人教版八年级上册期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列调查中需要做普查的是（ ）
A． 了解一批炮弹的命中精度 B． 调查全国中学生的上网情况 C． 审查某文章中的错别字 D． 考查某种农作物的长势
2．在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）所在的象限是（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3．下列各数中是无理数的是（ ） A．
B．
C．
D． 0.
4．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（ ） A． y=3x B． y=﹣3x C．
D．
5．在平面直角坐标系中，一次函数y=5x﹣3的图象经过（ ） A． 第一、二、三象限 B． 第二、三、四象限 C． 第一、三、四象限 D． 第一、二、四象限
6．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论不一定成立的是（ ）
A． DE=CE B． OE平分∠DEC C． OE垂直平分CD D． CD垂直平分OE
7．把6978000按四舍五入法精确到万位的近似值用科学记数法表示为（ ）
A． 6980000 B． 6.98×10 C． 698×10 D． 6.978×10
8．已知汽车油箱内有油30L，每行驶100km耗油10L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（ ） A． Q=30﹣
B． Q=30+
C． Q=30﹣
D． Q=30+
6
4
6
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
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9．49的算术平方根是 ．
10．= ．
11．等腰三角形的一个角为100°，则它的两底角为 ．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E为垂足，BD与CE交于点O，则图中全等三角形共有 对．
13．将函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得图象的函数表达式为 ．
14．八年级（1）班共有50名学生，若有36名学生推荐李明为学习委员，则李明得票的频率是 ．
15．点A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数y=﹣2x+1的图象上，则y1 y2（填“＞”“=”或“＜”）
16．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．
17．如图，已知一次函数y=ax+b（a≠0）和y=kx（k≠0）的图象交于点P，则二元一次方程组
的解是 ．
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18．如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 ．
[来源:学,科,网]
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（1）计算：
﹣
3
+
（2）求x的值：（x﹣1）=27．
20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上， （1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1； （3）在（2）的条件下，A1的坐标为 ．
21．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．
22．如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，角平分线AD=12，点E是AC中点，求DE的长．
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23．某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有 人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m= ，n= ，表示区域C的圆心角为 度；
（3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？
24．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数
的图象交于点C（m，4）
（1）求m的值；
（2）求一次函数y=kx+b的表达式；
（3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积．
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25．如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BE=DC，BD=FC． （1）求证：DE=DF；
（2）当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．
26．某剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，剧院制定了两种优惠方案，方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；方案二：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会． （1）设学生人数为x（人），分别求出方案一、方案二的付款总金额y1、y2（元）与x的函数表达式；
（2）学生人数在什么范围内，两种方案费用一样？人数在什么范围内，选方案一较划算？人数在什么范围内，选方案二较划算？
27．甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h，并且在途中休息了0.5h，休息前后速度相同，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象． （1）求出图中a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数表达式，并写出相应的x的取值范围； （3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距40km．
28．已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．
（1）求一次函数的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交y轴于点Q． ①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；
②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列调查中需要做普查的是（ ）
A． 了解一批炮弹的命中精度 B． 调查全国中学生的上网情况 C． 审查某文章中的错别字 D． 考查某种农作物的长势
考点： 全面调查与抽样调查．
分析： 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答： 解：A、了解一批炮弹的命中精度具有破坏性，应用抽样调查，故A错误；
B、调查全国中学生的上网情况，费人力、物力和时间较多，应用抽样调查，故B错误； C、审查某文章中的错别字，调查结果比较准确，应用普查，故C正确； D、考查某种农作物的长势，具有破坏性，应用抽样调查，故D错误； 故选C．
点评： 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．在平面直角坐标系中，点（﹣1，3）所在的象限是（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标．
分析： 根据点的横纵坐标的符号可确定所在象限． 解答： 解：∵该点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴所在象限为第二象限， 故选B．
点评： 考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：第二象限点的符号特点为（﹣，+）．
3．下列各数中是无理数的是（ ） A．
B．
C．
D． 0.
