例谈配凑法在计算和不等式中的应用

例谈配凑法在计算和不等式中的应用

所谓配凑法就是在解题过程中，对某些数学题同时给式子的分子、分母乘以同一个不等于零的式子，或者给式子左右加减同一个式子，或者有目的地编造一个式子，使要解证的式子能出现某种特定的形式，或具有某种特性，使问题向特定的方向转化，最后到问题的解决，配凑法是一种启发思维的好方法。高中数学知识模块中多次出现配凑法的应用，现总结如下： 一、计算中的配凑

（一）复数运算中“添加”配凑 例1.=

分子分母分别乘以-i，即可约去5-4i ，最后结果为。 （二）组合数计算“变换”配凑 例2.计算1！+2·2！+3·3！…+n·n！

分析：∵n·n！可以拆分成：（n+1）！-n！，∴各项均可裂项： 原式=2！-1！+3！-2！+4！-3！+…（n+1）！-n！=（n+1）！-1 （三）二项式定理展开式“逆用”配凑 例3.=

解析：逆用二项式定理展开式上式可以变形（3-1）n，即2n。 二、不等式中的配凑 （一）不等式求最值

（2011重庆高考）若f（x）=x+（x＞2）在x=a处取得最小值，则a= c

a.1+ b.1+ c.3 d.4

解析：∵x＞2，即x-2＞0，利用基本不等式求最值，需满足“一正二定三相等”，可通过“添加”-2，变形为x-2++2≥4，当且仅当x-2=，即x=3时，f（x）取得最小值4。由（a＞0，b＞0）推广到（a＞0，b＞0，c＞0）

三个数的基本不等式同样遵循“一正二定三相等”，在解题过程中为了使得其满足“定值”，同样需要“配凑”系数，已达到解题目的。

（二）不等式证明，配凑在“均值” 例4.已知a、b∈r+，求证：+≥

分析：当a、b∈r+，可以想到使用均值定理，利用以下配凑； 法一：添加：两边同加，即证：+++≥2（）

∵左边≥2+2=右边，当且仅当=且=即a=b时“=”成立 。 ∴原不等式成立。

法二：添加：两边同乘，即证：（+）（）≥（）2 左边=+a+b≥2+a+b=右边，当且仅当即a=b时“=”成立 ∴原不等式成立；

例5.已知a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c=1，求证： （1）a2+b2+c2≥；（2）≤

证明：（1）∵a+b+c=1，可以将1均分给a、b、c，则a2、b2、c2各自配凑，即证：a2++b2++c2+≥+，利用重要不等式及不等式的

可加性：

a2+≥a① b2+≥b② c2+≥c③ ①+②+③则a2++b2++c2+≥+成立。

（2）给a、b、c各自配凑，即证≤=1，利用均值不等式及不等式的可加性：

≤① ≤② ≤③ ①+②+③则≤=1，原不等式得证。 （三）数学归纳法证明不等式

例6.数学归纳法证明：x2n-y2n（n∈n*）能被x+y整除。 采用“添加”的思想： 10.n=1时，x2-y2能被x+y整除； 20.假设n=k（k∈n*）时，x2k-y2k能被x+y整除， 则n=k+1时，x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k-x2y2k+x2y2k=x2（x2k-y2k）+y2k（x2-y2）

∴x2n-y2n（n∈n*）能被x+y整除 综上所述，x2n-y2n（n∈n*）能被x+y整除 参考文献：

1.《高中课程标准实验教科书数学》（必修4）+（选修2-2，2-3）+选讲（4-4，4-5）人民教育出版社. 2.《2012年成才之路》.人民日报出版社. 3.《红对勾讲与练》.中国教育电视台合作伙伴.