考点12 基本不等式(新高考地区专用)(解析版)

知识理解

一．基本不等式公式

1.aR,bR,a2b22ab，当且仅当ab取“=”2.a0,b0,ab2ab,当且仅当ab取“=”二．几个重要结论 a2＋b2a＋b2(1)≥

22 ba

(2)＋≥2(ab>0)． aba＋b

(3)ab≤≤ 2

a2＋b2

(a>0，b>0) 2

三．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

4

p2

考向分析

考向一 公式的直接运用

【例1（2020·辽宁高三期中）已知a0，那么aA．1 【答案】C

【解析】根据题意，a0，则a故选：C.

1 / 20

4的最小值是（ ） aD．5

B．2 C．4

4442a4，当且仅当a2时等号成立，即a的最小值是4；

aaa

【方法总结】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【举一反三】

1．（2020·河北高三月考）已知正数a，b满足ab1，则4a9b的最小值为_______. 【答案】12

4a9b32【解析】因为4a9b24a9b23612.当且仅当，即a，b时取等号，

23ab1所以4a9b的最小值为12，故答案为：12

2．(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 。 【答案】9

【解析】因为x＋y＝18，所以xy≤

x＋y2

＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．

1

3．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋的最小值为( )

aA．4 C．6 【答案】6

1

【解析】因为a>0，所以9a＋≥2

B．5 D．7

a1111

9a× ＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，9a＋取得最小值6.

aa3a考向二 配凑型

【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）当0x4时，则yx(82x)的最大值为（ ） A．2

B．4

C．6

D．8

（2）（2020·全国高三专题练习）函数y3xA．4 C．23 1(x1)的最小值是（ ） x1B．233 D．233

2 / 20

（3）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）若正数a，b满足a1，b1，且ab3，则的最小值为（ ） A．4

B．6

C．9

D．16

14a1b11x22x1(4)（2021·全国高三专题练习）已知f(x)＝，则f(x)在,3上的最小值为（ ）

2xA．

1 2B．

4 3C．－1

【答案】（1）D（2）D（3）C(4)D

D．0

【解析】（1）∵0x4，82x0，2y2x(82x)[2x(82x)2]16，

2当2x82x，即x2时等号成立，∴y8，即最大值为8，故选：D. （2）因为x1，所以y3x111323x13233，当且仅当x1x13x1D.

113(x1)的最小值是233.故选：，即x1时等号成立.所以函数y3xx1x13(3)由ab3，可得a1b11，a10,b10，

所以

144b14(a1)1a1b15 a1b1a1b1a1b152b14(a1)9 a1b154,a时等号成立.故选：C 33当且仅当b12(a1)，即b11x22x1(4)f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

xxx11,3又1∈，所以f(x)在,3上的最小值是0.故选：D 22 3 / 20

【方法总结】 1. 一般两个因式相加时，两个因式未知数部分（不含系数）成为倒数关系 2. 一般两个因式相乘时，两个因式因式部分成相反数（含系数）关系 【举一反三】

1．（2020·全国高三专题练习）设0x2，则函数yx(42x)的最大值为（ ）

D．2

A．2 【答案】D

B．

2 2C．3 【解析】0x2，42x0，

112x42x1x(42x)2x(42x)42，当且仅当2x42x，即x1时，等号

2222成立，即函数y2x(42x)的最大值为2.故选：D

4，则y的取值范围为（ ） x2B．(,4][4,) C．(,2][2,) D．[2,)

2．（2020·全国高三专题练习）已知yxA．(,6][2,) 【答案】A 【解析】yx44(x2)2， x2x2若x20，则(x2)442(x2)4，x2时等号成立； x2x2442(x2)4，x4时等号成立 x2x2若x20，则(x2)∴y的取值范围为(,6][2,)，故选：A. 3．若0x【答案】

1，则x13x取最大值时x的值是 。 31 61【解析】x(13x)3x(13x)