考点： 无理数．
分析： 根据无理数是无限不循小数，可得答案． 解答： 解：A、是无理数，故A正确； B、=3是有理数，故B错误； C、
是有理数，故C错误；
D、是有理数，故D错误； 故选：A．
点评： 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 4．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（ ）
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A． y=3x B． y=﹣3x C． D．
考点： 待定系数法求正比例函数解析式． 分析： 根据待定系数法即可求得．
解答： 解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，﹣3）， ∴﹣3=k即k=﹣3，
∴该正比例函数的解析式为：y=﹣3x． 故选B．
点评： 此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
5．在平面直角坐标系中，一次函数y=5x﹣3的图象经过（ ） A． 第一、二、三象限 B． 第二、三、四象限 C． 第一、三、四象限 D． 第一、二、四象限
考点： 一次函数图象与系数的关系． 专题： 数形结合．
分析： 先由k＞0得到图象经过第一、三象限，再由b=﹣3＜0得到一次函数y=5x﹣3的图象与y轴的交点在x轴下方，于是可判断一次函数y=5x﹣3的图象经过的象限． 解答： 解：∵k=5＞0，
∴一次函数y=5x﹣3的图象经过第一、三象限， ∵b=﹣3＜0，
∴一次函数y=5x﹣3的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴一次函数y=5x﹣3的图象经过第一、三、四象限． 故选C．
点评： 本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
6．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论不一定成立的是（ ）
A． DE=CE B． OE平分∠DEC C． OE垂直平分CD D． CD垂直平分OE
考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
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分析： 根据已知和角平分线性质得出DE=CE，∠DOE=∠COE，∠EDO=∠ECO=90°，根据AAS推出△DOE≌△COE，根据全等三角形的性质得出∠DEO=∠CEO，OD=OC，推出OE平分∠DEC，OE垂直平分DC即可．
解答： 解：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴DE=CE，∠DOE=∠COE，∠EDO=∠ECO=90°， 在△DOE和△COE中
∴△DOE≌△COE，
∴∠DEO=∠CEO，OD=OC，
∴OE平分∠DEC，OE垂直平分DC，
∴只有选项D错误；选项A、B、C都正确； 故选D．
点评： 本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能求出△DOE≌△COE，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
7．把6978000按四舍五入法精确到万位的近似值用科学记数法表示为（ ） A． 6980000 B． 6.98×10 C．698×10 D． 6.978×10
考点： 科学记数法与有效数字．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于6978000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字． 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解答： 解：6978000按四舍五入法精确到万位的近似值用科学记数法表示为6.98×10， 故选：B．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
8．已知汽车油箱内有油30L，每行驶100km耗油10L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（ ） A． Q=30﹣
B． Q=30+
C． Q=30﹣
D． Q=30+
6
n
6
4
6
考点： 函数关系式．
分析： 根据每行驶100km耗油10L，可得单位耗油量，根据单位耗油量乘以路程，可得行驶s千米的耗油量，根据总油量减去耗油量，可得剩余油量． 解答： 解：单位耗油量10÷100=0.1l， 行驶s千米的耗油量0.1s， Q=30﹣0.1s， 故选：C．
点评： 本题考查了函数关系式，先求出单位耗油量，再求出耗油量，最后求出剩余油量．
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二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9．49的算术平方根是 7 ．
考点： 算术平方根．
分析： 根据算术平方根的意义可求． 解答： 解：∵7=49， ∴49的算术平方根是7． 故答案为：7．
点评： 本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0.0的算术平方根也是0；负数没有平方根．
10．= π﹣ ．
考点： 实数的性质．
分析： 根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
解答： 解：|﹣π|=， 故答案为：π﹣．
点评： 本题考查了实数的性质，利用了差的绝对值是大数减小数．
11．等腰三角形的一个角为100°，则它的两底角为 40°，40° ．
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
分析： 等腰三角形的一个角为100°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
解答： 解：当100°为顶角时，其他两角都为40°、40°，
当100°为底角时，等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和定理可知，底角应小于90°，故底角不能为100°，
所以等腰三角形的底角为40°、40°． 故应填40°、40°．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E为垂足，BD与CE交于点O，则图中全等三角形共有 3 对．
2
2
