第１０卷第３期 ２ ０ １ １年３月 南阳师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．１０ Ｎｏ．３ Ｍａｒ．２０１１ 量子力学中的超算符概念 白音布和 ，仲志国 ，李根全 （１．通辽职业学院机电工程系，内蒙古通辽０２８０００；２．南阳师范学院物理与电子工程学院，河南南阳４７３０６１） 摘要：对量子力学中的线性算符概念进行了研究，通过建立算符函数的微分学引入了超算符概念，并给出了各类超 算符的定义，在此基础上利用超算符概念分析量子力学中的典型问题，结果表明超算符概念在量子力学中具有广泛的应 用，且使物理意义更加清晰． 关键词：量子力学；线性算符；算符函数；超算符 中图分类号：ｏ ４１３．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—６１３２（２０１１）０３—００３０—０３ ０ 引言 内积和向量的范数 ．有了上述讨论，我们对量子 力学中的线性算符概念有了完整的理解，其实算符 线性算符本来是矢量空问中的一个概念¨］． 对态矢量的作用并不意味着乘积关系，而是映射关 在量子体系中线性算符概念具有重要的意义，因为 系，这两种关系有本质区别，这才是我们关注的核 微观体系的力学量的观测必须通过算符来确定．设 心问题．只有以线性空间理论为基础，将数学家建 体系的态矢量空间ｓ是Ⅳ维复Ｈｉｌｂｅｒｔ空间．于是， 立的Ｂａｎａｃｈ空间理论引入量子物理中讨论算符函 Ｓ上线性算符的全体Ａ（Ｓ；ｓ）；Ｍ是Ⅳ 维复Ｈｉｌ— 数理论，特别是算符函数微分才具有重要意义． ｂｅｒｔ空间．不论是量子体系的态矢量空间ｓ（Ⅳ维复 Ｈｉｌｂｅｒｔ空间），还是Ｊｓ上线性算符的全体Ａ（Ｓ；Ｓ）； １ 量子物理中算符函数的微分学 所构成的 维复内积空间，都可看做Ｂａｎａｃｈ 量子体系的态矢量空间Ｊｓ和 上线性算符全 空间 ． 体所构成的复线性空间Ａ（Ａ；Ｍ）；Ｍ都是复的 对Ａ，Ｂ ＥＭ，定义Ａ，Ｂ的内积为 Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，从而是复的Ｂａｎａｃｈ空间 ．设 是 （Ａ ｆＢ）＝ｔｒ（Ａ Ｂ）， （１） 上的非空开子集，映射 这样 就成了一个复内积空间．利用内积，定义Ａ Ｆ： 一 （６） ∈Ｍ的范数 就是所谓的算符函数，它的自变量是ｓ上的线性算 ｛ｌ Ａ『Ｉ：（Ａ ｌＡ）］／２． （２） 符，函数值也是ｓ上的线性算符．这类算符函数的 有了５上线性算符Ａ的范数，也就有了Ａ的大小． 微积分当然是数学家们早已建立的Ｂａｎａｃｈ空间上 同理，考虑肘到Ｍ的线性映射的全体Ａ（Ｍ；Ｍ）， 的分析的特例．若Ｘ∈Ｕ，对所有使 ＋△ Ｅ Ｕ的 它的元素叫超（线性）算符．Ａ（Ｍ；Ｍ）是一个Ｎ × △ 都有 ．７、，２维的复线性空间．超算符 ∈Ａ（Ｍ； ）的厄米共 Ｆ（ 十ａｘ）一Ｆ（ ）＝ （Ｘ）ＡＸ＋ｏ（ａｘ），（７） 轭 Ｅ Ａ（Ｍ； ）由下式确定 其中 （ ）ＡＸ∈Ｍ是线性地依赖于ＡＸ的部分，而 ＜ＢＩ ）＝＜ ＢＩＡ），ＶＡ，Ｂ∈Ｍ． （３） ｏ（△ ）∈Ｍ是ＡＸ的高阶小 定义两个超算符 ，，，∈Ａ（ ； ）的内积 ＜ ｌＹ）：ｔｒ（Ｘ Ｙ）． （４） ｌｌ△ ｌ Ｉ△ —ｏ一 ， （８）一 这样Ａ（Ｍ；肘）就是一个Ｎ ×Ｎ 维的复内积空间． 