本文以实际中使用史陶比尔六轴工业机器人进行激光熔覆加工过程为例，首先论述工业机器人运动学的位姿逆问题，提出一种解析算法：与机器人运动学领域普遍采用的引入四阶矩阵方程的DH算法不同，本文应用几何法列出2个三阶矩阵方程，分别用来描述机器人的末端位置等式和末端姿态等式，由于方程中的三阶矩阵为酋矩阵，它的逆矩阵与转置矩阵相同，更方便进行求逆等矩阵运算；其次，在成功求解机器人位姿逆问题的基础上，采用对时间求导的方法求线速度逆问题的解析解，采用向量分解原理求角速度逆问题的解析解。本文所述的算法将工业机器人的模型抽象简化为数学模型，使工程师不必依赖机器人实体进行机器人逆问题的求解，可进行离机求解。
关键词：工业机器人,六轴,位姿逆问题,关节坐标,世界坐标,工具坐标
1概述
1.1工业机器人定义
国际标准组织（ISO）曾经对工业机器人的定义是：它是一种自动的、位置可控的，具有编程能力的多功能机械手，这种机械手具有多轴，能够借助于可编程序操作来处理各种材料、零件、工具和专用装置，以执行各种任务[1]。
1.2史陶比尔集团
史陶比尔集团总部位于瑞士，是一家在纺织机械，工业快速接头和工业机器人三大领域保持领先地位的世界知名企业。本文采用史陶比尔RX160型六轴工业机器人为研究对象。
1.3工业机器人的组成
工业机器人一般由机械运动机构本体、控制器系统、伺服驱动机构、传感器装置四部分组成 [2]。其中，机械运动机构本体由多个部件或构件组成，包括：基座、腰部、大臂、肘部、小臂、手腕、末端连杆[3]，它们之间由关节连接。工业机器人一般具有6个关节，每个关节都有1个伺服电机和1个减速器。
1.4工业机器人坐标系1.4.1关节坐标系
关节坐标系是工业机器人最基本的坐标系。笔者所述史陶比尔工业机器人具有6个旋转关节，各个关节通过电机驱动完成相对旋转，使机器人末端达到指定的位姿，由这6个关节角度组成的坐标系就是关节坐标系。当这6个角度均为0时，机器人所处的位姿称为初始位姿，如图1所示。
图1 机器人初始状态各轴旋转到确定的角度后，即确定了机器人的形态和手臂末端位置。在史陶比尔机器人的Val3语言中，可以通过设置关节坐标下的位姿“joint （到确定的角度位置，如图2所示。
图2 关节坐标系示意），使机器人移动6个关节Robot Technique and Application20196
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Technique and application 技术应用
不过，使用者通常不太关心关节坐标的值，而是关心机器人手臂末端的位置和姿态，所以还需要引入一个让使用者更加方便的笛卡尔坐标系，即世界坐标系。
1.4.2世界坐标系
世界坐标系是最直观的笛卡尔坐标系，类似于一般数控机床的机床坐标系。世界坐标系包括原点和符合右手定则的X、Y、Z 3个坐标轴，其中，原点是机器人底座的中心点，X轴指向机器人的正前方，Z轴指向机器人的正上方，Y轴的方向用右手定则给出，如图3所示。
图3 机器人世界坐标系
本研究的世界坐标系也具有6个自由度，包括x、y、z 3个位置参数和rx、ry、rz 3个角度参数。其中，x、y、z的物理意义是机器人手臂末端法兰盘的中心点相对于原点的平移量；rx、ry、rz 的物理意义是手臂末端法兰盘的中心轴线从竖直向上的初试方向开始，先绕Z轴转动rz，然后绕Y轴转动ry，再绕X轴转动rx后的最终转动量。
1.4.3工具坐标系
除世界坐标系外，还有一个笛卡尔坐标系叫做工具坐标系，它类似于数控机床的刀补。在没有设定刀具坐标系的情况下，世界坐标系是指定机器人手臂末端法兰盘(见图4)的位置和角度。
图4 机器人手臂末端法兰盘