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考点： 等腰三角形的性质；垂线；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据等腰三角形性质推出∠ABC=∠ACB，根据垂线定义证∠ADB=∠AEC，∠BEO=∠CDO，根据AAS证△BEC≌△BDC，根据AAS证△ADB≌△AEC，根据AAS证△BEO≌△CDO即可 解答： 解：有3对： 理由是∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC=∠BEC=90°， ∵BC=BC，
∴△BEC≌△BDC，
∵∠ADB=∠AEC，∠A=∠A，AB=AC， ∴△ADB≌△AEC， ∴AD=AE， ∴BE=DC，
∵∠EOB=∠DOC，∠BEC=∠BDC， ∴△BEO≌△CDO， 故答案为：3．
点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，垂线定义等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．
13．将函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得图象的函数表达式为 y=2x+3 ．
考点： 一次函数图象与几何变换．
分析： 直接利用一次函数平移规律上加下减进而得出答案． 解答： 解：∵将函数y=2x的图象向上平移3个单位， ∴所得图象的函数表达式为：y=2x+3． 故答案为：y=2x+3．
点评： 此题主要考查了一次函数平移，正确记忆平移规律是解题关键．
14．八年级（1）班共有50名学生，若有36名学生推荐李明为学习委员，则李明得票的频率是 0.72 ．
考点： 频数与频率．
分析： 根据频率的计算公式：频率=解答： 解：李明得票的频率是：故答案是：0.72．
点评： 本题考查了频率的计算公式，频率=
15．点A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数y=﹣2x+1的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”“=”或“＜”）
即可求解．
=0.72．
，理解公式是关键．
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考点： 一次函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．
分析： 先分别进行出自变量为1和2的函数值，然后比较函数值的大小即可．
解答： 解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数y=﹣2x+1的图象上， ∴y1=﹣2+1=﹣1，y2=﹣2×2+1=﹣3， ∴y1＞y2． 故答案为＞．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
16．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 x＜2 ．
考点： 一次函数的图象． 专题： 数形结合．
分析： 首先根据图象可知，该一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）、（0，3）．因此可确定该一次函数的解析式为y=
．由于y＞0，根据一次函数的单调性，那么x的取值
范围即可确定．
解答： 解：由图象可知一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）、（0，3）． ∴可列出方程组
，
解得，
∴该一次函数的解析式为y=∵
＜0，
，
∴当y＞0时，x的取值范围是：x＜2． 故答案为：x＜2．
点评： 本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握一次函数的单调性以及x、y交点坐标的特殊性才能灵活解题．
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17．如图，已知一次函数y=ax+b（a≠0）和y=kx（k≠0）的图象交于点P，则二元一次方程组
的解是
．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）．
分析： 方程组整理出两个函数解析式的形式，然后根据交点坐标就是方程组的解解答． 解答： 解：∵二元一次方程组
等价于
，
∴方程组的解是．
故答案为：．
点评： 本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
18．如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 （﹣1，2） ．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移． 专题： 数形结合．
分析： 先求出直线y=2x+4与y轴交点B的坐标为（0，4），再由C在线段OB的垂直平分线上，得出C点纵坐标为2，将y=2代入y=2x+4，求得x=﹣1，即可得到C′的坐标为（﹣1，2）．
解答： 解：∵直线y=2x+4与y轴交于B点， ∴x=0时， 得y=4， ∴B（0，4）．
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∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC， ∴C在线段OB的垂直平分线上， ∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4， 解得x=﹣1． 故答案为：（﹣1，2）．
点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）[来源:学&科&网] 19．（1）计算：
﹣
3
+
（2）求x的值：（x﹣1）=27．
考点： 实数的运算；立方根；零指数幂． 专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果；
（2）方程利用立方根定义开立方即可求出解． 解答： 解：（1）原式=3﹣1﹣2=3﹣3=0； （2）开立方得：x﹣1=3， 解得：x=4．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上， （1）B点关于y轴的对称点坐标为 （﹣3，2） ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1； （3）在（2）的条件下，A1的坐标为 （﹣2，3） ．
考点： 作图-平移变换；关于x轴、y轴对称的点的坐标． 专题： 作图题．
分析： （1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；