则称Ｆ在点 处可微，称 （ ）为Ｆ在点 处的微 利用内积，可定义超算符 ∈Ａ（Ｍ；Ｍ）的范数 商，记作 （Ｘ） Ｆ （ ），于是 ｌＩ ｌｌ＝（ ）１／２． （５） Ｆ（ ＋ＡＸ）一Ｆ（ ）＝Ｆ （ｘ）ａｘ＋０（ａｘ）．（９） 按同样的方法，我们还可以定义Ａ（Ｍ；Ａ（Ｍ； 为了使Ｆ （ｘ）Ａｘ∈Ｍ线性地依赖于ＡＸ，Ｆ （ ）只能 肘））中向量（超超算符）的厄米共轭，两个向量的 是Ｍ上的线性算符（超算符）；Ｆ （ ）∈Ａ（ ；Ｍ）， 收稿日期：２０１１—０１—１３ 作者简介：白音布和（１９６３一），蒙古族，内蒙古通辽人，高级讲师，主要从事理论物理方面的研究 第３期 白音布和等：量子力学中的超算符概念 而不再是ｓ上的线性算符． 若Ｆ在 的每一点处都可微，则称Ｆ是Ｕ上 的可微函数，这时对应Ｕ∈ａ Ｆ （ａ）∈Ａ（Ｍ；Ｍ） 可确定一个新的映射 Ｆ ： —Ａ（Ｍ；Ｍ） （１０） 就是Ｆ的一阶导函数．若Ｆ 是 上的可微函数，这 时对应Ｕ∈ⅡＩ－－－＊（Ｆ ） （ａ）一Ｆ”（ａ）∈Ａ［Ｍ；（Ｍ； ）］可确定一个新的映射 Ｆ ：ｕ— Ａ［（Ｍ；Ｌ（Ｍ； ）］． （１１） 依此类推，可见在 上ｎ次可微的算符函数Ｆ，其 函数值Ｆ（Ｘ）∈Ｍ是ｓ上的线性算符，一阶导数值 Ｆ （Ｘ）∈（ＡＭ；Ｍ）是 上的线性算符（超算符）， 二阶导数值Ｆ”（Ｘ）∈Ａ［Ｍ；Ａ（Ｍ；Ｍ）］是超超算 符，／７，阶导数值Ｆ （Ｘ）∈（［ＡＭ；） ］ 是ｎ次超 算符． 可见，为了讨论量子物理算符函数的微商，我 们必须研究各类超算符所构成的线性空问 （Ａ［Ｍ；） Ｍ］ 的结构． ２ 各类超算符所构成的线性空间Ａ（ ； ），人（Ｍ；Ａ（ ； ）），… 微分的实质就是把映射局部地线性化．当我们 研究由Ｂａｎａｃｈ空间 的非空开子集 到Ｂａｎａｃｈ 空间 的映射 ：Ｕ— 的微分时就不可避免地遇到Ａ（ ； ）． 对Ｓ上的线性算符Ａ Ｍ，定义超算符Ｌｍ Ａ， Ｒｍ Ｂ，Ａｄ Ａ Ｅ Ａ（Ｍ；Ｍ），使对所有的Ｘ ＥＭ Ｌｍ ＡＸ；ＡＸ∈Ｍ， （１２） Ｒｍ ＢＸ ＸＢ∈Ｍ， （１３） Ａｄ ＡＸ一４ —ＸＡ，ＶＸ∈Ｍ． （１４） 由此定义可知，对所有Ａ，Ｂ∈Ｍ，Ｏｌ∈Ｃ都有 Ｌｍ（Ａ＋Ｂ）＝Ｌｍ Ａ＋Ｌｍ Ｂ，Ｌｍ（ａＡ）＝ ｍ Ａ， Ｌｍ（ＡＢ）＝Ｌｍ ＡＬｍ Ｂ， （１５） Ｒｍ（ ＋ ）：Ｒｍ Ａ＋Ｒｍ Ｂ，Ｒｍ（ａＡ）＝ Ｒｍ Ａ，Ｒｍ（ＡＢ）＝Ｒｍ Ｂ Ｒｍ Ａ， （１６） Ａｄ Ａ＝Ｌｍ Ａ＋Ｒｍ（一Ａ），Ｌｍ Ａ Ｒｍ Ｂ＝Ｒｍ Ｂ Ｌｍ Ａ． （１７） 易知ＬｍＭ；｛ＬｍＡ ｌＡ∈Ｍ｝，ＲｍＭ ｛ＲｍＡ ｌ Ａ∈ ｝是Ａ（ ； ）的子代数．式（１５）表明是Ｌｍ： — Ａ（Ｍ；Ｍ）是 到Ａ（Ｍ；Ｍ）的代数同态．式（１６）表 明Ｒｍ： —Ａ（Ｍ；Ｍ）是 到Ａ（Ｍ；Ｍ）的代数反 同态． 可见Ａ（Ｍ；Ｍ）由其子集（ＬｍＭ）Ｕ（Ｒｍ ）代 数生成．由于Ｌｍ是代数单同态，Ｒｍ是代数反单同 态，这使Ａ（Ｍ；Ｍ）中超算符的运算可以化为 中 的普通算符的运算 ． ３ 用超算符表达算符函数的微商的示例 （ａ）考察算符函数Ｆ（Ｘ）＝ ，这是一个定义 在整个 上的映射Ｆ： — Ｆ（Ｘ＋／ｔＸ）一Ｆ（Ｘ）＝Ｘ （／ｔＸ）＋Ｘ（ＡＸ）Ｘ＋ （ＡＸ）Ｘ ＋Ｘ（／ｔＸ） 十（ａｘ）ｘ（ａｘ）＋ （／ｔＸ）。Ｘ＋（ａｘ） ＝ （ＬｍＸ ＋ＬｍＸＲｍＸ＋ＲｍＸ ）ＡＸ＋ｏ（ｚ￣Ｘ）． （１８） 可见 Ｆ （Ｘ）＝ＬｍＸ ＋ＬｍＸＲｍＸ＋ＲｍＸ ． （１９） （ｂ）考察算符函数Ｆ（Ｘ）＝ＡＸ Ｂ，（Ａ，Ｂ是Ｓ 上的两个给定的算符），这也是定义在整个 上的 映射． Ｆ （ ）＝ＬｍＡＲｍＢ（∑ＬｍＸ一 ＲｍＸｊ）．