30x1113x13x2111()， ，13x0，由基本不等式得x(13x)3x(13x)33323412 4 / 20

当且仅当3x13x，即6x1，xx(13x)取最大值时x的值是x1时取等号， 61． 64．若a，b都是正数，且ab2，则a1b1的最大值为 。 【答案】4

【解析】由题意，可知：

a1b1211(a1)(b1)4，当且仅当a1b1即ab1时取等号；

2222考向三 条件型

【例3】（1）（2020·全国高三专题练习）已知x0，y0，且xy1，则

34的最小值为（ ）． xyA．723 B．743 C．763 D．783 （2）（2020·全国高三专题练习）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( ) A．

24 5B．

28 5C．5 D．6

【答案】（1）B（2）C

【解析】（1）∵x0，y0，且xy1，

∴

34343y4x3y4x()(xy)772743， xyxyxyxy3y4x，即x323,y423时等号成立， xy当且仅当

34∴的最小值为743.故选：B． xy（2）由已知可得

31319412y3x13121，则3x4y()(3x4y)5，所以5x5y5x5y555x5y553x4y的最小值5，应选答案C．

【方法总结】 问题与条件一个为整式，一个为分式，整式未知数部分配成分式分母相同 5 / 20

【举一反三】

1．（2020·东莞市东华高级中学高三月考）已知m0,n0,mn6，则A．42 【答案】D

【解析】因为m0，n0，mn6，

B．4

C．6

D．3

28的最小值是（ ） mn2812812n8m(mn)()(10)3， mn6mn6mn2n8m当且仅当，即m2，n4时取等号.故选：D mn所以

2．（2020·河北沧州市·高三期中）若mn0，mn3，则A．2 【答案】D

【解析】因为mn0，mn3，所以

B．6

C．9

14的最小值为（ ） mnD．3

141n4m141(mn)5 mn3mnmn31n4mn4m523．当且仅当，即m1，n2时取等号.故选：D. 3mnmn3．（2020·全国高三专题练习）已知向量ax,2，b=1,y且x,y为正实数，若满足ab2xy，则

