递减区间为(0,2m2第 14 页，共 16 页

请

考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 24．【答案】

【解析】

【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置． 【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 从而AC⊥平面BDE．…（4分）

解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

0

因为BE与平面ABCD所成角为60，即∠DBE=60°， 所以

．

，

，

．

，

． ，即

．

，B（3，3，0），C（0，3，0），

由AD=3，可知则A（3，0，0），所以

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则令

，则=

．

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因为AC⊥平面BDE，所以所以cos

为平面BDE的法向量，

．

．…（8分）

．

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）． 则． 因为AM∥平面BEF，

所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2． 此时，点M坐标为（2，2，0）， 即当

时，AM∥平面BEF．…（12分）

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