当机器人手臂末端需要安装不同形状尺寸的工具（如焊枪、油漆喷头等）时，使用者便不再关心机器人手臂末端的位置和角度，而是关心焊枪、油漆喷头等工具的位置和角度，这时就需要设定工具坐标系。本研究的工具坐标系也是6自由度的笛卡尔坐标系，包含toolx、tooly、toolz
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机器人技术与应用20196
3个位置参数，用来记录执行器末端相对于机器人手臂末端法兰盘的位置偏移量；toolrx、toolry、toolrz 3个角度参数，用来记录执行器轴线相对于机器人手臂末端法兰盘的角度偏转量。以本文项目为例，工具坐标系描述激光头相对于法兰盘的尺寸偏移和偏转，如图5所示。
图5 激光头
利用史陶比尔机器人的自动计算功能，得出该工具的坐标系数值为:
这些数值反映出激光头相对于末端法兰盘的平移量和旋转量，如图6所示。
以下论述的工具坐标系均指以此激光头建立的工具坐标系。
图6 激光头的工具坐标系
1.5工业机器人连杆参数
1955年，Denavit和Hartenburg描述了一种对工业机器人连杆和关节进行建模的简单方法，适用于任何机器人构型，目前已成为表示机器人和对机器人进行运动学建模
的标准方法，称为DH连杆参数表示法。
本研究的机器人由6个连杆和6个关节组成，基座称为连杆0，不包含在这6个连杆之内，与基座相连的首个运动杆为连杆1，连杆1与基座由关节1相连，依次类推。
首先建立机器人连杆坐标系，具体步骤如下：1）找到各关节轴，根据关节转角按右手定则规定
Zi，需要注意的是，Zi所在轴线在连杆i-1和连杆i的关节ji上；
2）找出相邻关节轴Ji-1和J1轴线之间的交点或公垂线，将交点或公垂线与Ji相交的点作为连杆坐标系的原点Oi；
3）将过连杆坐标系的原点且沿2）中所述公垂线的方向由连杆i-1指向i的轴作为Xi，
若关节轴Ji-1和Ji相交，则规定此时的Xi垂直于关节轴Ji-1和Ji所在的平面，且其方向由叉乘运算Zi-1×Zi决定；
4）Yi轴根据Zi轴和Xi轴按右手定则确定。如图7所示。
图7 DH连杆坐标系参数及定义
采用上述步骤建立好机器人连杆坐标系后，就可以用4个DH参数来描述每个连杆及其对应的关节与相邻连杆之间的关系，如表1所示。4个参数表示的含义如下：
1）杆长参数：沿着Xi-1轴，从Zi-1移动到Zi的位移；2）扭角参数
：沿着Xi-1轴，从Zi-1旋转到Zi的角度；
3）连杆偏转参数:沿着轴，从Xi-1移动到Xi的位移；4）关节位移参数：沿着轴，从Xi-1旋转到Xi的角度[4]。
表1 史陶比尔RX160工业机器人DH连杆参数
/mm/（。）/mm/（。）1.6工业机器人运动学概述
从机构学角度来看，工业机器人本身是由一系列连杆经过旋转副串联而形成的开式运动链。当机器人进行既定任务（如码垛、焊接、喷涂等）时，所有的杆件之间需要相互关联形成统一的运动，以满足末端执行器相应的运动要求。因此，需要采用一种可以描述这种串联多杆件统一
技术应用Technique and application 运动的位移、速度、加速度等参数的方法，来分析机器人空间运动的内在规律和表达方式，即机器人运动学。
具体来讲，机器人运动学中有以下几类基本问题。1.6.1位姿正问题
机器人运动方程的表示问题，即运动学正问题，是指对一给定的机器人，已知连杆几何参数和关节坐标，欲求机器人末端相对于参考坐标系的点位和姿态(简称位姿)。机器人运动学正问题即机器人运动方程的建立。
1.6.2位姿逆问题
机器人运动学逆问题，是指已知机器人连杆的几何参数和给定机器人末端的世界坐标，求对应的关节坐标。机器人运动学逆问题就是运动方程的求解。这一过程是机器人进行轨迹规划和离线编程的必要前提，更是机器人运动控制的重要基础[5-6]。
