空间向量与立体几何高考冲刺总复习(文科)

科）

【考点梳理】

考点一、空间几何体的表面积和体积

1、旋转体的表面积 名称 图形 表面积 圆柱 S=2πr(r+l) 圆锥 S=πr(r+l) 圆台 1

球 2、几何体的体积公式

（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;

1（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;

3 1（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S’，S，高为h，则体积V=（S'3+S'S+S）h;

（4）设球半径为R，则球的体积V=要点诠释：

1、对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。

2、重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型． 3、要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．

4πR3。 3考点二：空间向量的有关概念

空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；

空间向量的表示：一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B叫作终点；

一种是用小写字母a（印刷体）表示，也可以用a（而手写体）

表示．

向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作

|AB|或|a|．

向量的夹角：过空间任意一点O作向量a,b的相等向量OA和OB，则AOB叫作向量a,b的夹角，记作a，b，规定0a，b．如图：

2

零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．

单位向量：长度为1的空间向量，即|a|1． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．

共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重

合．a平行于b记作a//b，此时．a，b=0或a，b=． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：

（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；

（2）当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

aaa（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作a0．a0a与a同向．

（4）当a，b垂b=0或时，向量a平行于b，记作a//b；当 a，b=时，向量a，

2直，记作ab．

考点三：空间向量的直角坐标运算

空间两点的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

①ABOBOA(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)(x2x1,y2y1,z2z1)； ②|AB|AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2；

2 3

③ AB的中点坐标为空间向量运算的的坐标运算

x1+x2y1+y2z1+z2，，222． 设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则 ① ab(x1x2,y1y2,z1z2)； ② ab(x1x2,y1y2,z1z2)； ③ a(x1,y1,z1)(R)； ④ abx1x2y1y2z1z2；

222y2z2⑤ aaax12y12z12，bbbx2；

⑥ cosa，bababx1x2y1y2z1z2xyz212121xyz222222b0． a0，空间向量平行和垂直的条件

若a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则

①a//babx1x2，y1y2，z1z2(R)x1y1z1x2y2z2(x2y2z20)；

②abab0x1x2y1y2z1z20． 要点诠释：

（1）空间任一点P的坐标的确定：

过P作面xOy的垂线，垂足为P'，在面xOy中，过P'分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则

x|P'C，|y＇|，AP|＇z．如图：|PP

（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：

ab|a||b|cosabcosab（３）0与任意空间向量平行或垂直．

4

ab，其中θ的范围是[0,]．

|a||b|考点四：用向量方法讨论垂直与平行

线线平行 （a//b） 线线垂直 （ab） 量） an，即an=0 图示 向量证明方法 a//b （a，b分别为直线a，b的方向向量） ab （a，b分别为直线a，b的方向向线面平行 （l//） （a是直线l的方向向量，n是平面的法向量）． 线面垂直 （l） a//n （a是直线l的方向向量，n是平面的法向量） 面面平行 （//） u//v （u，v分别是平面，的法向量） 5

面面垂直 （） uv，即uv=0 （u，v分别是平面，的法向量） 要点诠释：

（１）直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

（２）平面的法向量：已知平面，直线l，取l的方向向量a，有a，则称为a为平面的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．

考点五：用向量方法求角

图示 向量证明方法 异面直线所成的角 cos|ACBD||AC||BD| （A，C是直线a上不同的两点，B，D是直线b上不同的两点） sin|cos|直线和平面的夹角 |au||a||u| （其中直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为） 6

cos 二面角 要点诠释：

①当法向量n1与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于n1，n2的夹角n1,n2的大小。

②当法向量n1，n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于n1，n2的夹角的补角n1,n2的大小。

（平面与的法向量分别为n1和n2，平面与的夹角为） 考点六：用向量方法求距离

图示

向量证明方法 PAnn点到平面的距离 d=AA'= （n为平面的法向量） 与平面平行的直线到平面的距离 d=AA'=PAnn （n是平面的公共法向量） d=AA'=PAnn两平行平面间的距离 （n是平面，的一个公共法向量） 要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．

7

（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．

（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法． 【典型例题】

类型一、空间几何体的三视图

例1 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 。

【答案】623

【解析】由正视图可知该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱。其表面积为234321623 4【变式1】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（ ）

A．【答案】B

【解析】依题意，此几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，

8

B． C． D．

底面ABCD是边长为20的正方形，侧面PCD垂直于底面ABCD，△PCD

的高为20，故这个几何体的体积为。

【变式2】（2016-广西高考-10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A）18365 （B）185 （C）90 （D）81

【变式3】（2017广西高考-9）. 已知圆柱的高为1，

它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( )

3A.  B. C. D.

424【变式4】（2017广西高考—10）.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）

A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC 例2 (2015—河南高考)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个

几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若几何体的表面积为16+20则r=( )

A.1 B.2 C.4 D.8

9

【思路点拨】三视图直观图（圆柱与球的组合体）圆柱的底面半径、高及球半径代入公式求解。

【答案】B 【解析】有几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体时一个半球拼接半个圆柱

1111其表面积为：4r2r22r2r2r2rr25r24r2

22225r24r21620解得r=2,故选B.

举一反三：

【变式1】(2015 福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积

等于( )

A.822 B. 1122 C. 1422 D. 15

【答案】B

【解析】根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面是梯形上底1，下底2，高为1

13所以侧面为422822 底面为211

223故几何体的表面积为82221122.故选B.

