一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) 1.在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=A.
B.
C.
D.
，则
．则边c
的值等于（ ）
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2a，b=4，cosB=
的长度为（ ）
A.4 B.2 C.5 D.6 3.在△ABC中，若b=1，A=60°，△ABC的面积为，则a=（ ） A.13 B. C.2 D.
222
4.△ABC中，内角A，B，C所对边长为a，b，c，满足a+b=2c，如果c=2，那么△ABC的面积等于（ ）
A.tanA B.tanB C.tanC D.以上都不对 5.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则•等于（ ） A.- B.- C.
D.
6.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（ ） A.1：1： B.2：2： C.1：1：2 D.1：1：4 b，c，7.已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，若cosB=的面积为（ ） A.
B.
C.
D.
b=4，sinC=2sinA，，则△ABC
8.钝角△ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ） A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6
a，b，c分别为内角A，b，c成等差数列，9.在△ABC中，B，C的对边，三边a，且则（cosA-cosC）2的值为（ ）
A. B. C. D.0
222
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b+c-a=bc，0，a=A.（1，
，则b+c的取值范围是（ ） ） B.（
，
） C.（，b= C.
D.
，
） D.（
，
]
，
•＞
11.在△ABC中，若A.
或
π B.
，则∠C=（ ）
12.如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.根据增加的长度确定三角形的形状
二、填空题(本大题共27小题，共135.0分) 13.在△ABC中，
，AB=3，
，则AC的长度为 ______ ． （b2+c2-a2），角A的大小是 ______ ．
14.已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S=
15.△ABC中，C=60°，AB=2，则AC+BC的取值范围为 ______ ．
16.如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ= ______ ．
17.在△ABC中，AB=3，AC=2，A=60°，则S△ABC= ______ ． 18.在△ABC中，A=19.在△ABC中，∠A=______ ．
20.已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足
，则称△A1B1C1是△ABC
，AB=2，且△ABC的面积为，AB=4，△ABC的面积为
，则边AC的长为 ______ ． ，则△ABC的外接圆的半径为
的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是 ______ ：（请写出符合要求的条件的序号） ①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°； ③A=75°，B=75°，C=30°． 21.在△ABC中，如果a=2，c=2，∠A=30°，那么△ABC的面积等于 ______ ． 22.△ABC所在平面上一点P满足，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为 ______ ．
23.△ABC中，若4sinA+2cosB=4，
，则角C= ______ ．
24.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为 ______ ．
25.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=
，则BC= ______ ．
26.在△ABC中，已知a=7，b=8，c=13，则角C的大小为 ______ ．
27.在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为 ______ ．
28.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
=
，b=4a，
，若
，
a+c=5，则△ABC的面积为 ______ ．
29.在三角形ABC中，若sinB=2sinAcosC，那么三角形ABC一定是 ______ 三角形．
30.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为 ______ ．
31.已知在△ABC中，a=，b=1，b•cosC=c•cosB，则△ABC的面积为 ______ ．
32.如图所示，已知点P为正方形ABCD内一点，且AP=1，BP=2，CP=3，则该正方形ABCD
的面积为 ______ ．
33.在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA= ______ ． b，c，34.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，且满足2cos2=4cosBsinC，则= ______ ．
35.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c若a，则A=
______ ．
36.在△ABC中，a：b：c=3：5：7，则此三角形中最大角为 ______ ．
bc=0．则角A37.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2-b2-c2+
的大小为 ______ ．
38.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B-A）=
，
=
sinA，sin（B-C）
则cosB= ______ ．
39.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=2，c=3，且满足（2a-c）•cosB=b•cosC，则= ______ ．
三、解答题(本大题共10小题，共120.0分)
40.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行（2-2）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．
（1）求AC的长；
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小？
41.△ABC中，B=60°，c=3，b=，求S△ABC．
42.在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，（1）求角C
（2）若△ABC的面积等于，求a，b； （3）求△ABC的面积最大值．
43.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．
（1）求cosA的值； （2）若
，求c的值．
44.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA． （I）求角C的大小； （II）若b=2，c=，求a及△ABC的面积．
45.如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是在直径AB上，且
．
，点E，F
（1）若，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．
46.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积．
47.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时．飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420秒后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度
．
（取，）．
48.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
解三角形．
49.在△ABC中，
，（1）求B； （2），求S△ABC．
【答案】
1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.B 8.B 9.A 10.B 11.D 12.A 13. 14.
