概率论与数理统计(经管类)复习要点 第1章 随机事件与概率

1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。

随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。 统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。

概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。

（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。

（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。

2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。

在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。 样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。

样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。

3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，… 随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。 事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。 基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。 两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ

样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。 空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。 4. 随机事件的关系与运算

（1）事件的包含与相等

设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作BA，AB。

①A

②若AB且BA，则称A与B相等，记作A=B。事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B是同一事件的不同表述。

（2）和事件

称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。A∪B发生意味着：或事件A发生，或事件B发生，或事件A和B都发生。 注：事件A、B本身可以没有任何关系。

①AA∪B，BA∪B ②若AB，则A∪B=B

③推广：n个事件A1，A2，…，An至少有一个发生，记作2017.4单（3）积事件

称事件“A，B同时发生”为事件A与事件B的积事件，也称为A与B的交，记作A∩B，简记AB。事件

k1UAnk=A1∪A2∪…∪An A∪B

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AB发生意味着：事件A发生，且事件B也发生，也就是说A，B都发生。

①ABA，ABB； ②若AB，则AB=A；

③推广：n个事件A1，A2，…，An都发生，记作表∩，下同。

k1IAnk=A1∩A2∩…∩An=A1A2…An 注：文档中符号I代

（4）差事件

称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A-B。 ①A-BA

②若AB，则A-Bφ

注：并未要求一定有BA，没有包含关系BA，照样可作差运算。 （5）互不相容

若事件A与B不能同时发生，即AB=φ，则称事件A与B是互不相容的两个事件，简称A与B互不相容（或互斥）。

（6）对立事件

称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作事件。

①A=A ②=φ，=

③A-B=AB=A-AB 注：教材中有误 5. 事件的运算律

交换律：A∪B=B∪A； A∩B=B∩A

结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C； A∩（B∩C）=（A∩B）∩C

分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∩C）； A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） 对偶律：AB=AA。

若事件A与事件B中至少有一个发生，且A与B互不相容，即A∪B=，AB=φ，则称A与B互为对立

B2018.4单; AB=A∪B

事例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

A1：至少有一人命中目标 A∪B∪C

A2：恰有一人命中目标 ABC∪ABC∪ABC

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A3：恰有两人命中目标 ABC∪ABC∪ABC A4：最多有一人命中目标 A6：三人均未命中目标

BC∪AC∪AB

A5：三人均命中目标 ABC

ABC

6. 在相同条件下进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，而比值nA称为事件A发生的频率，记作n（A）。随着试验重复次数n的大量增加，频率会逐渐稳定于某一常数，称

n这个常数为频率的稳定值，就是事件A的概率，记作（A）。频率是概率的近似值，概率（A）也有着频率类似的特征：

①0≤（A）≤1

②（φ）=0，（）=1

③当A1，A2，…，Am互不相容时，有（

k1UmAk）=（Ak）

k1m7. 理论上，具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：

（1）有限性：基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点； （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相同。

设事件A中所含样本点个数为r，样本空间中样本点总数为n，则有

A中样本点数rrA所包含的基本事件数

（A）== （A）==

中样本点总数基本事件总数nn由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列性质： ①0≤（A）≤1

②（φ）=0，（）=1

③当A与B互不相容时，有（A∪B）= （A）+ （B） 这个性质可以推广：当A1，A2，…Am互不相容时，有（当A1，A2，…，Am，…互不相容时，有（2017.10单

k1Um，其中m是正整数。 Ak）=（Ak）

k1mk1UAk）=（Ak）

k1

解：总共有C2种结果，其中1个号码是3、另1个号码大于3的结果有C1，则概率为4 74218. 设是随机试验E的样本空间，对于E的每个事件A赋予一个实数，记为（A），称（A）为事件A的概率。

