江西省上饶市余干县八年级数学下学期期中试题(含解析)新人教版

一、选择题（本题共18分，每小题3分） 1．下列根式中属最简二次根式的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．已知a＜b，则化简二次根式A． 3

．

D．已

知

a

、

b 、

c

是

三

B．

的正确结果是（ ） C

．

角形的三边长，如果满足

，则三角形的形状是（ ）

A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

4．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ） A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD

5．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

6．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ） A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：2：1：2 D．1：1：2：2

二、填空题（本题共24分，每小题3分） 7．计算：8．若

= ．

在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．

9．若实数a、b满足，则= ．

10．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m．

1 / 19

11．如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3= ．

12．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．

13．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．

14．观察下列各式：

=2

，

=3

，

=4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 ．

三、解答题（本题共24分，每小题6分） 15．计算：

+2

﹣（

﹣

）

16．先化简，再求值：（17．在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）已知c=25，b=15，求a； （2）已知a=

﹣）÷，其中x=2．

，∠A=60°，求b、c．

18．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．

2 / 19

四、解答题（本题共32分，每小题8分）

19．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

20．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知AB=8cm，BC=10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC．

21．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若BC=2

，求AB的长．

22．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A=45°，∠B=∠D=90°，AB=20m，CD=10m，求这块草地的面积．

五、解答题（共22分）

23．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得

3 / 19

到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是 ，并证明你的结论．

（2）当四边形ABCD的对角线满足条件 时，四边形EFGH是矩形； （3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？

（4）当四边形ABCD的对角线满足条件 时，四边形EFGH是菱形．

24．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．

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2015-2016学年江西省上饶市余干县沙港中学八年级（下）期中数学试卷 参与试题解析

一、选择题（本题共18分，每小题3分） 1．下列根式中属最简二次根式的是（ ）

A． B． C． D． 【考点】最简二次根式．

【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、B、C、

==2

无法化简，故本选项正确；

，故本选项错误； 故本选项错误；

D、=，故本选项错误． 故选：A．

【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2．已知a＜b，则化简二次根式A．

D．

B．

的正确结果是（ ） C

．

【考点】二次根式的性质与化简． 【专题】计算题．

3

【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣ab≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值． 【解答】解：∵∴﹣ab≥0，

3

∴ab≤0， 又∵a＜b， ∴a＜0，b≥0， ∴

=﹣a

．

3

有意义，

故选A．

【点评】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．

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3．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足

，则三角形的形状是（ ）

A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形． 【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形． 【解答】解：∵（a﹣6）≥0，

2

≥0，|c﹣10|≥0，

∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0， 解得：a=6，b=8，c=10，

222

∵6+8=36+=100=10， ∴是直角三角形． 故选D．

【点评】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．

4．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ） A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD 【考点】平行四边形的判定．

【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．

【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； B、AB=CD，AD=BC判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项正确；

C、∠A=∠B，∠C=∠D不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； 故选：B．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．

5．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【考点】矩形的性质；菱形的判定．

【分析】由题意易得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得EH=HG，所以平行四边形EFGH是菱形．

【解答】解：由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG=EF=AC，EH=FG=BD，

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∴四边形EFGH是平行四边形， ∵矩形的对角线相等， ∴AC=BD， ∴EH=HG，

∴平行四边形EFGH是菱形． 故选C．

【点评】本题考查了矩形的性质及菱形的判定．注意掌握菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

6．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ） A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：2：1：2 D．1：1：2：2 【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，

即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C=∠A+∠D， 故选C．

【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．

二、填空题（本题共24分，每小题3分） 7．计算：

= ﹣7 ．

【考点】零指数幂．

【分析】根据有理数的乘方法则、零指数幂的性质计算即可． 【解答】解：原式=﹣8+1=﹣7， 故答案为：﹣7．

【点评】本题考查的是有理数的乘方、零指数幂的运算，掌握任何不为0的数的零次幂为1是解题的关键．

8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤ ． 【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：1﹣3x≥0， 解得：x≤

．

7 / 19

故答案是：x≤．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

9．若实数a、b满足，则= ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．

【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．

【解答】解：根据题意得：，

解得：则原式=﹣

．

，

故答案是：﹣．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0

10．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 4 m．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】利用勾股定理，用一边表示另一边，代入数据即可得出结果．

222

【解答】解：由图形及题意可知，AB+BC=AC

222

设旗杆顶部距离底部有x米，有3+x=5， 得x=4， 故答案为4．

【点评】本题主要是考查学生对勾股定理的熟练掌握，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理．

11．如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3= 12 ．

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【考点】勾股定理．

【分析】根据勾股定理的几何意答． 【解答】解：∵△ABC直角三角形，

222

∴BC+AC=AB，

222

∵S1=BC，S2=AC，S3=AB，S1=4，S2=8， ∴S3=S1+S2=12．

【点评】解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关系．

12．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 10 ．

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．

【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．

【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小． ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD，

∴PB+PE=PD+PE=DE． ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴DE=

=10，

故PB+PE的最小值是10． 故答案为：10．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．

13．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=

cm．

9 / 19

【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．

【解答】解：连接BD、AC，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD， ∵∠BAD=120°， ∴∠BAC=60°，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°， ∵∠AOB=90°， ∴AO=

