第9讲 不等式与不等式组(讲练)(解析版)

专题09不等式与不等式组

1.理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解. [来源:

2.理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的不等式变形，会解一元一次不等式.

3.理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式组.

4.能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题.

5.感受将实际问题抽象为不等式的过程，认识到不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模式，发展符号感.运用数形结合的方法直观理解不等式的基本思想.

6.通过用不等式解决实际问题，认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.

1．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）不等式2x6的解集是（ ） A．x3 【答案】A 【分析】

根据不等式的基本性质，不等号两边同时除以2即可得出答案． 【详解】

解:不等式两边同时除以2得：x≤3， 故选：A．

B．x3

C．x3

D．x3

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题关键在于熟练掌握不等式的性质，利用不等式的性质进行解题．

2．（2020·贵州贵阳市·中考真题）已知ab，下列式子不一定成立的是（ ） A．a1b1 【答案】D 【分析】

根据不等式的性质解答． 【详解】

解：A、不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1＜b−1，故本选项不符合题意；

B、 不等式a＜b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即2a2b，故本选项不符合题意；C、不等式a＜b的两边同时乘以不等式仍成立，即

B．2a2b

C．

11a1b1 D．mamb 22111，不等式仍成立，即：ab，再在两边同时加上1，22211a1b1，故本选项不符合题意； 22D、不等式a＜b的两边同时乘以m，当m>0，不等式仍成立，即mamb；当m<0，不等号方向改变，即mamb；当m=0时，mamb；故mamb不一定成立，故本选项符合题意， 故选：D． 【点睛】

本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 3．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于x的分式方程则k的取值范围是（ ） A．k12 【答案】A 【分析】

表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．

B．k≥12

C．k12

D．k12

xk4的解为非正数，x33x【详解】 解：方程

xk4两边同时乘以(x3)得：x4(x3)k， x33x∴x4x12k， ∴3xk12， ∴xk4， 3∵解为非正数， ∴

k40， 3∴k12， 故选：A． 【点睛】

本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．

4．（2020·吉林长春市·中考真题）不等式x23的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．

【答案】D 【分析】

先求出不等式的解集，再根据数轴的特点表示解集即可. 【详解】 解：x23， 解得x1，

在数轴上表示解集为：

，

故选：D. 【点睛】

此题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，掌握数轴上表示不等式解集的方

C．D．

B．

法是解题的关键.

1x0,5．（2020·辽宁阜新市·中考真题）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是

2x15（ ） A．

B．

C．【答案】D 【分析】

D．

首先解出两个不等式的解；根据在数轴上表示不等式解集的方法分别把每个不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】 解：1x0①，

2x15②解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＞-2，

所以不等式组的解集为：-2＜x≤1， 在数轴上表示为：

，

故选：D． 【点睛】

本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6．（2020·山东潍坊市·中考真题）若关于x的不等式组则a的取值范围是（ ）

3x51有且只有3个整数解，

2xa8A．0a2 【答案】C 【分析】

B．0a2 C．0a2 D．0a2

先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可． 【详解】

解：解不等式3x51得：x2，

8a， 28a∴不等式组的解集为：2x，

2解不等式2xa8得：x∵不等式组3x51有三个整数解，

2xa8∴三个整数解为：2，3，4， ∴48a5， 2解得：0a2， 故选：C． 【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数得出关于a的不等式组．

7．（2020·甘肃天水市·中考真题）若关于x的不等式3xa2只有2个正整数解，则a的取值范围为( ) A．7a4 【答案】D 【分析】 先解不等式得出x22a，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出3B．7a4 C．7a4 D．7a4

2a3，解之可得答案． 3【详解】 解：3xa2，

3x2a，

则x2a， 3不等式只有2个正整数解，

不等式的正整数解为1、2，

则22a3， 3解得：7a4， 故选：D． 【点睛】

本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组． 8．（2020·广西中考真题）不等式组A．1个 【答案】C 【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案. 【详解】

解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1， 解不等式5﹣x≥1，得：x≤4， 则不等式组的解集为1＜x≤4，

所以不等式组的整数解有2、3、4这3个， 故选：C. 【点睛】

此题考查求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集得到不等式组的解集是解题的关键.