15.（2，4] 16. 17.
18.1 19.
20.② 21.2或
22.12 23. 24.
25.3 26.
27.135° 28.
29.等腰
30.等边三角形
31.32.5+233.-34.1+35.
36.120° 37.38.
39.-3
40.解：由题意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+15°=120°，AB=2-2，BC=4， 根据余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=（2-2）2+42+（2-2）×4=24， 所以AC=2． 根据正弦定理得，sin∠BAC=
=
，∴∠CAB=45°．
41.（本题满分为10分） 解：∵B=60°，c=3，b=，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+9-3a，整理可得：a2-3a+2=0， ∴得：a=1或2， ∴S△ABC=
acsinB=
或
．
42.（本题满分为12分） 解：（1）∵， ∴，…2分 ∵A∈（0，π）， ∴sinA≠0， ∴sinC=
，
∵△ABC为锐角三角形， ∴C=
．…（6分）
，c=2，由余弦定理及已知条件，得a+b-ab=4，①…（7分）
，
2
2
（2）∵C=
又因为△ABC的面积等于所以
absinC=
，得ab=4．②…（8分）
，…（11分）
联立①②，解得
（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立）， ∴S△ABC=
absinC≤
=
，即当a=b=2时，△ABC的面积的最大值等于
，…
（12分）
43.解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列， ∴sinA+sinB=2sinC 由正弦定理得a+b=2c 又a=2b，可得
，
∴；
（2）由（1）可知得∴∵∴解得：故得
， ， ，
，
，
时，c的值为4．
44.（本题满分为12分） 解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，
∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB， ∵sinB＞0， ∴cosC=
，
∵C∈（0，C）， ∴C=
…6分
，C=
，
，整理可得：a2-2a-3=0，
（II）∵b=2，c=
∴由余弦定理可得：7=a2+4-2×∴解得：a=3或-1（舍去）， ∴△ABC的面积S=
absinC=
=…12分
45.（本小题满分16分）
解：（1）由已知得△ABC为直角三角形，因为AB=8，所以
，AC=4，
， ，
在△ACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2-2AC•AEcosA，且所以13=16+AE2-4AE，
解得AE=1或AE=3，…（4分） （2）因为
，
，
所以∠ACE=α所以
，
，…（6分）
，
在△ACF中由正弦定理得：所以
，…（8分）
，
在△ACE中，由正弦定理得：
所以，…（10分）
由于：分） 因为所以当
，所以
，所以
时，S△ECF取最大值为
．…（16分）
，
，…（14
46.（本题满分为14分） 解：（1）∵，由正弦定理得又sinB≠0， 从而．…（5分） 由于0＜A＜π， 所以
．…（7分）
．…（3分）
（2）解法一：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，而得7=4+c2-2c=13，即c2-2c-3=0． 因为c＞0，所以c=3．…（11分） 故△ABC的面积为S=
．…（14分）
，…（9分）
解法二：由正弦定理，得，
从而，…（9分）
又由a＞b知A＞B， 所以故
所以△ABC的面积为
．…（14分）
．
．…（12分）
47.（本题满分为12分）
解：如图∵∠A=15°，∠DBC=45°，
∴∠ACB=30°，…（2分） ∴在△ABC中，∴
∵CD⊥AD．
∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°=
=
，
，…（8分）
（m），…（4分）
=7350，…（10分）
山顶的海拔高度=10000-7350=2650（米）=2.65千米…（12分） 48.解：C=180°-A-B=105°，sinC=sin（A+B）=由正弦定理得：∴b=
=2，c=
=
=+
， ． ，
，
，
49.解：（1）由根据正弦定理，可得：
2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC， 即2cosBsinA=-sinA
∵0＜A＜π，sinA≠0． ∴cosB=
∵0＜B＜π， ∴（2）
，由余弦定理：cosB=
，
可得：-ac=a2+c2-13，即（a+c）2-ac-13=0 得：ac=3 那么三角形的面积
【解析】
1. 解：∵∠A=60°，b=1，S△ABC=∴c=4，
∴a2=b2+c2-2bccosA=1+14-2×∴a=∴
，
=
=
=
．
=13， =
bcsinA=
，
．
故选：A．
先利用面积公式求得c的值，进而利用余弦定理可求a，再利用正弦定理求解比值． 本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解． 2. 解：∵c=2a，b=4，cosB=