AB=

×2=1，

，

由勾股定理得：BO=DO=∵A沿EF折叠与O重合， ∴EF⊥AC，EF平分AO， ∵AC⊥BD， ∴EF∥BD，

∴EF为△ABD的中位线， ∴EF=

BD=

．

（

+）=，

故答案为：

【点评】本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．

14．观察下列各式：=4

=2

，

=3

，

，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来

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．

【考点】算术平方根． 【专题】规律型．

【分析】根据所给例子，找到规律，即可解答． 【解答】解：

=（1+1）

=2

，

=（2+1）=3， =（3+1）

=4

，

…

，

故答案为：． 【点评】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是找到规律．

三、解答题（本题共24分，每小题6分） 15．计算：

+2

﹣（

﹣

）

【考点】二次根式的加减法．

【分析】分别化简二次根式，进而合并求出即可． 【解答】解： +2﹣（

﹣

）

=2+2﹣3+

=3

﹣

．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

16．先化简，再求值：（﹣）÷【考点】分式的化简求值．

【分析】按照分式的性质进行化简后代入x=2求值即可．

【解答】解：原式=•

=

当x=2时，原式=．

11 / 19

x=2． ，其中

【点评】本题考查了分式的化简求值的知识，解题的关键是能够对分式进行正确的化简，难度不大．

17．在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）已知c=25，b=15，求a； （2）已知a=

，∠A=60°，求b、c．

【考点】解直角三角形． 【专题】计算题．

【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出a的值；

（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值． 【解答】解：（1）根据勾股定理可得： a=

=20；

（2）∵△ABC为Rt△，∠A=60°， ∴∠B=30°， ∴c=2b，

22222

根据勾股定理可得：a+b=c，即6+b=（2b）， 解得b=

，则c=2

．

【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．

18．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．

【考点】菱形的性质；勾股定理．

【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO的长，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O， ∴AC⊥BD，DO=BO， ∵AB=5，AO=4， ∴BO=

=3，

∴BD=2BO=2×3=6．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据已知得出BO的长是解题关键．

四、解答题（本题共32分，每小题8分）

19．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB；

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（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．

【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°，

∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=45° ∴PM=MD，

∴四边形MPND是正方形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．

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20．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知AB=8cm，BC=10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】由翻折的性质可知AF=AD=10，由勾股定理可先求得BF的长，然后在△FEC中，依据勾股定理、翻折的性质进行求解即可． 【解答】解∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=10，CD=AB=8．∠B=∠C=90° 由翻折的性质可知；AF=AD=10，EF=ED． 设EC=x，则EF=8﹣x． 在Rt△ABF中，BF=

=6

∴FC=4．

222

在Rt△EFC中，EF=FC+EC，

22

∴（8﹣x）=16+x 解得：x=3． ∴EC=3．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．

21．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若BC=2

，求AB的长．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；

（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，

14 / 19

∴∠BAC=∠FCO， 在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF；

（2）解：如图，连接OB， ∵BE=BF，OE=OF， ∴BO⊥EF，

∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC， ∴∠BAC=∠ABO， 又∵∠BEF=2∠BAC， 即2∠BAC+∠BAC=90°， 解得∠BAC=30°， ∵BC=2∴AC=2BC=4∴AB=

，

，

=

=6．

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．

22．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A=45°，∠B=∠D=90°，AB=20m，CD=10m，求这块草地的面积．

【考点】等腰直角三角形．

【分析】分别延长AD，BC交于点E，所求四边形ABCD的面积=S△ABE﹣S△CED．由∠A=45°，∠B=∠

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D=90°，可得△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和△CDE的面积即可求解． 【解答】解：分别延长AD，BC交于点E．如图所示，

∵∠A=45°，∠B=∠D=90°， ∴∠DCE=∠DEB=∠A=45°， ∴AB=BE，CD=DE， ∵AB=20，CD=10， ∴BE=20，DE=10，

∵S△ABE=AB•BE=200，S△CDE=CD•DE=50，

2

∴四边形ABCD的面积=S△ABE﹣S△CDE=200﹣50=150m．

2

即这块草地的面积为：150m．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四边形ABCD的面积=S△ABE﹣S△CED来求解．

五、解答题（共22分）

23．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是 平行四边形 ，并证明你的结论．

（2）当四边形ABCD的对角线满足条件 对角线互相垂直 时，四边形EFGH是矩形； （3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？

（4）当四边形ABCD的对角线满足条件 AC=BD 时，四边形EFGH是菱形．

【考点】中点四边形．

【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；

（3）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1=90°，然后根据平行线的性质求出∠3=90°，再根据垂直定答；

（4）添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行

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且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．

【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连结BD．

∵E、H分别是AB、AD中点， ∴EH∥BD，EH=

BD，

同理FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下： 如图，连结AC、BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点， ∴EH∥BD，HG∥AC， ∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG，

又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴平行四边形EFGH是矩形；

（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下： 如图，连结AC、BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点， ∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，

∵EH∥BD，HG∥AC， ∴EH⊥HG，

∴平行四边形EFGH是矩形；

（4）添加的条件应为：AC=BD．

证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=可得EH=BD， 则HG∥EF且HG=EF，

∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH， ∴四边形EFGH为菱形．

AC；同理EF∥AC且EF=

AC，同理

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故答案为：平行四边形；互相垂直；菱形，AC=BD．

【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．

24．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】证明题；动点型．

【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；

（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可． 【解答】（1）证明：∵AG∥BC， ∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC， ∵D为AC的中点， ∴AD=CD，

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在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6， 则此时的时间t=6÷1=6（s）． 故答案为：6s．

【点评】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键，动点问题是中考的热点，应加强动点问题的训练．

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