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（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可． 解答： 解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）； （2）△A1O1B1如图所示； （3）A1的坐标为（﹣2，3）． 故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．
点评： 本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．
考点： 全等三角形的判定． 专题： 证明题．
分析： 由垂直的定义可得到∠C=∠D，结合条件和公共边，可证得结论． 解答： 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C=∠D=90，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（HL）． 点评： 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
22．如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，角平分线AD=12，点E是AC中点，求DE的长．
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考点： 勾股定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD是等腰△ABC底边BC上的高，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DE的长． 解答： 解：∵AB=AC，AD 是角平分线， ∴AD⊥BC，且DC=BC=5， ∵AD=12，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得： AC=
∵点E是AC中点 ∴DE=AC=
．
，
点评： 本题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的根据是熟练运用等腰三角形的性质．
23．某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有 100 人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m= 30 ，n= 10 ，表示区域C的圆心角为 144 度； （3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？
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考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）用B组频数除以其所占的百分比即可求得样本容量；
（2）用A组人数除以总人数即可求得m值，用D组人数除以总人数即可求得n值； （3）用总人数乘以D类所占的百分比即可求得全校喜欢篮球的人数； 解答： 解：（1）观察统计图知：喜欢乒乓球的有20人，占20%， 故被调查的学生总数有20÷20%=100人， 喜欢跳绳的有100﹣30﹣20﹣10=40人， 条形统计图为：
（2）∵A组有30人，D组有10人，共有100人，
∴A组所占的百分比为：30%，D组所占的百分比为10%， ∴m=30，n=10； 表示区域C的圆心角为
×360°=144°；
（3）∵全校共有2000人，喜欢篮球的占10%， ∴喜欢篮球的有2000×10%=200人．
点评： 本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数
的图象交于点C（m，4）
（1）求m的值；
（2）求一次函数y=kx+b的表达式；
（3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积．
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考点： 两条直线相交或平行问题． 专题： 计算题．
分析： （1）根据两直线相交的问题，把C（m，4）代入
中即可求出m的值；
（2）把B点和C点坐标分别代入y=kx+b，得到关于k和b的方程组，然后解方程求出k和b即可得到一次函数解析式；
（3）先确定A点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 解答： 解：（1）∵点C在正比例函数y=x的图象上， ∴
，
∴m=3；
（2）∵点C（3，4）B（0，2）在一次函数图象上， ∴
，
解得．
∴一次函数的表达式为y=x+2； （3）当y=0时，x+2=0，解得x=﹣3， ∴A（﹣3，0），
∴△AOC的面积=×3×4=6．
点评： 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
25．如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BE=DC，BD=FC． （1）求证：DE=DF；
（2）当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．
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考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： （1）求出∠B=∠C，根据SAS推出△BED≌△CDF即可；
（2）根据全等推出∠BED=∠CDF，求出等边三角形ABC，推出∠B=60°，求出∠BDE+∠CDF=120°，求出∠EDF=60°即可． 解答： （1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
∵在△BED和△CDF中 {BE=CD∠B=∠CBD=CF ∴△BED≌△CDF， ∴DE=DF；
（2）解：当∠A=60°时，△DEF是等边三角形， 理由是：∵∠A=60°，AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，
∴∠BED+∠BDE=180°﹣60°=120°， ∵△BED≌△CDF， ∴∠BED=∠CDF，
∴∠CDF+∠BDE=120°，
∴∠EDF=180°﹣120°=60°， ∵DE=DF，
∴△DEF是等边三角形．
点评： 本题考查了等腰三角形性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
26．某剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，剧院制定了两种优惠方案，方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；方案二：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会． （1）设学生人数为x（人），分别求出方案一、方案二的付款总金额y1、y2（元）与x的函数表达式；