，
c2+c2-c2=c2，
222
∴由余弦定理得：b=a+c-2accosB，即16=
解得：c=4． 故选：A．
利用余弦定理列出关系式，把b，cosB，表示出的a代入求出c的值即可． 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题． 3. 解：∵b=1，A=60°，△ABC的面积为∴解得：c=4， ∴由余弦定理可得：a==
=
．
=
×
，
故选：B．
由已知利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理即可解得a的值．
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4. 解：由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC， 将a+b=2c，c=2代入得：4=8-2abcosC，即ab=则S△ABC=
absinC=
•
•sinC=tanC．
2
2
2
，
故选C
由余弦定理列出关系式，将a2+b2=2c2，及c=2代入表示出ab，再利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
5. 解：在△ABC中，由余弦定理得：cosA=
=
故选：A．
根据利用余弦定理求出cosA，通过向量数量积的量，
=
，
=-=-=
=
．
=
，
求解即可．
本题考查余弦定理的应用，向量的数量积，考查转化思想以及计算能力．
6. 解：△ABC中，∵A：B：C=1：1：4，故三个内角分别为30°、30°、120°， 则a：b：c=sin30°：sin30°：sin120°=1：1：， 故选：A．
利用三角形内角和公式求得三个内角的值，再利用正弦定理求得a：b：c的值． 本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题． 7. 解：∵sinC=2sinA，∴c=2a，
由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB， ∴4=a+c-∵cosB=
2
2
2
ac，与c=2a联立解得a=2，c=4．
==
． ．
，B∈（0，π），∴sinB=
sinB=
则△ABC的面积S=
故选：B．
sinC=2sinA，利用正弦定理可得：c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，即42=a2+c2-ac，与c=2a联立解出即可得出．
本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8. 解：不妨设三边满足a＜b＜c，满足a=n-1，b=n，c=n+1（n≥2，n∈N）． ∵△ABC是钝角三角形，
∴可得∠C为钝角，即cosC＜0， 由余弦定理得：（n+1）2=（n-1）2+n2-2n（n-1）•cosC＞（n-1）2+n2， 即（n-1）2+n2＜（n+1）2，化简整理得n2-4n＜0，解之得0＜n＜4， ∵n≥2，n∈N，∴n=2，n=3，
当n=2时，不能构成三角形，舍去，
当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4， 故选：B
不妨设三边满足a＜b＜c，满足a=n-1，b=n，c=n+1（n≥2，n∈N）．根据余弦定理以及角C为钝角，建立关于n的不等式并解之可得0＜n＜4，再根据n为整数和构成三角形的条件，可得出本题答案．
本题属于解三角形的题型，涉及的知识有三角形的边角关系，余弦函数的图象与性质以及余弦定理，属于基础题．灵活运用余弦定理解关于n的不等式，并且寻找整数解，是解本题的关键．
9. 解：∵三边a，b，c成等差数列， ∴2b=a+c，
利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC， ∴sinA+sinC=2sin=1，
设cosA-cosC=m，
则平方相加可得：2-2cos（A+C）=1+m2， ∴m2=2cosB+1=． 故选：A．
三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=1，设cosA-cosC=m，平方相加即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10. 解：在△ABC中，∵b2+c2-a2=bc， 由余弦定理可得cosA=∵A是三角形内角， ∴A=60°， ∵a=
，
=
=
，
∴=1=，
∵•=||•||•cos（π-B）＞0， ∴可得：cosB＜0，B为钝角， ∴b+c=sinB+sin（120°-B）=
sinB+
cosB=
sin（B+30°），
，
∵B∈（90°，120°），可得：B+30°∈（120°，150°），可得：sin（B+30°）∈（
）， ∴b+c=
sin（B+30°）∈（
，
）．
故选：B．
利用已知代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，利用平面向量的运算可得B的范围，利用正弦定理，正弦函数的图象和性质即可得解b+c的取值范围．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量在解三角形中的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．