3x4y的最小值为（ ）

A．526 C．46 【答案】A

【解析】由题意得abx2y2xyB．56 D．43 111，因为x，y为正实数，则2yx113x4y3x4y(3x4y)1(3x4y)3252526，

2yx2yx2yx当且仅当

3x4y3626，即x时取等号.故选：A. ,y2yx344．（2020·河津中学高三月考）设x，y为正实数，满足2x4yxy0，则目标函数x2y的最小值

6 / 20

为（ ） A．4 【答案】C

B．32

C．16

D．0

42yx2x4yxy0【解析】由，为正实数，满足，可得1，

xy所以x2yx2y428y2x8y2x88282416，

xyxyxy8y2xxyx8当且仅当，即时等号成立，故x2y的最小值为为16．故选：C

y4421xy考向四 换元型

【例4】（2020·通榆县第一中学校高三月考）已知正数x，y满足xy12，则2xy的最小值为（ ） A．4 【答案】B

【解析】由题意，得x0，y1．

法一：2xy2xy1122xy115，当且仅当2xy1，即x1，y3时，2xy的最小值为5．

法二：由xy12，得xB．5

C．6

D．8

244y112y115，当且仅当，则2xyy1y1y12xy1，即x1，y3时，2xy的最小值为5．故选：B．

【举一反三】

1．（2021·天津市）已知2xyy10x,y0，则

2xy的最小值为（ ） xD．82 A．42 【答案】C

B．8 C．9

【解析】由2xyy10可得xy1，x,y0，可得y1 2y 7 / 20

则

2xyx2y124yy4y44y15

y1y1y1y12y44y1，即y3时取得等号.故选：C y159 当且仅当

y1y11的最小值为______. y2．（2020·重庆市江津中学校高三期中）已知x，y0，且2xy1，则x【答案】

12 21y， 2【解析】由2xy1得x所以x11y1y1112当且仅当y22，即y2且x12时取得等号. y2y2y22212 22故答案为：

3．若正实数x，y满足y2xy10，则x2y的最小值为______. 【答案】3 1y2【解析】由y2xy10可得x

2y21y2111313x2y2yy2yy2y3

2y2y22y22y2当且仅当y3时，等号成立.则x2y的最小值为3故答案为：3 3考向五 求参数

【例5】（2020·全国高三专题练习）已知a0，b0，若不等式为（ ） A．10 【答案】D

【解析】由已知a0，b0，若不等式

B．12

C．16

41m恒成立，则m的最大值ababD．9

41m41恒成立，所以m(ab)恒成立， ababab 8 / 20

转化成求y故选：D． 【举一反三】

41414ba4ba(ab)的最小值，y所以m9． (ab)5529，abababab1．（2020·全国高三专题练习）若x0，则xA．a80 【答案】B

【解析】因为x0，由基本不等式xB．a80

2020a恒成立的一个充分条件是（ ） xD．a90

C．a90

202020202x4505， xx当且仅当x所以x20202020a恒成立，则a4505， 即x2505时，取等号，要使得xxx2020a恒成立的一个充分条件是a80故选：B x2．（2020·河北高三月考）已知x0，y0，且x4yxy0，若不等式axy恒成立，则a的取值范围是（ ） A．,6 【答案】D

【解析】∵x4yxy0，∴

B．,7

C．,8

D．,9

411， xy∴xy(xy)41x4y5． xyyx∵x0，y0，∴

x4yx4y24 yxyx（当且仅当

x4y，即x2y6时取等号），∴x+y549a．故选：D yx3．（2020·江苏淮安市·高三期中）已知x>0，y>0，且x+3y=xy，若t2﹣t≤x+3y恒成立，则实数t的取值范围是___________. 【答案】3,4

 9 / 20

【解析】因为x3yxy，所以

311， xy所以x3y(x3y)319yx9yx66212， xyxyxy当且仅当x6,y2时，等号成立，

因为ttx3y恒成立，即t2t12，解得3t4. 所以实数t的取值范围是3,4. 故答案为：3,4.

4．（2020·全国高三专题练习）若对任意x0，【答案】a2xa恒成立，则a的取值范围是_____． 2x3x11 5【解析】

x0，

x1111x23x1x135，当且仅当x，即x1时等号成立， 12x3xxxa11.故答案为：a. 55强化练习

1．（2020·全国高三专题练习）已知yxA．(,4][4,) B．(,2] 【答案】A

【解析】函数的定义域为,00,， 若x0，yx4，则y的取值范围为（ ） xC．[0,)

D．[6,)

4442x4，当且仅当x，即x2时取等号；

xxx44x2xx若x0，yxx44x，当且仅当，即x2时取等号； 4xx 10 / 20

∴y的取值范围为(,4][4,).故选：A.

2．（2020·福建福州市·高三期中）已知m0，n0，m4n2，则A．36 【答案】C 【解析】

B．16

C．8

D．4

41的最小值为（ ） mnm0，n0，m4n2，41141116nm=m4n=8mn2mn2mn116nm16nm14182=8=m1,n的最小值为8.故选：，当且仅当时即时等号成立，故2mnmn4mnC.

3．（2021·全国高三专题练习）已知点(a,b)(a0,b0)在直线xy1上，则A．1 C．3 【答案】C

【解析】因为点(a,b)(a0,b0)在直线xy1上，所以ab1， 因为a0,b0所以等号，故选：C

4．（2020·河北张家口市·高三月考）已知0aA．6 【答案】D 【解析】∵0a1∴2a01，2a0 21a的最小值为（ ） abB．2 D．4

1ba1aabababa1213，当且仅当，即ab时取

ab2abababab141，则的最小值是（ ）

22a12aD．9

B．8 C．4

则41412a42a112a42a2a12a14529 2a12a2a12a2a12a2a12a当且仅当

12a42a1，即a时取等号故选:D. 2a12a661的最小值为（ ） ab5．（2020·河南郑州市·高三月考）已知正实数a，b满足3a2b1，则A．32 【答案】A

B．34

C．36

D．38

11 / 20

【解析】由a0，b0且3a2b1， 得

616112b3a12b3a3a2b18220232， abababab1a,12b3a614当且仅当，即a2b时，取等号，此时，则的最小值为32．故选：A. ababb1,86．（2020·全国高三专题练习）已知a0，b0，且a2b1，则

11的最小值为（ ） abA．322 【答案】A

B．342 C．362 D．382 【解析】∵a0，b0，∴

1111a2b(a2b)()12322， ababba当且仅当a21,b22，等号成立，所以最小值为322，故选：A. 27．（2020·山东菏泽市·高三期中）若正实数a，b满足ab1，则下列选项中正确的是（ ） A．ab有最大值1 4B．ab有最小值2 D．a2b2有最小值