对于串联机器人，运动学正问题一般较为简单，且解唯一；而运动学逆问题则是复杂的非线性超越方程的求解，存在以下两点问题：
1）存在性问题，即在机器人许可的关节范围内，是
否有可行解；
2）奇异性问题，即解得结果是否对机器人运动性能产生影响。
针对6自由度串联机器人的运动学逆问题，运动学反解非常复杂，一般没有解析解。只有在某些特殊情况下，才可得到解析解。不过，大多数工业机器人都满足封闭解的两个充分条件之一,即Pieper准则：
1）三个相邻关节轴交于一点。2）三个相邻关节轴相互平行。
考虑到机器人本体的上述结构特点，本文采用史陶比尔RX160型机器人，该机器人是满足Pieper准则的6关节串联机器人。
1.6.3速度正问题
一般地，为了更好地控制机器人的运动，不仅需要从位姿层面对其进行控制，还需要从速度层面作进一步控制，这就需要研究速度正问题与逆问题。
已知关节坐标系下的速度，求解世界坐标系下的速度问题称为速度正问题。求解速度正问题，可通过构造雅可
比矩阵实现各单个关节速度对世界坐标系中的机器人末端速度进行变换。如果工业机器人具有6个关节，这意味着雅可比矩阵是一个6阶方阵，代表机器人从关节坐标系运动速度与世界坐标系运动速度间的广义传动比，可表示成公式（1）。
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（1）
可简写为：
（2）列阵中的dx、dy、dz为机器人末端位置的微量变化，列阵D为机器人末端世界坐标系的速度，列阵表示关节坐标系的速度[7-8]，称为雅可比矩阵。其中，雅可比矩阵上三行描述的是与末端线速度相关的广义传动比，可将其记为，下三行描述的是与末端角速度相关的广义传动比,可将其记为
。
1.6.4速度逆问题
与速度正问题相反，已知世界坐标系下的速度，求解关节坐标系下的速度问题称为速度逆问题。速度逆问题分为两个部分：与机器人末端线速度相关的关节角速度；与机器人末端角速度相关的关节角速度。
2矩阵算法
2.1位姿正问题
位姿正问题是指当关节坐标(
)为已
知量，求解世界坐标(x,y,z,rx,ry,rz)的问题。这就需要建
立机器人末端姿态方程和机器人末端点位方程。
首先建立机器人末端姿态方程。对于图1所示的初始位姿，机器人的第六轴竖直向上，指向Z轴正方向，用向量表示此方向为。而某个工作位姿由第一、二、三、四、五、六各轴旋转角度得到。第六轴的
方向应变为：
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机器人技术与应用20196
为方便起见，采用以下简化记法：
经过上述化简，在关节坐标系下的第六轴的指向简写为：
而在世界坐标系中，角度rz、ry、rx代表第六轴先后
绕Z轴、Y轴、X轴旋转的角度。因此，在世界坐标系中第六轴的指向为：
为方便起见，采用以下简化记法：
经过上述化简，在世界坐标系中第六轴的指向为：它与关节坐标系下的第六轴指向角度相等，于是得出：
同理，存在等式：
因此，也可写为公式(3):
（3）
公式（3）即为不带工具的机器人末端姿态方程。以下推导机器人末端点位方程。
机器人末端手臂的点位向量是6个关节位置向量的矢量和。本文采用RX160型机器人，各关节尺寸已知，如图
1所示：
。
如果世界坐标系下的点位坐标为（）。则不带
工具坐标的点位方程为：
由公式（4）可以直接解出。
以下求解
。
考察公式（3），等式左边均为已知量，等式右边3个矩阵相乘后的结果为：
其中，“
”代表不重要的值，等式右侧均为已知。
通过矩阵对应元素相等，即可求出的值。