2【变式2】（2014广西高考-10）.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

2781 B．16 C．9 D．

4 A．4

【变式3】（2016-广西高考-11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是

32π9π（A）4π（B）（C）6π（D）

32

10

类型二：空间向量的直角坐标运算 例3. 设a＝(1，5，-1)，b＝(-2，3，5)． (1)当(ab)∥(a3b)时，求的值；

(2)当(a-3b)⊥(a+b)时，求的值．

【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算． 【解析】(1)∵ a(1，5，-1)，b(-2，3，5)，

∴ a3b(1，5，-1)-3(-2，3，5)＝(1，5，-1)-(-6，9，15)＝(7，-4，-16)．

ab(1，5，-1)+(-2，3，5)＝(，5，)+(-2，3，5)＝(2，53，

5)．

∵ (ab)∥(a3b)， ∴

275351，解得． 4163(2)由(a3b)⊥(ab)(7，-4，-16)·(2，53，5)＝0

7(2)4(53)16(5)0，

解得举一反三：

106． 3，，B(1，01)，，C(3，－，14)，【变式1】（2015秋 齐齐哈尔校级期中）已知A(2，－21)则向量AB与AC夹角的余弦值为________. 【答案】55 55【变式2】空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，则oscOABC，等于( )

A．

112 B． C． D．0 222【答案】D

设OAa，OBb，OCc，则|b||c|， 所以OABCa(cb)11|a||c||a||b|0． 22所以OA⊥BC．所以cosOA，BC0．

11

【变式3】与向量a=1,1,0平行的单位向量的坐标为（ ） A. (1,1,0) B. (0,1,0) C. (1,1,1) D. (22,,0)． 2222,,0)或22(【答案】D

类型三、平行与垂直关系

例4（2015 江苏高考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证：

（1）DE∥平面AA1C1C； （2）BC1⊥AB1．

【思路点拨】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；

（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1． 【证明】（1）根据题意，得；

E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC； 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C；

（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC， 因为AC⊂平面ABC， 所以AC⊥CC1； 又因为AC⊥BC， CC1⊂平面BCC1B1， BC⊂平面BCC1B1， BC∩CC1=C，

12

所以AC⊥平面BCC1B1； 又因为BC1⊂平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC；

因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 所以BC1⊥平面B1AC； 又因为AB1⊂平面B1AC， 所以BC1⊥AB1．

【总结升华】在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直． 举一反三：

【变式1】（2015 重庆一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形． （1）求证：DM∥平面APC；

（2）求证：平面ABC⊥平面APC；

（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．

【证明】（I）由已知得，MD是△ABP的中位线 ∴MD∥AP∵MD⊄面APC，AP⊂面APC ∴MD∥面APC；

（II）∵△PMB为正三角形，D为PB的中点 ∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC=P ∴AP⊥面PBC（6分）∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC 又∵BC⊥AC，AC∩AP=A∴BC⊥面APC， ∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC；

（III）由题意可知，三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

MD⊥面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5

，PB=10，PC=

=2

，

13

∴MD是三棱锥D﹣BCM的高，S△BCD=×=2，

∴．

类型四：空间距离,利用空间向量解决立体几何中的探索问题

D是侧棱CC1的中点。 例4 已知正三棱柱ABC—A1B1C1,AB2，AA122,

（1） 求二面角ABDC的正切值；

（2）求点C到平面ABD的距离．

【答案】如图，建立空间直角坐标系oxyz．

AzA1BB1xoCDyC1

则A(0,0,3),B(0,1,0),C(0,1,0),D(2,1,0)． （1）设n1(x,y,z)为平面ABD的法向量．

ny3z1AB0,由 得． 2xy3z0n2AD0取n1(6,3,1).

又平面BCD的一个法向量n2(0,0,1).

14

cosn1,n2n1n2(6,3,1)(0,0,1)10． n1n21(6)2(3)21210结合图形可知，二面角ABDC的正切值为3． （2）由（1）知：n1(6,3,1),CA(0,1,3).

CAn1点C到平面ABD的距离dn1(0,1,3)(6,3,1)(6)2(3)212＝

230． 10【总结升华】利用向量法求点到平面的距离的步骤如下：(1)求出该平面的一个法向量n；(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a；(3)利用公|n·a|

式d＝|n|求距离．

举一反三：

【变式】设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离。

【解析】∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），

∴AD(7,7,7)

设平面ABC的法向量n=（x，y，z）， 则nAB0，nAC0， ∴(x,y,z)(2,2,1)0,

(x,y,z)(4,0,6)0,32x2yz0xz,即2

4x6z0yz.令z=－2，则n=（3，2，－2） ∴由点到平面的距离公式：

dADn|n|=|3(7)2(7)27|3222(2)2=4917=

4917， 17∴点D到平面ABC的距离为

4917。 17【例6】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，

DAB90，AD//BC，AD侧面PAB，△PAB是等边三

角形，DAAB2， BC1AD，E是线段AB的中点．（1）215

求证：PECD；（2）求四棱锥PABCD的体积； 【证明】（1）因为AD侧面PAB，PE平面PAB， 所以ADPE．

又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，

所以PEAB． 因为ADABA，所以PE平面ABCD．

而CD平面ABCD，所以PECD．

（2）由（1）知PE平面ABCD，所以PE是四棱锥PABCD的高．

由DAAB2，BC1AD，可得BC1． 2因为△PAB是等边三角形，可求得PE3． 所以VPABCD111SABCDPE(12)233． 332【变式1】（2016广西高考-19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. （I）证明MN∥平面PAB;

（II）求四面体N-BCM的体积.

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【变式2】（2017广西高考—19）,如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD

（1）证明：ACBD

（2）已知ACD是直角三角形，ABBD,若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比

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