C．

11有最小值4 ab2 2【答案】C

【解析】ab2ab当且仅当ab时等号成立，即abB中，若a1，故A错误； 418221,b，有ab2，即最小值不为2，错误； 993C中，

11ab4，正确； abab1214522,b，有a2b2，即最小值不为，错误；故选：C 3329992D中，若a

8．（多选）（2020·江苏南通市·高三期中）设正实数x，y满足x2y3，则下列说法正确的是（ ）

12 / 20

A．

y3的最小值为4 xyB．xy的最大值为

98C．x2y的最小值为6 【答案】ABD

【解析】因为x2y3

D．x4y的最小值为

229 2所以

yxy3yx2yyxyx2224，当且仅当，即xy1时等号成立，故A正xyxyxyxyxy

933，当且仅当x2y，即x,y时等号成立，故B正确 824确因为x2y32x2y，所以xy因为

x2y2x2y22xy322xy3222296， 82所以x2y的最大值为6，故C错误因为x4yx2y4xy94xy94正确故选：ABD

9．（多选）（2020·福清西山学校高三期中）若x0，y0，且A．xy有最大值64 C．xy有最小值18 【答案】BC

B．xy有最小值64 D．xy有最小值16．

99所以D82281，则（ ） xy828281 ，所以xy64，xy有最小值64，，即【解析】因为x0，y0，所以12xyxyxy故选项B正确，选项A不正确，

282y8x2y8xxyxy101021021618，

xyxyxy所以xy有最小值18，故选项C正确，选项D 不正确，故选：BC

10．（2020·全国高三专题练习）在ABC中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），若

ADmABnAC，则

A．4 【答案】B

14的最小值是（ ） mnC．8

D．13

B．9

13 / 20

【解析】

因为点D是线段BC上任意一点（不包含端点），所以BDtBC0t1， 则ADABBDABtBCABtACAB1tABtAC， 因为ADmABnAC，所以m1t，nt，所以mn1．因为0t1， 所以m0，n0，则等号成立． 故选：B

142144mn1mn5459，当且仅当m，n时，

3mn3mnnmx2y211．（2020·全国高三专题练习）已知xy0，xy1，则的最小值为（ ）

xyA．

1 2B．

3 2C．

5 2D．22 【答案】D

2222xyxy2xy2xyxy22【解析】xy1，， xyxyxyxyxy2xy0，xy0，由基本不等式可得xy22xyxy222， xy且当xy26262，即x，y时等号成立， xy22x2y2因此，的最小值为22. xy故选：D.

12．（2020·全国高三专题练习）若正实数x,y满足xy2，则A．1 【答案】A

2xy22【解析】由题意，正实数x,y满足xy2，则xy()1，

241的最小值为（ ） xyD．4

B．2 C．3

当且仅当xy1时，等号成立，即xy1，

14 / 20

所以

111，即的最小值为1.故选：A. xyxy21213．（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知x0，y0，且1，若x2ym2mxy恒成立，则实数m的取值范围是___． 【答案】4,2

【解析】x0，y0，且

211， xy21x4yx4y428， 则x2y()(x2y)4xyyxyx当且仅当x2y4时，上式取得等号， 若x2ym2m恒成立， 则m22m8， 解得4m2． 故答案为：4,2

2n满足14．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）已知正实数m、

【答案】9 【解析】 因为

111，则m4n的最小值为______. mn114nm4nm111，所以m4nm4n5529， mnmnmnnm4nm，即m2n3时等号成立，所以m4n的最小值为9. mn当且仅当

故答案为：9.

15．（2020·山东日照市·日照一中高三月考）已知x2yxyx0,y0，则2xy的最小值为______. 【答案】9

【解析】由x2yxy得：

211； xy 15 / 20

212x2y2x2y2xy2xy5529,

yxyxxy2x2y（当且仅当，即xy3时取等号）， yx2xy的最小值为9.

故答案为:9

116．（2020·江苏镇江市·高三期中）已知x,yR，且x2y2，则2的最小值为________.