9．（2020·北京四中九年级零模）某校初三年级84名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：

B．2个

x10的整数解共有（ ）

5x1C．3个

D．4个

大巴车 车型 （最多可坐55人） 每车租金（元/天）

则租车一天的最低费用为___________元． 【答案】3800 【分析】

2400 中巴车 （最多可坐39人） 1800 小巴车 （最多可坐23人） 1000 将84名师生同时送到目的地，且花费是最少，只有优化租车方案方可达到节约，从同款型和不同车型组合两方面考虑求解． 【详解】 解：依题意得：

租车费用最低的前题条件是将84名师生同时送到目的地，其方案如下： ①全部一种车型：

1000＝4000元， 小巴车23座最少4辆，其费用为：4×

1800＝5400元， 中巴车39座最少3辆，其费用为：3×

2400＝4800元 大巴车55座最少2辆，其费用为：2×∵4000＜480＜5400，

∴同种车型应选取小巴车4辆费用最少． ②搭配车型：

2辆23座小巴车和1辆39座中巴车，其费用为：1000×2+1800＝3800元， 1辆39座中巴车和1辆55座大巴车，其费用为：1800+2400＝4200元， ∵3800＜4200，

∴搭配车型中2辆23座小巴车和1辆39座大巴车最少． 综合①、②两种情况，费用最少为3800元． 故答案为：3800． 【点睛】

本题考查了不等式的应用，主要考虑方案的可行性，正确分类并通过计算比较大小求解． 10．（2020·福建莆田市·九年级其他模拟）小艾在母亲节给妈妈送了一束鲜花，出差在外的

爸爸问小艾送了些什么花．小艾调皮地说：“考考你，花束是由象征爱的康乃馨、玫瑰和百合组成．康乃馨的支数比玫瑰多，但比百合的两倍少，玫瑰的支数比百合多．”请帮小艾爸爸算一算，这束花的总支数至少为________． 【答案】12 【分析】

设康乃馨有x支，百合有y支，玫瑰有m支，根据题意得到不等式组，确定百合的最少支数即可解答． 【详解】

解：设康乃馨有x支，百合有y支，玫瑰有m支，根据题意可得：

ymx2y，且x，y，m为正整数，

所以y的最小值为3，则m=4，x=5， 所以总支数至少为3+4+5=12（支）， 故答案为：12． 【点睛】

本题考查了不等式的应用，解题的关键是找出不等关系，确定百合的最少支数．

xa11．（2020·河南中考真题）已知关于x的不等式组，其中a,b在数轴上的对应点如

xb图所示，则这个不等式组的解集为__________．

【答案】x＞a． 【分析】

先根据数轴确定a，b的大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可． 【详解】

∵由数轴可知，a＞b， ∴关于x的不等式组xa的解集为x＞a，

xb故答案为：x＞a． 【点睛】

本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”得出不等式组的解集是解答此题的关键．

x10x12．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解是

2xa0x1，则a的取值范围是_______．

【答案】a2 【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的解集为x1得出关于a的不等式组，解之可得答案． 【详解】

解不等式x10，得：x1， 解不等式2xa0，得：x∵不等式组的解集为x1， ∴

a， 2a1， 2解得a2， 故答案为：a2． 【点睛】

本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的解集得出关于a的不等式组是解答此题的关键．

13．（2020·宁夏中考真题）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：

（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．

若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为_____．

【答案】6 【分析】

根据题中给出阅读过《三国演义》的人数，则先代入条件（3）可得出阅读过《西游记》的人数的取值范围，然后再根据条件（1）和（2）再列出两个不等式，得出阅读过《水浒传》的人数的取值范围，即可得出答案. 【详解】

解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b，（a,b均为整数） 依题意可得：

abb4且a,b均为整数 a8可得：4b7，

b最大可以取6；

故答案为6. 【点睛】

本题考查不等式的实际应用，注意题中的两个量都必须取整数是本题做题关键，求b的最大值，则可通过题中不等关系得出b是小于哪个数的，然后取小于这个数的最大整数即可.