因此，不带工具坐标的位姿正问题可解。
2.2速度正问题2.2.1线速度正问题
线速度正问题是指当关节坐标()和
关节角速度(
)均为已知量时，求解
的问题。公式（4）等式两边同时对时间t
求导，等式左边均为已知，等式右侧即为
因此，不带工具坐标的线速度正问题可解。
2.2.2角速度正问题
角速度正问题是指当关节坐标()和
关节角速度()均为已知量时，求
解
的问题。
这里采用向量正交分解的思想。假设机器人处于某一任意姿态，6个关节轴的指向方向，可认为是 的方向，而世界坐标系的X、Y、Z轴方向即为
的方向。要建立
与
之间的关系，只要将该姿态下的6个关节轴指
向世界坐标系的X、Y、Z轴正交投影即可。
这种转换采用公式（1）中雅可比矩阵中的下三行，即
表示。于是有公式（5）：
技术应用Technique and application 6个关节轴指向方向为：第一轴：
第二轴：
第三轴：
第四轴：
第五轴：
第六轴：其结果即为矩阵第1-6列元素的值，得到矩阵，角速度正问题可解。
至此，不带工具坐标的所有正问题可解，但实际工作
中很少涉及正问题的求解，更多情况下是逆问题的求解。
2.3位姿逆问题
为方便起见，将已知量带入公式（4），并化简得到公式（6）：
由于
可进行以下简化：
将公式（3）、公式（4）代入公式（7），得到公式（8）：
整理公式(3)- (6)将所求的未知数放在等式
左侧，将已知数和x、y、z、rx、ry、rz放在等式右侧，得到：
3个方程3个未知数，可求出。
下面求
。
由公式（3）整理，可得：
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数。由于末端角速度为0，所以，
将公式（10）左侧矩阵全部展开，
故方程组右侧等于线速度可解。
项的导数为0，
。3个方程3个未知数，
求解此线性方程组可以求得关节角速度
其中，“
”代表不重要的值，等式右侧均为已知量。
可求，不
再利用公式（10）将左侧矩阵全部展开，为：
使等式两侧矩阵对应项相等，带工具坐标的位姿逆问题可解。
2.4速度逆问题2.4.1线速度逆问题
公式（6）等式两侧同时对时间求导，等式右侧即为线速度矢量。等式左侧分别对。
求
偏导，组成的3×6矩阵即为雅可比矩阵的上三行，记为
出
。
其中，“—”代表不重要的值，等式右侧均为已知。使等式两侧矩阵对应项相等，并同时对时间求导，即可求
。不带工具坐标的线速度逆问题可解。
2.4.2角速度逆问题下面求角速度 值。
公式（11）左侧含有6个未知数，故还需寻找3个方程才可解。利用公式（9）在等式两侧同时对时间t求导，然后展开矩阵，化为3个方程组成的方程组。等式右侧已知，等式左侧的3个未知数
代入公式（5）即可解出可解，将解得的
。
引起的
至此可以求出雅可比矩阵的上三行，即求解与线速度相关的关节角速度逆问题。但由于该方法计算量较大，不宜采用，本文采用如下算法。
利用公式（9）展开矩阵，化为3个方程组成的方程组，并在等式两侧同时对时间求导。
方程组左侧只含有关节角速度
3个未知
3结论
1）本文通过采用比DH矩阵算法更具几何意义和直观的计算方法，得到了机器人运动学位姿逆问题的解析解法；
2）采用对时间求导的方法，得到了机器人运动学线速度逆问题的解析解法；
3）采用向量分解原理，得到了机器人运动学角速度逆问题的解析解法。
参考文献
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作者致谢 ：中国工程建设标准协会《建筑机器人术语标准》编制组。
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