（２０） ｃ）ｅｘｐＸ；ｅ 一 筹也是定义在整个Ｍｎ≥ ’０ 上 的算符函数． ｅｘ） ＬｍＸ＂－１－ＪＲｍＸＪ＂（２１） 以上这些微商都是超算符．如果企图在 中寻求 答案，恐怕永远不会找到正确的答案． （ｄ）对算符函数也有Ｔａｙｌｏｒ展开 Ｆ（ ＋ ）＝Ｆ（ ）： Ｘ）Ａ＋ （ Ｘ）Ａ）Ａ＋ （（ ）Ａ）Ａ）Ａ＋．．’＋ （．一（（ ¨ Ａ … （．．－（（（Ｊ＝ Ｘ＋ｔＡ）ｄｔ）Ａ Ａ ）Ａ （２２） 和 Ｆ（ ）＝Ｆ（ｏ）＋ ０） ＋ （ ０）Ｘ） ＋ ［（， （０） ） ］ ＋… （２３） 与普通函数的Ｔａｙｌｏｒ展开不同，展开“系数”Ｆ（０） ∈Ｍ，Ｆ （０）∈Ａ（Ｍ；Ｍ），Ｆ （０）∈Ａ（Ｍ；Ａ（Ｍ； Ｍ）），…一般不是数，而是算符和各种超算符．所以 展开系数为数的 的幂级数只是“解析的”算符函 数的一小部分．连很简单的算符函数Ｆ（Ｘ）＝ＡＸ（Ａ 是常算符，但不是恒等算符的纯量倍）都不能写作 以复数为系数的Ｘ的幂级数．ＡＸ本身就是它的 Ｔａｙｌｏｒ展开． ・３２・ 南阳师范学院学报 第１Ｏ卷 ４ 结论 文章首先对大家熟知的量子力学中的线性算 符以及态矢量的概念进行了简要的分析研究，尤其 数理论，忽略了算符函数的分析理论．引入了超算 符概念，并系统地发展了超算符理论，这对进一步 发展量子物理算符理论具有重要意义．这对进一步 完善量子物理中的非对易分析与微分方程和积分 方程理论也将产生深远影响． 强调了线性算符对态矢量的作用是一种映射，这种 映射与乘积是不同的．其次是将数学家早已建立的 Ｂａｎａｃｈ空间上的分析引入量子物理中，定义了超 参 考 文 献 ［１］ 喀兴林．高等量子力学［Ｍ］．北京：高等教育出版 社。１９９９． 算符，并说明了高阶超算符的定义方法，从而解释 了线性算符与算符函数属于不同的线性空间，这更 是我们所关注的事实，这对量子体系数学构架的正 确理解具有十分重要的意义．最后用超算符概念对 量子力学中的典型问题进行了分析，结果表明用超 算符概念讨论一些典型的量子力学问题，其演算过 ［２］Ｌｉ Ｇ Ｑ ａｎｄ Ｗｕ Ｚ Ｙ．Ｈｙｐｅｒ・ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｆｏｒ Ｎｏｎｅｏｍｍｕｔａ－ ｔｉｒｅ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｉｎ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｐｈｙｓｉｃｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒ－ ｎａｌ ｏｆ Ｍｏｄｅｒｎ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ａ，２００５，２４：５７０５—５７１６． ［３］李根全．量子物理中的非对易分析与超算符［Ｄ］．长 春：吉林大学，２００４． ［４］ 吴兆颜．高等量子力学［Ｍ］．长春：吉林大学出版 社，２００８． 程更简单，物理图像更清晰，易于理解．综上所述， 超算符概念的提出使对量子力学数学构架的认识 更为完整．因为，人们长期以来强调算符函数的代 Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｓｕｐｅｒ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ＢＡＩ Ｙｉｎ．ｂｕ．ｈｅ ，ＺＨＯＮＧ Ｚｈｉ—ｇｕｏ ，ＬＩ Ｇｅｎ—ｑｕａｎ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｏｎｇｌｉａｏ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔｏｎｇｌｉａｏ ０２８０００， Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＰｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｗｅ￣ｉｔｙ，Ｎａｎｙａｎｇ ４７３０６１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ａ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｗａｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔ ｏｆ ｏｐ— ｅｒａｔｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ’Ｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｃａｌｃｕｌｕｓ，ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｓｕｐｅｒ—ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎｄ ａｌｌ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒ—ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ｔｙｐｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｗｅｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒ－ｏｐｅｒａｔｏｒ’Ｓ ｕｓｅ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒ－ｏｐｅｒａｔｏｒ ｃｏｎｃｅｐｔ ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｈａｓ ｗｉｄｅ ａｐｐｌｉｃａ－ ｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｍａｋｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍｅａｎｉｎｇ ｍｏｒｅ ｃｌｅａｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｏｐｅｒａｔｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｕｐｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