一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ） A． 线段 B． 角 C． 等腰三角形 D． 直角三角形 2．当分式
的值为零时，x的值为（ ）
A． 0 B． 2 C． ﹣2 D． ±2
3．若等腰三角形的两内角度数比为1：4，则它的顶角为（ ）度． A． 36或144 B． 20或120 C． 120 D． 20
4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A． a（x+y）=ax+ay B． x﹣4x+4=x（x﹣4）+4
22
C． 10x﹣5x=5x（2x﹣1） D． x﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
5．下列计算错误的是（ ）
A． 5a﹣a=4a B． （ab）=ab
325mnm+n
C．（a﹣b）（b﹣a）=（a﹣b） D． 2•3=6
6．已知x=6，x=3，则的x
m
n
2m﹣n
3
3
3
2
3
63
2
值为（ ）
A． 9 B． C． 12 D． 7．若代数式
的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣ B． x＜﹣ C． x＞﹣ D． x
8．一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为（ ）
A． 6天 B． 8天 C． 10天 D． 7.5天
9．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（ ）
A． 45° B． 50° C． 55° D． 60°
10．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时， ∠OPM=50°，则∠AOB=（ ）
A． 40° B． 45° C． 50° D． 55° 二、填空题：（每题3分，共18分）
11．若x﹣y=5，xy=6，则xy﹣xy= ．
12．计算：（2m+3n）（3n﹣2m）= ．
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若∠A=30°，BD=1，则AD= ．
2
2
14．若
15．观察：l×3+1=2
2
2×4+1=3
2
3×5+1=4
2
4×6+1=5…，
请把你发现的规律用含正整数n（n≥2）的等式表示为 （n=2时对应第1个式子，…）
16．在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），D在第一象限，且DO=DB，△DOA为等腰三角形，则∠OBD的度数为 ．
三、解答题（共72分） 17．解分式方程：
．
2
，则= ．
18．（1）分解因式：（p﹣4）（p+1）+3p
（2）利用因式分解计算：755﹣255．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
2
2
（1）求∠DAC的度数； （2）求证：DC=AB．
20．计算 （1）
（2）
．
21．已知x+=4，求（1）x+
2
；（2）（x﹣2）．
2
22．某次动车平均提速50km/h．用相同的时间，动车提速前行驶150km，提速后比提速前多行驶50km，求动车提速后的平均速度．
23．如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD=DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．
24．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
25．四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N．交直线AB于E、F两点，
（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；
（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系 ；
（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．
2014-2015学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ） A． 线段 B． 角 C． 等腰三角形 D． 直角三角形
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念求解．
解答： 解：线段、角、等腰三角形一定为轴对称图形， 直角三角形不一定为轴对称图形． 故选D．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．当分式
的值为零时，x的值为（ ）
A． 0 B． 2 C． ﹣2 D． ±2
考点： 分式的值为零的条件． 专题： 计算题．
分析： 要使分式的值为0，必须使分式分子的值为0，并且分母的值不为0． 解答： 解：∵|x|﹣2=0， ∴x=±2，
而x=﹣2时，分母x﹣2=﹣2﹣2=﹣4≠0； x=2时分母x﹣2=0，分式没有意义． 故选C．
点评： 要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
3．若等腰三角形的两内角度数比为1：4，则它的顶角为（ ）度． A． 36或144 B． 20或120 C． 120 D． 20
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 设两个角分别是x，4x，根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶角的度数．
解答： 解：设两个角分别是x，4x
①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x=180°，解得x=30°，4x=120°，即底角为30°，顶角为120°；
②当x是顶角时，则x+4x+4x=180°，解得x=20°，从而得到顶角为20°，底角为80°； 所以该三角形的顶角为20°或120°．
故选：B．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．已知中若有比出现，往往根据比值设出各部分，利用部分和列式求解．
4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A． a（x+y）=ax+ay B． x﹣4x+4=x（x﹣4）+4
22
C． 10x﹣5x=5x（2x﹣1） D． x﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
考点： 因式分解的意义． 专题： 因式分解．
分析： 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 解答： 解：A、是多项式乘法，故A选项错误；
B、右边不是积的形式，x﹣4x+4=（x﹣2），故B选项错误； C、提公因式法，故C选项正确；
D、右边不是积的形式，故D选项错误； 故选：C．
点评： 这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
5．下列计算错误的是（ ）
A． 5a﹣a=4a B． （ab）=ab
325mnm+n
C． （a﹣b）（b﹣a）=（a﹣b） D． 2•3=6
考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 分析： 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
解答： 解：A、5a﹣a=4a，计算正确，故本选项错误；
2363
B、（ab）=ab，计算正确，故本选项错误；
325
C、（a﹣b）（b﹣a）=（a﹣b），计算正确，故本选项错误；
mnm+n
D、2•3≠6，计算错误，故本选项正确． 故选D．
点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
6．已知x=6，x=3，则的x
m
n
2m﹣n
3
3
3
3
3
3
2
3
63
2
2
2
值为（ ）
A． 9 B． C． 12 D．
考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可． 解答： 解：∵x=6，x=3， 2m﹣nm2n2
∴x=（x）÷x=6÷3=12． 故选C．
点评： 本题考查了同底数的幂的除法，幂的乘方的性质，把原式化成（x）÷x是解题的关键．
m
2
n
m
n
7．若代数式
的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣ B． x＜﹣ C． x＞﹣ D． x
考点： 分式的值． 专题： 计算题．
分析： 根据分式的值为负数，求出x的范围即可． 解答： 解：根据题意得：解得：x＜﹣．
＜0，即5x+2＜0，
故选B．