①（A）≥0； ②（）=1；

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③设A1，A2，…，Am，…是一列互不相容的事件，则有（由概率的定义可以得到一些重要性质： （1）0≤（A）≤1，（φ）=0

k1UAk）=（Ak）

k1（2）对于任意事件A，B有，（A∪B）= （A）+ （B）-（AB） 特别地，当A与B互不相容时，（A∪B）= （A）+ （B）

推广：对于任意事件A，B，C有，（A∪B∪C）= （A）+ （B）+ （C）-（AB）-（AC）-（BC）+（ABC）

2018.4填解一：（解二：（ =0.8+0.4-0.8×0.4=1.2-0.32=0.88 A∪B）=（A）+（B）-（AB）=（A）+（B）-（A）（B） A∪B）=（AB）=1-（AB）=1-0.2×0.6=1-0.12=0.88 132017.10填解：因为（A∪B）= （A）+ （B）-（AB），所以（AB）=4，则1-（AB）=4 2017.10计+ （B）-（A）（B）=0.9-0.18=0.72 （2）由A与B互不相容可知A与B不能同时发生，即（AB）=0，则（A∪B）=1-0.9=0.1 2017.4填（3）（B-A）=（B）-（AB） 特别地，当AB时，（B-A）=（B）-（A），且（A）≤（B） 2018.4单解：（B-A）=（B）-（AB）=（B）-（A）（B丨A）=0.28 2018.4填 （AB） （A） 1 =3 解：（1）由A与B相互独立得（AB）=（A）（B），则（A∪B）= （A）+ （B）-（AB）=（A）B）=（AB）=1-（A 解：（A∪B）= （A）+ （B）-（AB）=（A）+ （B）-（A）（B丨A）=0.7 解：由于（A-B）=（A）-（AB），所以（AB）=0.2，则（B丨A）=2017.10单（4）（A）=1-（A） 解：由于BA，所以（AB）=（B）=0.2，故（A-B）=（A）-（AB）=（A）-（B）=0.1 （5）对任意两事件A，B有，（A）=（AB）+（AB），（B）=（AB）+（AB）

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9. （补充1）从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列（考虑元素次序），称此为一个排列，此种排列的总数记为Ar。

nArn=n×（n-1）×…. ×（n-r+1）=

n!

(nr)!当r=n时，则称为全排列，排列总数为An=n！

n从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取一个，如此连续取r次所得的排列称为可重复排列，此种排列总数共有nr个。 注：这里的r允许大于n。

10. （补充2）从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素并成一组（不考虑元素间的次序），称此为一个组

nn合，此种组合的总数记为Cr或（r）。

nCrn=（r）=

Arnr!

=

n! 并有0！=1，C0=1

nr!(nr)!Crn=

n!n!==Cnr 特别的，Cn=C0=1

nnnr!(nr)!(nr)![n-(n-r)!] 332017.10填解：｛X≥2｝=C20.52（1-0.5）3-2+C30.53（1-0.5）3-3=0.5 2017.4填解：=C2/C2=45 10212017.4计解： 11. 已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为B条件下事件A的条件概率，记作（A丨B）。 设A，B是两个事件，且（B）>0，称（A丨B）=

（AB） （B）

为在事件B发生条件下事件A发生的条件

概率。2018.4单2018.4填

计算条件概率有两个基本的方法：（1）用定义计算；（2）在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算。 ①0≤（A丨B）≤1 （丨B）=1 （φ丨B）=1 ②若A与B互不相容，则（A∪B丨C）=（A丨C）+（B丨C） ③（A丨B）=1-（A丨B）

概率的乘法公式： 乘法公式的作用在于利用条件概率计算积事件的概率。 当（A）>0时，有（AB）=（A）（B丨A）

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当（B）>0时，有（AB）=（B）（A丨B）

设（AB）>0，则（ABC）=（A）（B丨A）（C丨AB） 12. 设事件A1，A2，…，An是满足如下两个条件： A1，A2，…，An互不相容，且（Ai）>0，i=1,2，…n；

