必修二综合检测2

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为( )

A．M∈a，a∈α C．M⊂a，a⊂α

B．M∈a，a⊂α D．M⊂a，a∈α

【解析】 点M在直线a上，可记为M∈a，a在平面α内，可记为a⊂α，故B正确．

【答案】 B

2．垂直于同一平面的两条直线一定( ) A．平行 B．垂直 C．异面 D．以上都有可能

【解析】 垂直于同一平面的两条直线一定平行，选A. 【答案】 A

3．如图1，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )

图1

A．直线AC

B．直线AB C．直线CD D．直线BC

【解析】 D∈l，l⊂β，∴D∈β，又C∈β，∴CD⊂β； 同理，CD⊂平面ABC，

∴平面ABC∩平面β＝CD.故选C. 【答案】 C

4．设a，b，c是空间的三条直线，给出以下五个命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】 借助正方体中的线线关系易知①②③④全错；由公理4知⑤正确．

【答案】 B

5．(2014·长沙高一检测)BC是Rt△ABC的斜边，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于D点，则图有直角三角形的个数是( )

图2

A．8个 C．6个

B．7个 D．5个

【解析】 因为PA⊥平面ABC， 所以PA⊥BC，

因为PD⊥BC，PA∩PD＝P， 所以BC⊥平面PAD，所以AD⊥BC，

图中直角三角形有△PAC，△PAD，△PAB，△ABC，△PDC，△PDB，△ADC，△ADB，共8个．

【答案】 A

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为( )

A．30° B．90° C．60° D．45°

【解析】 如图所示，连接A1C1、A1B，则△A1BC1为等边三角形．

又AC∥A1C1，故AC与BC1所成的角，即为A1C1与BC1所成的角，大小为60°.

【答案】 C

7．(2012·四川高考)下列命题正确的是( )

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个

平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【解析】 A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.

【答案】 C

8．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )

A．30° B．60° C．90° D．120° 【解析】 如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝2.

2∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝2，且CM⊥BM，AM⊥BM，

∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．

2

∵AC＝1，MC＝MA＝2，∴∠CMA＝90°，故选C. 【答案】 C

9．如图3，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是

( )

图3

A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E

【解析】 由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．

【答案】 C

10．(2014·济宁高一检测)如图4所示，在正四棱锥S－ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的( )

图4

【解析】 如图所示，连接BD与AC相交于点O，连接SO，

取SC的中点F，取CD的中点G，连接EF，EG，FG， 因为E，F分别是BC，SC的中点，

所以EF∥SB，EF⊄平面SBD，SB⊂平面SBD，所以EF∥平面SBD，同理可证EG∥平面SBD，又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面SBD，

由题意得SO⊥平面ABCD，AC⊥SO，

因为AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥平面EFG，

所以AC⊥GF，所以点P在直线GF上． 【答案】 A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

11．A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．

【解析】 ∵A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，则l与α相交． 【答案】 1

12．如图5，正方形ABCD的边长为a，沿对角线AC将△ADC折起，若∠DAB＝60°，则二面角D－AC－B的大小为________．

图5

【解析】 取AC的中点E，连接BE、DE，则DE⊥AC，BE⊥AC，所以∠DEB为二面角D－AC－B的平面角．因为DA＝AB，∠DAB＝60°，所以△DAB为等边三角形．又AB＝a，则易得BD＝a，

2

DE＝BE＝2a，因此DE2＋BE2＝BD2.所以∠DEB＝90°.

【答案】 90°

13．在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1

满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．

【解析】 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1；还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．

【答案】 B1D1⊥A1C1(答案不唯一)

14．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．

【解析】 取AC中点M，连接EM，FM，F为DC中点，M为11AC中点，∴FM∥AD，且FM＝2AD＝1，同理EM∥BC且EM＝2BC＝1.

△EMF中作MN⊥EF于N.

3

Rt△MNE中，EM＝1，EN＝2，

3

∴sin∠EMN＝2，∠EMN＝60°，

∴∠EMF＝120°，∴AD与BC所成角为60°. 【答案】 60°

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)如图6，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝23，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.

图6

【证明】 ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PA.

AD3BC

又tan∠ABD＝AB＝3，tan∠BAC＝AB＝3， ∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.

16．(本小题满分12分)如图7，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．

图7

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1； (2)求证：AC⊥EF.

【证明】 (1)如图所示，连接CD1.

∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1. 而CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1， ∴PQ∥平面DCC1D1.

(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.

∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH綊D1D.

而D1D⊥面ABCD，

∴FH⊥面ABCD，而AC⊂面ABCD， ∴AC⊥FH.

又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB. 而AC⊥BD，∴AC⊥EH.

因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面

EFH，

而EF⊂平面EFH，所以AC⊥EF.

17．(本小题满分12分)如图8，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．

图8

(1)求证：SA∥平面PCD； (2)求圆锥SO的表面积；

(3)求异面直线SA与PD所成的角正切值．

【解】 (1)证明：连接PO，∵P、O分别为SB、AB的中点，

∴PO∥SA，

∵PO⊂平面PCD，SA⊄平面PCD， ∴SA∥平面PCD.

(2)∵圆锥的底面半径r＝2，母线长l＝SB＝22， S底面＝πr2＝4π，S侧面＝πlr＝42π， S圆锥表面＝S底面＋S侧面＝4(2＋1)π. (3)∵PO∥SA，

∴∠DPO为异面直线SA与PD所成的角．

∵AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O， ∴CD⊥平面SOB. ∵PO⊂平面SOB，

∴OD⊥PO，在Rt△DOP中，OD＝2， 11

OP＝2SA＝2SB＝2， OD2

∴tan∠DPO＝OP＝＝2，

2

∴异面直线SA与PD所成角的正切值为2.

18．(本小题满分14分)(2012·北京高考)如图9中的(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

图9

(1)求证：DE∥平面A1CB. (2)求证：A1F⊥BE.

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由． 【解】 (1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点， ∴DE∥BC.

又∵DE⊄平面A1CB， ∴DE∥平面A1CB.

(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC， ∴DE⊥AC.

∴DE⊥A1D，DE⊥CD. ∴DE⊥平面A1DC. 而A1F⊂平面A1DC， ∴DE⊥A1F.

又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D， ∴A1F⊥平面BCDE， ∴A1F⊥BE.

(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又∵DE∥BC， ∴DE∥PQ.

∴平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， ∴DE⊥A1C.

又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， ∴A1C⊥DP. ∴A1C⊥平面DEP.

从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.