淮北市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A、2865 B、3065 C、56125 D、 60125
2． 为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=
sin（3x+
）的图象（ ）
A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
3． 已知函数f(x)2alnxx22x（aR）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）A．
14 B．12 C． D．4． 函数f（x﹣）=x2+，则f（3）=（ ） A．8
B．9
C．11
D．10
5． 函数yAsin(x)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A．y2sin(2x3) B．y2sin(2x2x3) C．y2sin(23) D．y2sin(2x3)
6． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（
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）精选高中模拟试卷
A．0° A．[1，6]
B．45° B．[﹣3，1]
C．60° C．[﹣3，6]
D．90°
D．[﹣3，+∞）
7． 函数 y=x2﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是（ ）
8． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（ ）
A．560m3 B．540m3 C．520m3 D．500m3
9． 设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A．m⊥α，m⊥β，则α∥β B．m∥n，m⊥α，则n⊥α C．m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．m∥α，α∩β=n，则m∥n
10．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）
A．112 B．114 C．116 D．120
11．设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5 12．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）
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A．
B． C． D．
二、填空题
13．等差数列{an}中，|a3||a9|，公差d0，则使前项和Sn取得最大值的自然数是________. 14．设函数f（x）=15．已知（1+x+x2）（x
，则f（f（﹣2））的值为 ．
n+
）（n∈N）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n= ．
16．已知圆C的方程为x2y22y30，过点P1,2的直线与圆C交于A,B两点，若使AB 最小则直线的方程是 ．
17．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示． x 0 4 5 ﹣1 1 2 2 1 f（x） 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）的极大值点为0，4； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；
⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．
18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2016项的值是 ．
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三、解答题
19．已知（
+）n展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数之和．
20．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．
（I）求p的值；
（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．
21．本小题满分10分选修41：几何证明选讲
如图，ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，
PAPE，ABC45，PD1，DB8．
Ⅰ求ABP的面积； Ⅱ求弦AC的长．
AOEDPBC第 4 页，共 16 页
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22．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转（Ⅰ）求点A的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，
23．已知函数f（x）=（1）求m和t的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
24．已知函数
．
在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）
]的值域．
后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；
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1
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣，e]上有两个零点，求实数b的取
值范围．
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淮北市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
S底10,S后10,S右10,S左65，
因此该几何体表面积S3065，故选B． 2． 【答案】A
【解析】解：由于函数y=即可得到y=故选：A．
sin[3（x+
sin（3x+﹣
）]=
）=sin[3（x+）]的图象向右平移
个单位，
sin3x的图象，
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题． 3． 【答案】A 【解析】
2x22x2a2试题分析：由题意知函数定义域为(0,)，f(x)，因为函数f(x)2alnxx2xx'2（aR）在定义域上为单调递增函数f(x)0在定义域上恒成立，转化为h(x)2x2x2a在(0,)恒
1成立，0,a，故选A. 1
4'考点：导数与函数的单调性． 4． 【答案】C
【解析】解：∵函数故选C．
5． 【答案】B 【解析】
=
2
，∴f（3）=3+2=11．
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考点：三角函数f(x)Asin(x)的图象与性质． 6． 【答案】C
【解析】解：连结A1D、BD、A1B，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°． 故选：C．
∴CD1与EF所成角为60°．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7． 【答案】C
22
【解析】解：y=x﹣4x+1=（x﹣2）﹣3 ∴当x=2时，函数取最小值﹣3 当x=5时，函数取最大值6 故选C
关系，仔细作答
8． 【答案】A ﹣1），其方程为y=﹣S1=
2
∴函数 y=x﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置
【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，
，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积=2
=4，
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下部分矩形面积S2=24，
故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m．
3
故选：A．
【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．
9． 【答案】D 【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β； B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；
C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m； 故选D．
D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
10．【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得； 该班级数学成绩的平均分是 =80×0.005×20+100×0.015×20 +120×0.02×20+140×0.01×20 =114． 故选：B．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
11．【答案】B
考
点：函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 12．【答案】C