1xa014．（2020·山东滨州市·中考真题）若关于x的不等式组2无解，则a的取值范围

42x0为________． 【答案】a1 【分析】

先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】

1xa0①解：对不等式组2，

42x0②解不等式①，得x2a，

解不等式②，得x2， ∵原不等式组无解， ∴2a2， 解得：a1． 故答案为：a1． 【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键．

15．（2020·贵州毕节市·中考真题）不等式x362x的解集是_______． 【答案】x3． 【分析】

移项，合并同类项即可求解． 【详解】

解：x362x， 移项，得：x+2x6+3， 合并同类项，得：3x9， 系数化为1，得：x3， 故答案为：x3． 【点睛】

本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．

解不等式要依据不等式的基本性质：

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 16．（2020·江苏宿迁市·中考真题）不等式组【答案】x＞1 【分析】

x1的解集是_____．

x20解不等式x+2＞0得x＞﹣2，结合x＞1，利用口诀“同大取大”可得答案． 【详解】

解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2， 又x＞1，

∴不等式组的解集为x＞1， 故答案为：x＞1． 【点睛】

此题主要考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

17．（2020·浙江金华市·中考真题）解不等式：5x5＜2(2+x) 【答案】x <3 【分析】

去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得即可． 【详解】 解：5x52(2x)，

5x542x 5x2x45，

3x9， x3．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 18．（2020·湖南张家界市·中考真题）阅读下面的材料：

对于实数a,b，我们定义符号min{a,b}的意义为：当ab时，min{a,b}a；当ab时，

min{a,b}b，如：min{4,2}2,min{5,5}5．

根据上面的材料回答下列问题： （1）min{1,3}______； （2）当min2x3x2x2,时，求x的取值范围． 332【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥【分析】

13 4（1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出【详解】

解：（1）由题意得min{1,3}﹣1 故答案为：﹣1； （2）由题意得：

2x－3x+2≥ 解不等式即可判断x的取值范围． 232x－3x+2≥ 233（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 X≥

13 413． 4∴x的取值范围为x≥【点睛】

本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 19．（2020·四川达州市·中考真题）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 餐桌 餐椅

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同． （1）求表中a的值；

（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

零售价（元/张） 成套售价（元/套） 原进价（元/张）a 380 940 160 a140 【答案】（1）a=260；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元． 【分析】

（1）用含a的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量，再根据二者数量相等即可列出关于a的方程，解方程并检验即得结果；

（2）设购进餐桌x张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题． 【详解】

解：（1）根据题意，得：解得：a=260，

经检验：a=260是所列方程的解， ∴a=260；

（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元． 由题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．

∵a＝260，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张． 依题意可知： W＝

1300600， aa140111x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+4）×(160﹣120） （5x+20﹣x×＝280x+800，222∵k＝280＞0，

∴W随x的增大而增大，

∴当x＝30时，W取最大值，最大值为9200元．

故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元． 【点睛】

本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是：（1）正确理解题意、由数量相等得出关于a的分式方程；（2）根据数量关系找出W关于x的函数解析式，灵活应用一次函数的性质．

4(x1)7x1320．（2020·山东枣庄市·中考真题）解不等式组，并求它的所有整数解的x8x43和．

【答案】−3⩽x<2，-5 【分析】

先求出两个不等式的解集，再求其公共部分，然后找出整数解，即可求解． 【详解】

解不等式4(x1)7x13，得x3； 解不等式x4x8，得x2． 3所以，不等式组的解集为3x2． 该不等式组的所有整数解为-3，-2，-1，0，1．

所以，该不等式组的所有整数解的和为(3)(2)(1)015． 【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决的关键是正确解出每个不等式的解集，然后根据限制条件求出不等式的整数解．

归纳 1：有关概念 基础知识归纳： 1．不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式． 2．不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不

等式的解集．

求不等式的解集的过程，叫做解不等式． 3．用数轴表示不等式的方法 4．一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式． 5．一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．

基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合． 注意问题归纳： 不等式组的解集是所有解得公共部分． 归纳 2：不等式基本性质 基础知识归纳：

1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．

注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 归纳 3：一元一次不等式（组）的解法 基础知识归纳：

1．解一元一次不等式的步骤

①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1． 2．一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．

注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 归纳 4：一元一次不等式（组）的应用 基础知识归纳：