a， 11. 解：∵b=
∴根据正弦定理得sinB=∴sinA=∴∠A=
sinA，又sinB=sin
，
=
，
，又a＜b，得到∠A＜∠B=，
．
则∠C=π-A-B=
故选：D．
利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．
此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题． 12. 解：设原来直角三角形的三边长是a，b，c且a2=b2+c2 在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的量，
原来的斜边仍然是最长的边，只要验证这个边对应的角的情况就可以， cosA==
＞0∴这个三角形中最大的角是一个锐角，
故选A．
设出三角形的边长，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的量，原来的斜边仍然是最长的边，只要验证这个边对应的角的情况就可以，利用余弦定理验证．
本题考查判断三角形的形状，考查余弦定理的应用，在解题时注意分析三条边长变化以后，最大的边长在变化以后仍然是最大的边长，只要观察这条边对应的角即可． 13. 解：∵，B∈（0，π）， ∴B=
，
又∵AB=3，∴BC=2， ∴AC=
=AB•BC•sinB=，
==．
故答案为：．
由已知可求B，利用三角形面积公式可求BC的值，进而利用余弦定理可求AC的值． 本题主要考查了特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 14. 解：∵S=∴tanA=
=
（b2+c2-a2），即，
bcsinA=
（b2+c2-a2）=
×2bccosA，
由A为三角形的内角， ∴A=
，
．
bcsinA=
（b2+c2-a2），利用余弦定理及同角三角函数的
故答案为：由S=
（b2+c2-a2），得
关系可求得tanA=1，由A的范围可求A．
该题考查三角形的面积公式、余弦定理，属基础题，准确记忆公式并灵活运用是解题关键．
15. 解：在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a，b，c，由题意可得：c=2，
222222
由余弦定理可得：c=a+b-2abcosC，即：4=a+b-ab=（a+b）-3ab≥
（a+b），
2
解得：a+b≤4，
又由三角形的性质可得：a+b＞2， 综上，可得：2＜a+b≤4． 所以AC+BC的取值范围为：（2，4]． 故答案为：（2，4]．
22由已知利用余弦定理，基本不等式可得4=a2+b2-ab=（a+b）-3ab≥（a+b），解得a+b≤4，
又利用两边之和大于第三边可得a+b＞2，从而可求AC+BC的取值范围．
本题主要考查余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用，属于中档题．
16. 解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120° 根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700， ∴BC=10海里， 根据正弦定理得
，
即，
∴sin∠ACB=∴sinθ=
， ；
故答案为：．
连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值
本题考查了解三角形问题的实际应用，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．
17. 解：∵AB=3，AC=2，A=60°， ∴S△ABC=
AB•AC•sinA=
．
=
．
故答案为：
由已知利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题． 18. 解：∵A=
，AB=2，且△ABC的面积为
，
=
×2×AC×sin
，
∴由三角形面积公式可得：S=×AB×AC×sinA可得：
∴解得：AC=1． 故答案为：1．
利用三角形面积公式即可得解．
本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题． 19. 解：由已知可得：
222
∴a=2+4-2×2×4×
=2
=28．
，解得b=2．
∴a=2．
设△ABC的外接圆的半径为R， 则2R=
=
=
，解得R=
．
故答案为：由已知可得：
．
=2
，解得b．再利用余弦定理可得a，再利用正弦定理
即可得出．
本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20. 解：满足
，则有A1=
±A，B1=
±B，C1=
±C．
对于①，cosA=cos90°=0，显然不成立． 对于②，可取满足题意． 对于③，经验证不满足． 故答案为：②． 满足
，则有A1=
±A，B1=
±B，C1=
±C逐一验证选项
即可．
本题考查了推理的能力，根据条件逐一验证，是一种很好的做客观题的方法，属于中档题
21. 解：∵a=2，c=2∴由正弦定理得：sinC=
=
，A=30°，
， ，
∴C=60°或120°， ∴B=90°或30°， 则S△ABC=
acsinB=2
或
．
故答案为：2或．