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【解析】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1， ∴即当x=即f（故f（所以f（故选：C．
＞k＞1，
时，f（））＞）＜
，
，一定出错， ）+1＞﹣1=
×k=
，
＞k＞1，
二、填空题
13．【答案】或 【解析】
试题分析：因为d0，且|a3||a9|，所以a3a9，所以a12da18d，所以a15d0，所以a60，所以an01n5，所以Sn取得最大值时的自然数是或． 考点：等差数列的性质．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出a15d0，所以a60是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个易错点．
14．【答案】 ﹣4 ．
【解析】解：∵函数f（x）=
2
∴f（﹣2）=4﹣=
，
， ）=
=﹣4．
f（f（﹣2））=f（
故答案为：﹣4．
15．【答案】 5 ．
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【解析】二项式定理． 【专题】计算题．
n+12
）（n∈N）的展开式中无常数项、x﹣项、x﹣项，利
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x用（x
n+
）（n∈N）的通项公式讨论即可．
xn﹣rx﹣3r=
xn﹣4r，2≤n≤8，
【解答】解：设（x
）（n∈N）的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=
n
+
当n=2时，若r=0，（1+x+x）（x
2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；
n
+
当n=3时，若r=1，（1+x+x）（x
2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠3；
n
+
当n=4时，若r=1，（1+x+x）（x
2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠4；
n
+
n
+
2
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x）（x）（n∈N）的展开式中均没有常数项，故n=5适合
题意；
2
n
+
当n=6时，若r=1，（1+x+x）（x当n=7时，若r=2，（1+x+x）（x
2
）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠6； ）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠7；
n
+
当n=8时，若r=2，（1+x+x）（x
2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；
n
+
综上所述，n=5时，满足题意． 故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．16．【答案】xy30 【解析】
试题分析：由圆C的方程为xy2y30，表示圆心在C(0,1)，半径为的圆，点P1,2到圆心的距
22离等于2，小于圆的半径，所以点P1,2在圆内，所以当ABCP时，AB最小，此时
kCP1,k11，由点斜式方程可得，直线的方程为y2x1，即xy30.
考点：直线与圆的位置关系的应用. 17．【答案】 ①②⑤ ．
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【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；
因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；
由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，
根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，
综上正确的命题序号为①②⑤． 故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．
18．【答案】 0 ．
【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…， 即新数列{bn}是周期为6的周期数列， ∴b2016=b336×6=b6=0， 故答案为：0．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
+）n，所有二项式系数和为2n=512，
【解析】解：（1）对（解得n=9；
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设Tr+1为常数项，则： Tr+1=C9r由
﹣r=0，得r=3，
=C9r2r
，
，准线方程为
．
33
∴常数项为：C92=672； 99
（2）令x=1，得（1+2）=3．
【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．
20．【答案】
2
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y=2px（p＞0）的焦点坐标为
所以，直线l的方程为由
…
…
．…
2
消y并整理，得
设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…
2
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．… 由方程组
2
（1）
可得ky﹣2y+4k﹣2=0（2）… 当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
2
把y=﹣1代入y=2x，得
．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）． 由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k﹣2k﹣1＜0． 解得
．
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于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这
．…
时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，… 因此，所求m的取值范围是
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】ⅠPA是⊙O的切线，切点为A ∴PAEABC45 又∵PAPE ∴PEA45，APE90
2由于PD1，DB8，所以由切割线定理可知PAPDPB9，既EPPA3
127BPPA． 22Ⅱ在RtAPEAPE中，由勾股定理得AE32
故ABP的面积为
由于EDEPPD2，EBDBDE6，所以由相交弦定理得
ECEAEBED 12 所以EC22．【答案】
123222，故AC52 ．
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，）．
∴tanθ=tan（α+）==，
∴由解得，
∴点A的坐标为（，）．
（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x==
sin（2x+
）
∈[
，
]，
sin2x+
cos2x
由x∈[0，∴sin（2x+
]，可得2x+）∈[﹣
，1]，
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∴函数f（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=由题意可得，f（）=即
=
，且
，f′（）=， =，
，
由m∈N，则m=1，t=8； （2）设h（x）=ax+﹣h（）=﹣≥0，即a≥， h′（x）=a﹣若≤x≤
，当a≥时，若x＞
，
＜0，g（x）在[，
]上递减，且g（）≥0， ，h′（x）＞0，①
，x≥．
，设g（x）=a﹣
g′（x）=﹣
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
≥0，
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立； 当a＜时，h（）＜0，不合题意． 综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
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因为所以，
，所以，，
，所以，a=1．
． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．
．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）． （Ⅱ）
所以，f（x）在区间所以，当成立， 所以，
．
，则
上单调递增，在区间
，由f'（x）＞0解得
； 由f'（x）＜0解得
上单调递减．
时，函数f（x）取得最小值，
即可． 则
．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）
． 由
解得
．
所以，a的取值范围是 （Ⅲ） 依题得
．
由g'（x）＞0解得 x＞1； 由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
1
又因为函数g（x）在区间[e﹣，e]上有两个零点，所以
， ．
解得． 所以，b的取值范围是
【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．
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