1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）． （5）检验，看解集是否符合题意． （6）写出答案． 2．解应用题的书写格式：

设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．

基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．

注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．

考点一 不等式的性质

c0，例1．（2020·广西贵港市·中考真题）如果ab，那么下列不等式中不成立的是（ ）A．acbc 【答案】D 【分析】

根据不等式的性质解答即可． 【详解】

解：A、由a＜b，c＜0得到：a＋c＜b＋c，原变形正确，故此选项不符合题意； B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意； C、由a＜b，c＜0得到：ac＋1＞bc＋1，原变形正确，故此选项不符合题意；

B．acbc

C．ac1bc1

D．ac2bc2

D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】

本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 【变式训练】

1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ） A．a＞b+2 【答案】B 【分析】

利用不等式的基本性质判断即可． 【详解】

A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意； B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意； C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意； D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 2．（2020·江苏常州市·中考真题）如果xy，那么下列不等式正确的是（ ） A．2x2y 【答案】A 【分析】

根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】

解：A、由x＜y可得：2x2y，故选项成立； B、由x＜y可得：2x2y，故选项不成立；

B．2x2y

C．x1y1

D．x1y1

B．a+1＞b+1

C．﹣a＞﹣b

D．|a|＞|b|

C、由x＜y可得：x1y1，故选项不成立； D、由x＜y可得：x1y1，故选项不成立； 故选A. 【点睛】

本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 考点二 一元一次不等式的解法

例2． （2020·江苏淮安市·中考真题）解不等式2x1解：去分母，得2(2x1)3x1． ……

（1）请完成上述解不等式的余下步骤：

（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”） A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A． 【分析】

（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可； （2）根据不等式的性质即可得． 【详解】 （1）2x13x1． 23x1 2去分母，得2(2x1)3x1 去括号，得4x23x1 移项，得4x3x12 合并同类项，得x1；

（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

2x13x1两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到2(2x1)3x1 2故选：A． 【点睛】

本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．【变式训练】

1．（2020·湖南株洲市·中考真题）下列哪个数是不等式2(x1)30的一个解？（ ） A．-3 【答案】A 【分析】

首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可． 【详解】

解：解不等式2(x1)30，得x因为只有-3<故选：A 【点睛】

此题考查不等式解集的意义，是一道基础题．理解不等式的解集的意义是解题的关键． 2．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）A．C．【答案】A 【分析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案． 【详解】

解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x， 移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3， 合并，得：x＞﹣1， 故选：A．

B．D．

B．1 2C．

1 3D．2

1 21,所以只有-3是不等式2(x1)30的一个解 2【点睛】

本题考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心． 考点三 不等式（组）的解集

x12 例3（2020·广西河池市·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

2x4xA．

B．

C．【答案】D 【分析】

D．

首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【详解】 解：x12①，

2x4x②由①得：x＞1， 由②得：x≤4，

不等式组的解集为：1＜x≤4， 故选：D． 【点睛】

此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确确定两个不等式的解集． 【变式训练】

x12x11．（2020·四川眉山市·中考真题）不等式组的整数解有（ ）

4x52(x1)A．1个 【答案】D 【分析】

首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的确定规律：大小小大中间找，

B．2个

C．3个

D．4个

确定出不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可． 【详解】

x12x1① 解：4x52(x1)②解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x＞﹣

3． 23＜x≤2． 2所以原不等式组的解集为﹣

其整数解为﹣1，0，1，2．共4个． 故选：D． 【点睛】

此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握不等式组的解集的确定规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

考点四 一元一次不等式的应用

例4． （2020·辽宁朝阳市·中考真题）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ） A．8 【答案】B 【分析】

根据售价-进价=利润，利润=进价利润率可得不等式，解之即可． 【详解】

设可以打x折出售此商品， 由题意得：240解得x6， 故选：B 【点睛】

此题考查了销售问题，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键． 【变式训练】

1．（2020·重庆中考真题）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，

B．6

C．7

D．9

x12012020%， 10每支签字笔2.2元．小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ） A．5 【答案】B 【分析】

设小明最多还可以买x个作业本，根据题意列出不等式，利用不等式的正整数解可得答案．【详解】

解：设小明最多还可以买x个作业本，则

B．4

C．3

D．2

2.276x40, 6x24.6, x4.1,

x为正整数，

 不等式的最大正整数解是：x4.