由A的度数求值sinA的值，再由a、c的值，利用正弦定理求出sinC的值，再利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而求出B的度数，确定出sinB的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
22. 解：取AC的中点O，则 ∵， ∴=2，
∴C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍
故S△ABC=2S△ABP=12故答案为：12由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得=2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP，结合已知中△ABP的面积为6，即可得到答案．
本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据=2，得到S△ABC=2S△ABP，是解答本题的关键． 23. 解：∵4sinA+2cosB=4，
，
∴2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，
∴两边同时平方，然后两式相加，化简得5+4（sinAcosB+sinBcosA）=7， ∴sin（A+B）=
，
，
∴sin（180°-C）=sinC=∴得出∠C=∵若∠C=∴∠C=
或
．
，可得：A+B=．
．
，cosB＜1，2sinA＜1，2sinA+cosB=2，不成立，
故答案为：
先对条件中两个式子平方后相加得到关于A+B的正弦值，再由诱导公式得到角C的正弦值，最后得到答案． 本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题． 24. 解：∵△ABC的外
接圆半径R为1，∴由正弦定理可得：sinA=
，
， ，
∵边BC上一点D满足BD=2DC， 且∠BAD=90°，
∴A=120°，∠CAD=30°， BD=
a=
，CD=
a=
，
∴如图，由正弦定理可得：，可得：b=sin∠2=sin∠1==c，
∴△BAC是等腰三角形，底角是30°， ∴sinB=∴S△ABC=故答案为：
．
，进而可求A，∠CAD，BD，CD，由正弦定理可得=c，可求sinB=
，c=1，即可利用三角形面积公式计
，可得：c=1，
=
．
由已知及正弦定理可求sinA=b=
sin∠2=
sin∠1=
算得解．
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 25.
解：由题意在△ADC中，AD=1，CD=2，AC=， ∴由余弦定理可得cos∠CAD=∴sin∠CAD=
，
，可得sin∠BAD=
， =
，
同理由cos∠BAD=-
∴sin∠CAB=sin（∠BAD-∠CAD） =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=
在△ABC中由正弦定理可得BC==3故答案为：3．
由题意在△ADC中应用余弦定理易得cos∠CAD，进而由同角三角函数基本关系可得
sin∠CAD和sin∠BAD，再由和差角公式可得sin∠CAB，在△ABC中由正弦定理可得BC． 本题考查三角形中的几何运算，涉及正余弦定理的综合应用，属中档题．
26. 解：∵在△ABC中a=7，b=8，c=13，
∴由余弦定理可得cosC==
=-，
∵C∈（0，π），∴C=故答案为：
由题意和余弦定理可得cocC，由三角形内角的范围可得．
本题考查余弦定理，涉及三角函数值和角的对应关系，属基础题． 27. 解：由题意，AB=，AC=，BC=5， 由余弦定理可得cos∠BAC=
=-，
∵0°＜∠BAC＜180° ∴∠BAC=135°， 故答案为135°． 由题意，AB=，AC=，BC=5，由余弦定理可得∠BAC的度数．
本题考查余弦定理、勾股定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础． 28. 解：由正弦定理及又b=4a， ∴sinC=
，
=
，得
=
，
∵△ABC为锐角三角形， ∴cosC=∴cosC=∴S△ABC=
absinC=
．
=
，又b=4a，可求sinC，利用同角三角函数基本关
，
=
==
，解得a=1，b=4，c=4， ．
故答案为：
由已知及正弦定理可求
系式可求cosC，利用余弦定理解得a，b，c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 29. 解：∵sinB=sin（A+C）=2sinAcosC， ∴sin（A-C）=0，A，C∈（0，π），∴A=C， 因此三角形ABC一定是等腰三角形． 故答案为：等腰．
sinB=sin（A+C）=2sinAcosC，展开化简即可得出．
本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
30. 解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列， ∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=
，
又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac 由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB， ∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，