（2）学生人数在什么范围内，两种方案费用一样？人数在什么范围内，选方案一较划算？人数在什么范围内，选方案二较划算？
考点： 一次函数的应用． 分析： （1）首先根据优惠方案①：付款总金额=购买成人票金额+除去4人后的学生票金额； 优惠方案②：付款总金额=（购买成人票金额+购买学生票金额）×打折率，列出y关于x的函数关系式，
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（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论． 解答： 解：（1）按优惠方案一可得 y1=20×4+（x﹣4）×5=5x+60（x≥4）， 按优惠方案二可得
y2=（5x+20×4）×90%=4.5x+72（x≥4）； （2）∵y1﹣y2=0.5x﹣12（x≥4），
①当y1﹣y2=0时，得0.5x﹣12=0，解得x=24，
∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；
②当y1﹣y2＜0时，得0.5x﹣12＜0，解得x＜24，
∴4≤x＜24时，y1＜y2，选方案一较划算； ③当y1﹣y2＞0时，得0.5x﹣12＞0，解得x＞24，
当x＞24时，y1＞y2，选方案二较划算． （注：学生没写x≥4，不扣分）
点评： 本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．
27．甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h，并且在途中休息了0.5h，休息前后速度相同，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象． （1）求出图中a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数表达式，并写出相应的x的取值范围； （3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距40km．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）求出甲的速度，根据休息前后速度相同和距离等于速度乘时间求出a的值； （2）根据图象中自变量的取值范围分别求出各段的函数表达式； （3）分别从甲在乙前和甲在乙后两种情况列出方程，求出时间． 解答： 解：（1）由题意120÷（3.5﹣0.5）=40，a=1×40=40， （2）当0≤x≤1时，设y与x之间的函数关系式为y=k1x， 把（1，40）代入，得k1=40 ∴y=40x， 当
时y=40；
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当设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由题意，得解得
∴y=40x﹣20，
∴，
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，
由题意，得，解得，
∴y=80x﹣160，
当40x﹣20﹣（80x﹣160）=40时，解得：x=． 当80x﹣160﹣（40x﹣20）=40时，解得：x=．
答：甲车行驶1小时（或1﹣1.5小时）或小时或小时，两车恰好相距40km，
点评： 本题考查的是一次函数的综合应用，认真观察图象，从中获取正确的信息是解题的
关键，注意待定系数法在解题中的运用，和分情况讨论思想的运用．
28．已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．
（1）求一次函数的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交y轴于点Q． ①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；
②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．
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考点： 一次函数综合题． 分析： （1））由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得∠OBA=∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b可得出k，b的值，即可得出一次函数的表达式；
（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，易证△BOP≌△PDC，进而得出点P，C，的坐标，所点A，C的坐标代入y=k1x+b1求解即可．
②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由线段关系进而得出OA=OB，得出AD=CD，由角的关系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出OQ=OA，即可得出点Q的坐标． 解答： 解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45° ∴∠OBA=∠OAB=45°， ∴OA=OB， ∵A（3，0）， ∴B（0，3）， ∴
，
解得k=﹣1． ∴y=﹣x+3，
（2）①如图，过点C作x轴的垂线，垂足为D，
∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°， ∴∠BPO=∠PCD，
在△BOP和△PDC中，
，
∴△BOP≌△PDC（AAS）． ∴PD=BO=3，CD=PO， ∵P（4，0），
∴CD=PO=4，则OD=3+4=7， ∴点C（7，4）， 设直线AC的函数关系式为y=k1x+b1， 则
，
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解得．
∴直线AC的函数关系式为y=x﹣3； ②点Q的位置不发生变化．
由①知△BOP≌△PDC，当点P在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌△PDC， ∴PD=BO，CD=PO，
∴PO+PD=CD+OB，即OA+AD=OB+CD， 又∵OA=OB， ∴AD=CD，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠QAO=45°， ∴OQ=OA=3，
即点Q的坐标为（0，﹣3）．
点评： 本题主要考查了一次函数的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得出△BOP≌△PDC．
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