 小明最多还可以买4本作业本．

故选：B． 【点睛】

本题考查的是一元一次不等式的应用，掌握根据题意列不等式，以及确定不等式的正整数解是解题的关键．

2．（2020·山东日照市·九年级二模）为了奉献爱心，贡献自己的一份力量，本次新冠状病毒疫情期间，九年级4班18名团员计划在家加工2250个口罩，奉献给社区志愿者，并规定每人每天加工a个口罩（a为整数），干了几天以后，其中4人因特殊情况没能继续，若剩 下的同学每人每天多加工3个口罩，则提前完成了这次任务，由此可知a的值最多是（ ）A．8 【答案】C 【分析】

设原计划m天完工，干了n天后4人退出工作，根据工作总量＝工作效率×工作时间×参加工作的人数结合提前完成了这次任务，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】

B．9

C．10

D．11

解：设原计划m天完工，干了n天后4人退出工作， 依题意，得：18a（m﹣n）＜（18﹣4）（a+3）（m﹣n）， 即18a＜14a+42， 解得：a＜

21． 2又∵a为整数， ∴a的最大值为10． 故选：C． 【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

考点五 一元一次不等式组的解法

42x13x1①例5． （2020·山东济南市·中考真题）解不等式组：，并写出它的所x3②2x2有整数解．

【答案】1x1，整数解为0，1 【分析】

先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】

42x13x1①解：， x32x②2解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1， ∴不等式组的所有整数解为0，1． 【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 【变式训练】

1．（2020·山东威海市·中考真题）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来

4x23(x1) x51x32【答案】−1≤x＜3；在数轴上的表示见详解 【分析】

先求出每个不等式的解集，再求出这些不等式解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．【详解】

4x23(x1)① 解：x51x3②2由①得：x≥−1； 由②得：x＜3；

∴原不等式组的解集为−1≤x＜3， 在坐标轴上表示：

．

【点睛】

此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

x50 2．（2020·江苏扬州市·中考真题）解不等式组3x1，并写出它的最大负整数解．

2x12【答案】不等式组的解集为x≤−5；最大负整数解为-5 【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案．【详解】

解不等式x＋5≤0，得x≤−5， 解不等式

3x12x1，得：x≤−3， 2则不等式组的解集为x≤−5， 所以不等式组的最大负整数解为−5． 【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 考点六 一元一次不等式组的应用

例6． （2020·四川雅安市·中考真题）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答） 【答案】共有45名学生，一共种植221棵树. 【分析】

设共有x人，根据如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵，可列出不等式组． 【详解】

解：设共有x名学生，依题意有：

3x865x1， 3x865x13解得：44＜x＜45.5， ∵x为整数， ∴x=45， ∴3x+86=221．

答：共有45名学生，一共种植221棵树. 【点睛】

本题考查一元一次不等式组的应用，理解题意的能力，设出人数就能表示出植树棵数，然后根据每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵，可列出不等式组． 【变式训练】

1．（2020·湖南郴州市·中考真题）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资

共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元吨，采购两种物资共花费1380万元．

（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨?

（2）现在计划安排A,B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排

A,B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案?

【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车． 【分析】

（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案． 【详解】

解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，

xy＝540依题意，得：，

3x2y＝1380x＝300解得：．

y＝240答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．

（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，

7m550m300依题意，得：，

3m750m240解得：25≤m≤27

1． 2∵m为正整数，

∴m可以为25，26，27，

∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

2．（2020·山东济宁市·中考真题）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．

(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；

(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?

【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元. 【分析】

（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；

（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果. 【详解】

解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，

2x3y600根据题意，得：，

5x6y1350x150解得：，

y100答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资； （2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，

则150m+（12-m）×100≥1500， 解得：m≥6，

而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000， 解得：m＜9， 则6≤m＜9， 则运输方案有3种： 6辆大货车和6辆小货车； 7辆大货车和5辆小货车； 8辆大货车和4辆小货车； ∵2000＞0，

∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.

∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元. 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.