点评： 此题考查了分式的值，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
8．一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为（ ）
A． 6天 B． 8天 C． 10天 D． 7.5天
考点： 分式方程的应用． 专题： 工程问题． 分析： 首先设工作总量为1，未知的规定日期为x．则甲单独做需x+1天，乙队需x+4天．由工作总量=工作时间×工作效率这个公式列方程易求解．
解答： 解：设工作总量为1，规定日期为x天，则若单独做，甲队需x+1天，乙队需x+4天，根据题意列方程得 3（
+
）+
=1，
解方程可得x=8，
经检验x=8是分式方程的解， 故选B．
点评： 本题涉及分式方程的应用，难度中等．考生需熟记工作总量=工作时间×工作效率这个公式．
9．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（ ）
A． 45° B． 50° C． 55° D． 60°
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 首先连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易证得AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，继而求得答案． 解答： 解：连接AC，
∵MN是AE的垂直平分线， ∴AC=EC， ∴∠CAE=∠E，
∵AB+BC=BE，BC+EC=BE， ∴AB=EC=AC， ∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E， ∴∠B=2∠E，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣4∠E， ∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°， 解得：∠E=25°， ∴∠B=2∠E=50°． 故选B．
点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（ ）
A． 40° B． 45° C． 50° D． 55°
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．
解答： 解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O， ∵PP1关于OA对称，
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50° 同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP， ∴△P1OP2是等腰三角形． ∴∠OP2N=∠OP1M=50°，
∴∠P1OP2=180°﹣2×50°=80°， ∴∠AOB=40°， 故选A．
点评： 本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P1OP2是等腰三角形是解题的关键．
二、填空题：（每题3分，共18分） 11．若x﹣y=5，xy=6，则xy﹣xy= 30 ．
考点： 因式分解-提公因式法．
分析： 将原式首先提取公因式xy，进而分解因式，将已知代入求出即可． 解答： 解：∵x﹣y=5，xy=6，
∴xy﹣xy=xy（x﹣y）=6×5=30． 故答案为：30．
点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
12．计算：（2m+3n）（3n﹣2m）= 9n﹣4m ．
考点： 平方差公式． 专题： 计算题．
分析： 先整理得到原式=（3n+2m）（3n﹣2m），然后利用平方差公式计算． 解答： 解：原式=（3n+2m）（3n﹣2m） =9n﹣4m．
22
故答案为9n﹣4m．
22
点评： 本题考查了平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a﹣b．
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若∠A=30°，BD=1，则AD= 3 ．
2
2
2
2
2
2
2
2
考点： 含30度角的直角三角形．
分析： 求出∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案．
解答： 解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵CD是高， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD=30°， ∵BD=1， ∴BC=2BD=2，
∵在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC=4，
∴AD=AB﹣BD=4﹣1=3， 故答案为：3．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是得出BC=2BD和AB=2BC，难度适中． 14．若
，则
= 7 ．
考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．
分析： 已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到x﹣y=2xy，原式变形后代入计算即可求出值． 解答： 解：∵﹣=∴x﹣y=2xy， 则原式=
=
=7．
=﹣2，
故答案为：7
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．观察：l×3+1=2
2
2×4+1=3
2
3×5+1=4
2
4×6+1=5…，
2
请把你发现的规律用含正整数n（n≥2）的等式表示为 （n﹣1）（n+1）+1=n（n≥2，且n为正整数） （n=2时对应第1个式子，…）
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 观察不难发现，比n小1的数与比n大1的数的积加上1的和等于n的平方，依此可以求解．
2
解答： 解：n=2时，l×3+1=2，即（2﹣1）（2+1）+1=2，
22
n=3时，2×4+1=3，即（3﹣1）（3+1）+1=3，
22
n=4时，3×5+1=4，即（4﹣1）（4+1）+1=4，
22
n=5时，4×6+1=5，即（5﹣1）（5+1）+1=5， …
n=n时，（n﹣1）（n+1）+1=n，
2
故答案为（n﹣1）（n+1）+1=n（n≥2，且n为正整数）．
点评： 此题主要考查了数字变化规律，根据已知数据得出数据的变与不变是解题关键．
16．在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），D在第一象限，且DO=DB，△DOA为等腰三角形，则∠OBD的度数为 75° ．
考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
分析： 根据△DOA为等腰三角形，分三种情况：①OD=AD；②OD=OA③OA=OD分别求得各边的长度，再利用三角函数即可得出答案． 解答： 解：如图，
∵D在第一象限，且DO=DB，△DOA为等腰三角形， ∴点D分三种情况：①OD1=AD1；②OD2=OA；③OA=OD3； ∴∠OBD1=45°， ∠OBD2=60°，
∠OBD3=15°+60°=75°， 故答案为：75°
2
22
点评： 本题考查了等腰三角形的判定以及坐标与图形的性质，熟练利用等腰三角形的性质是解题关键．
三、解答题（共72分） 17．解分式方程：
．
考点： 解分式方程． 专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x﹣1+2x+2=7，
移项合并得：3x=6， 解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18．（1）分解因式：（p﹣4）（p+1）+3p （2）利用因式分解计算：755﹣255．
考点： 因式分解的应用．
分析： （1）首先利用整式的乘法计算，进一步整理后分解因式即可； （2）利用平方差公式因式分解计算即可．
解答： 解：（1）原式=p﹣3p﹣4+3p 2
=p﹣4 =（p+2）（p﹣2）；
（2）原式=（755+255）×（755﹣255） =1010×500 =505000．
点评： 此题考查因式分解的运用，掌握平方差公式是解决问题的关键．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°． （1）求∠DAC的度数； （2）求证：DC=AB．
2
2
2
考点： 等腰三角形的性质． 专题： 计算题．
分析： （1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°； （2）根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论． 解答： （1）解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°， ∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；