4xy【答案】4

1【解析】2x2x22y，因为2x0,22y0，所以2x22y22x2y4，当且仅当x2y14时，取到最小值故答案为：4

17．（2020·广东佛山市·高三月考）已知x0，y0且【答案】16 【解析】

y191，求xy的最小值为______. xyx190，y0且1，

xy9xy199xy9xy，即y3x时取等号）xyxy1010216（当且仅当， yxyxyxxyxymin16.故答案为：16.

18．（2020·大荔县大荔中学高三月考）已知正数x,y满足【答案】25 【解析】

正数x,y满足

341，则x3y的最小值为________. yx341， yx343x12y3x12yx3yx3y132132121325，

xyxyxy当且仅当

3x12y，即x10,y5时等号成立， yx 16 / 20

x3y的最小值为25.

故答案为：25.

19．（2020·全国高三专题练习）已知A、B、P是直线l上三个相异的点，平面内的点Ol，若正实数x、

11y满足4OP2xOAyOB，则的最小值为_______.

xy【答案】

32 +42【解析】∵A、B、P是直线上三个相异的点，4OP2xOAyOB，即OP所以

xyOAOB， 24x1111xy3yxy3yx321，2， 44x2yxyxy242444x2y42当且仅当

yx，即x422，y424时取等号， 4x2y32. +42故答案为：

20．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）已知x0，y0，且4x2xyy0，则4xy的最小值为______. 【答案】8

【解析】由4x2xyy0，得

4xy211， 2xyy2x则4xy4xy218xy8xy4428，当且仅当x1，y4时等号成立. y2xy2xy2x因此，4xy的最小值为8. 故答案为：8.

21．（2020·福建高三期中）已知向量m(1,2),n(a,1-b)(a0,b0)，若m//n，则【答案】8

【解析】由m//n，m(1,2),n(a,1b)，所以即2a1b，即2ab1，且a0,b0，

12

的最小值为____． ab

1212b4ab4a(2ab)4428， abababab 17 / 20

当且仅当

1b4a，即b2a时取等号， ab2所以

12的最小值为：8 ab16

的最小值为________. ab

故答案为：8.

22．（2020·辽宁葫芦岛市·高三月考）正实数a，b满足3a+2b＝9，则【答案】3

【解析】因为3a+2b＝9，所以取等号. 故答案为：3

2223．（2020·全国高三专题练习（理））已知实数x，y满足xy1，则

16116118a2b(3a2b)()(312)3，当且仅当a＝1，b＝3时ab9ab9ba11的最小值

(xy)2(xy)2为__________． 【答案】2

【解析】令(xy)m，(xy)n，则mn2x2y2，

22221111111+()(mn) 22(xy)(xy)mn2mn1nm1nm(11)(22)2 2mn2mnnm即时mn取等号． mn且仅当

故答案为：2．

24．（2020·河西区·天津实验中学高三月考）ABC是等腰直角三角形，A90，BC满足DAAC，点E是BD所在直线上一点.如果CExCAyCB，则

2，点D11的最小值__________. xy【答案】

322 3【解析】由CADA知，D在边CA的延长线上，且A为CD的中点，

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因为点E是BD所在直线上一点， 且CExCAyCBxCDyCB， 2∴

xy1， 2∴

1111xyx3223yx3y2， xyxy2x2y22x2y22y时“”成立，

当且仅当x故答案为：

322. 325．（2020·任丘市第一中学高三月考）已知向量ma,1b，若mn，则nb,1(a0,b0)，的最小值为_________． 【答案】9

【解析】因为mn，所以mn0，即ab1b0，整理得：b又因为a0,b0，所以b14ba1， a110，解得：0a1. a1所以

11444a1a4a1a14ba1a14529 aa1aa1a1aa1aa当且仅当

14a1a，即a时等号成立. 1aa3故答案为：9.

26．（2020·全国高三专题练习）已知m0,n0,141，若不等式mnx24xa对已知的m,nmn及任意实数x恒成立，则实数a最大值为_________． 【答案】5

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141n4mmn149，【解析】mnmn5当且仅当，即m3,n6时，取等号，

mnmnnm4mn因为不等式mnx24xa对m,n恒成立， 所以x24xa9对任意实数x恒成立，

即ax24x9x225对任意实数x恒成立， 令tx2255，a5.故答案为：5

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