2
故（a-c）=0，可得a=c， 故三角形为：等边三角形， 故答案为：等边三角形． 由等差数列和三角形内角和可得B=
，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三
角形．
本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题． 31. 解：∵b•cosC=c•cosB，
∴由正弦定理得sinB•cosC=sinC•cosB， 即sinB•cosC-sinC•cosB=sin（B-C）=0， 即B=C，
则三角形为等腰三角形，则c=b=1， 则三角形BC的高h=
，
则三角形的面积S=故答案为：
=，
由b•cosC=c•cosB，结合正弦定理和两角和差的正弦公式得到B=C，求出三角形的高，即可得到结论．
本题主要考查三角形的面积的计算，根据正弦定理和两角和差的正弦公式得到三角形为等腰三角形是解决本题的关键．
32. 解：作BE垂直BP，使BE=BP（点E和P在BC两侧），连接PE，CE．
则：∠BPE=∠BEP=45°；PE2=BE2+BP2=4+4=8； ∵∠EBP=∠CBA=90°．
∴∠EBC=∠PBA；又BE=BP，BC=BA． ∴△EBC≌△PBA（SAS），CE=AP=1． ∵PE2+CE2=8+1=9；PC2=32=9．
∴PE2+CE2=PC2，则∠PEC=90°，∠BEC=∠BEP+∠PEC=135°； 作CH垂直BE的延长线于H，则∠CEH=180°-∠BEC=45°． ∴CH=EH=
，BH=BE+EH=2+
2
2
2
．
）+（
2
故S正方形ABCD=BC=BH+CH=（2+）=5+2
2
，
故答案为5+2．
由题意作BE垂直BP，使BE=BP（点E和P在BC两侧），连接PE，CE，作CH垂直BE的延长线于H，则
∠CEH=180°-∠BEC=45°．进一步由勾股定理求得答案即可．
此题考查正方形的性质，勾股定理的运用，属于中档题．
33. 解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，
∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a， ∴BD=AD=a，CD=a，
在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，
∴cosA=cos（+θ）=coscosθ-sinsinθ=故答案为：-．
-=-．
作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ═==，
sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．
本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题． 34. 解：在△ABC中，∵2cos2∴1+2cosA+cos2A=∴∴
cos2A+cosA+
=-sin2A=
=
sinA，∴1+cosA=
sinA，
cos2A．
或cosA=-1（舍）．
=0，解得cosA=-
，∴a2=b2+c2+bc．
∵sin（B-C）=4cosBsinC，
∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB． ∴b×
=5c×
，即2a+3c-3b=0．
2
2
2
把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2-3b2=0，
22
即5c-b+2bc=0．
∴-（）2+2+5=0，解得=1+故答案为：1+
．
，由余弦定理得a2=b2+c2+bc，将sin（B-C）=4cosBsinC或
=1-（舍）．
利用二倍角公式化简求出cosA=-
展开得sinBcosC=5cosBsinC，利用正余弦定理将角化边，即可得出关于的一元二次方程，解出即可．
本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 35. 解：∵a， ∴， ∴由余弦定理可得：cosA=∵A∈（0，π）， ∴解得：A=
．
=
=-．
故答案为：．
，由余弦定理可得cosA=
=-，结
由已知整理可得
合范围A∈（0，π），即可解得A的值．
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
36. 解：在△ABC中，∵a：b：c=3：5：7，即a=3k，b=5k，c=7k， ∴由余弦定理得：cosC=
=
=-，
又C为三角形的内角，
则此三角形中最大角C的度数是120°． 故答案为：120°．
由a：b：c的比值，设一份为k，表示出a，b及c，利用余弦定理表示出cosC，将表示出的a，b及c代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，即为此三角形中最大角的度数．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
222
bc=0，可得：b2+c2-a2=bc， 37. 解：∵a-b-c+∴cosA=
∵A∈（0，π）， ∴A=
．
．
bc，利用余弦定理可求cosA=
，结合范围A∈（0，π），
=
=
，
故答案为：
222
由已知可得：b+c-a=
即可得解A的值．