（2）证明：∵∠DAB=45°， ∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°， ∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC， ∴DC=AB．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
20．计算 （1）
（2）．
考点： 分式的加减法；分式的乘除法． 专题： 计算题．
分析： （1）原式约分即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 解答： 解：（1）原式=
•
=2；
（2）原式=+==．
点评： 此题考查了分式的加减法，以及分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．已知x+=4，求（1）x+
2
；（2）（x﹣2）．
2
考点： 分式的混合运算；完全平方公式． 专题： 计算题．
分析： （1）原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 解答： 解：（1）把x+=4两边平方得：（x+）=x+
2
2
2
2
+2=16，即x+
2
=14；
（2）把x+=4，去分母得：x﹣4x+1=0，即x﹣4x=﹣1，
原式=x﹣4x+4=﹣1+4=3．
点评： 此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．某次动车平均提速50km/h．用相同的时间，动车提速前行驶150km，提速后比提速前多行驶50km，求动车提速后的平均速度．
考点： 分式方程的应用．
2
分析： 设动车提速后的平均速度为xkm/h，则提速前的平均速度为（x﹣50）km/h，根据相同的时间，动车提速前行驶150km，提速后比提速前多行驶50km，列方程求解．
解答： 解：设动车提速后的平均速度为xkm/h，则提速前的平均速度为（x﹣50）km/h， 由题意得，
=
，
解得：x=200，
经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意． 答：动车提速后的平均速度为200km/h．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
23．如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD=DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： （1）利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 解答： （1）证明：如图1，过点P作PF∥BC交AC于点F； ∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ， ∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ， 在△PDF和△QDC中， ∵
，
∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ；
（2）解：如图2，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=2， ∴DE=1．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 24．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
考点： 四边形综合题． 专题： 压轴题．
分析： （1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在
中点时构成的四边形ABDC
就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数． 解答： 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD为等腰三角形， ∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC，
如图4，当AD=AC时， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠BAD=90°， ∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°． 如图5，当AD=CD时， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°
如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=AD，∠ACE=∠DCE． ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四边形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF=BC， ∴∠BCF=30°． ∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°， ∴∠BCD=15°×3=45°．
点评： 本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键． 25．四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N．交直线AB于E、F两点，
（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；
（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系 MN=BM﹣AN ；
（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 几何综合题． 分析： （1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；
（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；
（3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB﹣AE﹣GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长． 解答： （1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ， 则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD﹣∠MDN=120°﹣60°=60°， ∴∠QDN=∠MDN=60°， ∵在△MND和△QND中，
，
∴△MND≌△QND（SAS）， ∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN， ∴BM+AN=MN；
（2）MN+AN=BM．
理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP， 则DN=DP，AN=BP， ∵∠DAN=∠DBP=90°， ∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB﹣∠ADM﹣∠BDP=120°﹣∠ADM﹣∠ADN=120°﹣∠MDN=120°﹣60°=60°， ∴∠MDP=∠MDN=60°， ∵在△MND和△MPD中，
，
∴△MND≌△MPD（SAS）， ∴MN=MP， ∵BM=MP+BP， ∴MN+AN=BM；
（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴△BMG是等边三角形， ∴BM=MG=BG，
根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND， 根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN， ∴∠MND=∠MHN， ∴MN=MH，
∴GH=MH﹣MG=MN﹣BM=AN， 即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，
，
∴△ANE≌△GHE（AAS）， ∴AE=EG=1， ∵AC=5， ∴AB=AC=5，
∴BG=AB﹣AE﹣EG=5﹣1﹣1=3， ∴BM=BG=3．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点．
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