A1∪A2∪…∪An=，即A1，A2，…，An至少有一个发生，则称A1，A2，…，An为样本空间的一个划分。 当A1，A2，…，An是的一个划分时，每次试验有且只有其中的一个事件发生。 全概率公式 注：全概率公式求的是无条件概率

设随机试验对应的样本空间为，设A1，A2，…，An是的一个划分，B是任意一个事件，则

（B）=

证明 B=B=B（

nni1n（Ai）（B丨Ai）

UAi）=U （AiB）

i1i1由于A1，A2，…，An互不相容，而BAi Ai，故A1B，A2B，…，AnB也互不相容，则 （B）=（ ）=

U（AiB）

ni1i1n（AiB）=

i1n（Ai）（B丨Ai） 注：此处用到概率的乘

法公式。

当0<（A）<1时，A与

A就是的一个划分，又设B为任一事件，则全概率公式的最简单形式为

（B）=（A）（B丨A）+（A）（B丨A）

全概率公式的最简单形式可以郑明彩票中奖的机会是均等的，都是1，即“抽签公平性”。

n13. 贝叶斯公式 注：贝叶斯公式求的是条件概率

设A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，B是任一个事件，且（B）>0，则 （Ai丨B）=

（Ai）（B丨Ai）

（B）

=

（Ai）（B丨Ai）

ni1，i=1,2，…n

（Ai）（B丨Ai）

在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概率公式求出（B）。 巧记忆：

把事件B看成“结果”，把诸事件A1，A2，…，An看成导致这一结果的“原因”，则概率（B丨Ai）为原因Ai导致结果B发生的概率，而（Ai）为原因Ai发生的概率。这样，可形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，贝叶斯公式则是“由结果推原因”。

14. 事件A与事件B之间没有必然的联系，其中任一事件发生与否，都不影响另一个事件发生的可能性，A与B是相互独立的。

两个事件的独立

若（AB）=（A）（B），则称A与B相互独立，简称A，B独立。事件的独立性有下列性质： （1）设（A）>0，则A与B相互独立的充分必要条件是（B）=（B丨A）; 设（B）>0，则A与B相互独立的充分必要条件是（A）=（A丨B）;

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（2）若A与B相互独立，则A与B,A与B，A与B都相互独立。

一般地，以上四组中，只要有一组相互独立，另外三组也各自相互独立。在实际应用中，对于事件的独立性，往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来判断的。若事件A（或B）的发生与否对事件B（或A）的概率不产生影响，则A与B相互独立。

2017.4填多个事件的独立

设A，B，C为3个事件，若满足（AB）=（A）（B），（AC）=（A）（C），（BC）=（B）（C），则称A，B，C两两独立。

A，B，C独立必有A，B，C两两独立，但反之不然。

设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意整数k（1≤k≤n）和任意k个整数1≤i1< i2<…< ik≤n，有

（Ai1 Ai2…Aik）=（Ai1）（Ai2）…（Aik）

则称A1，A2，…，An相互独立，简称A1，A2，…，An独立。

事件的独立性是概率论的一个重要概念，利用独立性可简化概率的计算。

对于n个相互独立事件A1，A2，…，An，其和事件A1∪A2∪…∪An的概率可以通过下式计算：

解：2×2=4 111∪An）=1-（A1（A1∪A2∪…∪An）=1-（A1∪A2∪…2018.4填 A2…An）=1-（A1）（A2）…（An）解：2×2=4 1112018.4填

15. 试验只有两个结果A和

试验，此类试验的概率模型称为贝努利概型。

解：0.05×0.06=0.003

A，而且（A）=p，0在n重贝努利试验中，设每次试验中事件A的概率为p（0n（k）=Ckpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n

n若记q=1-p，则n（k）=Ckpkqn-k，由于Ckpkqn-k恰好是（p+q）n的展开式中的k+1项，所以称此公

nn式为二项概率公式。

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