本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题． 38. 解：由
B＞A，sin（B-A）＞0， 所以由正弦定理得即sinA=
sinB，
，则
，
，
得，
因为sinA=sin[B-（B-A）]=sinBcos（B-A）-cosBsin（B-A）， 所以化简得由由
，
，
，sinB＞0知，cosB＞0， 得，
，
所以，
故答案为：．
由题意和边角关系可得B＞A，由条件和平方关系求出sin（B-A），由正弦定理化简得sinA与sinB关系，由
sinA=sin[B-（B-A）]、两角差的正弦公式化简后，结合条件和平方关系求出cosB的值． 本题考查正弦定理，边角关系，两角差的正弦公式以及平方关系的应用，考查化简、变形能力．
39. 解：∵（2a-c）cosB=bcosC 根据正弦定理得：
（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB 2sinAcosB=sin（B+C） 2sinAcosB=sinA ∴cosB=
∴B=60° ∴
=-cosB=-（2×3×
）=-3故答案为：-3通过正弦定理把a，c，b
换成sinA，sinB，sinC代入（2a-c）•cosB=b•cosC，求得B，再根据向量积性质，求得结果．
本题主要考查了正弦定理和向量积的问题．再使用向量积时，要留意向量的方向． 40.
由题意，结合图形知，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=2-2，BC=4，故可由余弦定理求出边AC的长度，由于此时在△ABC中，∠ABC=120°，三边长度已知，故可由正弦定理建立方程，求出∠CAB的正弦值，即可得出结论．
本题是解三角形在实际问题中的应用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知识，解题的关键是将实际问题中的距离、角等条件转化到一个三角形中，正弦定理与余弦定理求角与边，解三角形在实际测量问题-遥测中有着较为广泛的应用，此类问题求解的重点是将已知的条件转化到一个三角形中方便利用解三角形的相关公式与定理，本题考查了转化的思想，方程的思想． 41.
由已知利用余弦定理可解得a的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题． 42.
（1）由已知及正弦定理可得于△ABC为锐角三角形，可求C=
．
absinC=
，得ab=4．联立即可解
，结合sinA≠0，可得sinC=
，由
（2）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4，又
得a，b的值．
（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（当且仅当a=b=2时等号成立），利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 43.
sinA，sinC，sinB成等差数列．a=2b，（1）由正弦定理得a+b=2c，利用余弦定理可得cosA的值；
（2）由cosA的值，求解sinA的值，根据S=bcsinA，即可求解c的值．
本题考查了等差数列的性质以及正余弦定理的运用，属于基础题． 44.
（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB＞0，可得cosC=
，由于C∈（0，C），可求C的值．
（II）由已知利用余弦定理可得：a2-2a-3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公
式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 45.
（1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求S△CEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 46.
（1）由弦定理化简已知可得，结合sinB≠0，可求，结合范围0＜A＜π，可求A的值．
2
（2）解法一：由余弦定理整理可得：c-2c-3=0．即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
解法二：由正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 47.
先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，可求CD=BCsin∠CBD，即可求得山顶的海拔高度．
本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题． 48.
根据内角和定理计算C，利用正弦定理求出b，c． 本题考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题． 49.
（1）利用正弦定理化简后，根据和与差的公式可得B的大小． （2）根据余弦定理建立关系，求出ac的值，即可得S△ABC的值．
本题考查三角形的正余弦定理和和与差公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
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