数列求和公式的几种方法(纯手打)

睿 博 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号： LH-rbjy0003 副校长/组长签字： 签字日期：

学 员 编 号 ：LH-rbjy15046 年 级 ：高二 课 时 数 ：3 学 员 姓 名 ： 杨畑畑 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：张华清 课 题 课 型 授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点 数列 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 课 次 第 3 次 2015年 9月 26 日 15 ：00 — 17 ：00 p.m.（D） 通过学习数列的前n项和来解决一些关于不等式的问题。 求前n项和方法的灵活运用。 教 学 内 容 课前回顾： 上节课讲了求通项公式的几种方法，对于其中的几种一定要熟记。 数列分为等差数列和等比数列，但是无论等差数列还是等比数列，第一步都是要求通项公式，然后第二步求前n项和，下面我们就介绍几种求前n项和的方法。在说方法之前，一定要了解其实求前n项和是为了和不等式连接起来，也就是前面所说的函数的问题，下面就正式介绍求前n项和的几种方法。 【基础知识网络总结与巩固】 一、公式法 等差数列前n项和： Snn(a1an)n(n1)na1d 22特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k1(2k1)ak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n项和： q=1时，Snna1 q1，Sn其他公式： a11qn1q，特别要注意对公比的讨论。 睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

1

多元智能教育倡导者 n111、Snkn(n1) 2、Snk2n(n1)(2n1) 26k1k1n3、Sn13k[n(n1)]2 2k1n二、错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an). 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： sin1（1）anf(n1)f(n) （2） tan(n1)tanncosncos(n1)111(2n)2111（3）an （4）an1() n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1（5）an1111[] n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(6) ann212(n1)n1111nn,则S1 nn1nnn(n1)2n(n1)2n2(n1)2(n1)2六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

2

多元智能教育倡导者 【重难点例题启发与方法总结】 （公式法） [例1] 已知log3x解：由log3x123n，求xxxx的前n项和. log2311log3xlog32x log232 由等比数列求和公式得 Snxx2x3xn （利用常用公式） 11(1)nx(1xn)22＝1－1 ＝＝12n1x12[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)Sn的最大值. (n32)Sn111n(n1)， Sn1(n1)(n2) （利用常用公式） 22 解：由等差数列求和公式得 Sn ∴ f(n)nSn＝2 (n32)Sn1n34n64 ＝1n3464n＝(n18n)2501 50 ∴ 当 n18，即n＝8时，f(n)max 508（错位相加法）[例3] 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………① 解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积 设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn （错位相减） 1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ∴ Sn 2(1x)睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

3

多元智能教育倡导者 2462n,2,3,,n,前n项的和. 22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积 222462n设Sn23n…………………………………① 222212462nSn234n1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1)Sn234nn1 （错位相减） 222222212n 2n1n1 22n2 ∴ Sn4n1 2[例4] 求数列（反序相加法）[例5] 求sin21sin22sin23sin288sin289的值 解：设Ssin1sin2sin3sin88sin89…………. ① 将①式右边反序得 Ssin89sin88sin3sin2sin1…………..② （反序） 又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1 ①+②得 （反序相加） 22222222222S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89 ∴ S＝44.5 （分组法求和）[例6] 求数列的前n项和：11,14,a解：设Sn(11)(117,,3n2，… 2n1aa1114)(27)(n13n2) aaa将其每一项拆开再重新组合得 Sn(11112n1)(1473n2) （分组） aaa(3n1)n(3n1)n当a＝1时，Snn＝ （分组求和） 2211n(3n1)naa1n(3n1)na当a1时，Sn＝ 1a1221a [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 解：设akk(k1)(2k1)2k3kk 32睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

4

多元智能教育倡导者 ∴ Snk(k1)(2k1)＝(2kk1k1nn33k2k) 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝2k1nk3kk （分组） 32k1k1nn＝2(1323n3)3(1222n2)(12n) n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1) ＝ （分组求和） 222n(n1)2(n2) ＝ 2（裂项法求和）[例9] 求数列解：设an112,123,,1nn1,的前n项和. 1nn11n1n （裂项） 1nn1则 Sn12312 （裂项求和） ＝(21)(32)(n1n) ＝n11 [例10] 在数列{an}中，an解： ∵ an12n2，又bn，求数列{bn}的前n项的和. n1n1n1anan112nn n1n1n12211 ∴ bn8() （裂项） nn1nn122∴ 数列{bn}的前n项和 11221) ＝ ＝8(1n1 Sn8[(1)()()(11338n n11411)] （裂项求和） nn1睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

5

多元智能教育倡导者 111cos1[例11] 求证： cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin21解：设S111 cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1∵tan(n1)tann （裂项） cosncos(n1)111 （裂项求和） cos0cos1cos1cos2cos88cos891{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]} ＝sin1 ∴S11cos1(tan89tan0)＝cot1＝2 ＝sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立 （合并求和法）[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ cosncos(180n) （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+··· +（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） ＝ 0 [例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002. 解：设S2002＝a1a2a3a2002 由a11,a23,a32,an2an1an可得 a41,a53,a62, a71,a83,a92,a101,a113,a122, …… a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62 ∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60 （找特殊性质项） ∴ S2002＝a1a2a3a2002 （合并求和） ＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6) (a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002 ＝a1999a2000a2001a2002 睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

6

多元智能教育倡导者 ＝a6k1a6k2a6k3a6k4 ＝5 [例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值. 解：设Snlog3a1log3a2log3a10 由等比数列的性质 mnpqamanapaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得 Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6) （合并求和） ＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6) ＝log39log39log39 ＝10 方法总结：以上6种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。（求和公式和求通项公式相比的话，套公式性不是太强烈，所以做这些求和的题的时候第一要先观察，思考后再下手） 【重难点关联练习巩固与方法总结】 1. （14分）在数列an中，a12， （1）证明数列ann是等比数列； an14an3n1，nN*．（2）求数列an的前n项和Sn；（3）证明不等式Sn1≤4Sn，对任意nN*皆成立． 2.求数列21，121，21，21，…的前n项和Sn. 2448362 睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

7

多元智能教育倡导者 3. （14分）数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)． （Ⅰ）求数列an的通项an； （Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn． 4．（12分）在数列an中，a11，an12an2n； （1）设bnan．证明：数列bn是等差数列； 2n1（2）求数列an的前n项和Sn。 1，前n项和Snn2ann1．（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）2Sn1n2设b10，bn． n2，Tn为数列bn的前n项和，求证：Tnn1Sn 5．（14分）已知数列an的首项a1睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

8

多元智能教育倡导者 6.（本题满分14分） 已知数列｛an｝中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1，2，…)求证｛bn｝是等比数列；(2)设cn＝的通项公式及前n项和公式. an(n＝1，2…)求证｛cn｝是等差数列；(3)求数列｛an｝n2 【课后强化巩固练习与方法总结】 【基础模块】 1．数列2，5，的一个通项公式是 22，11，A. an3n3 B. an3n1 C. an3n1 D. an3n3 2．已知数列an的首项a11，且an2an11n2，则a5为 A．7 B．15 C.30 D．31 3.下列各组数能组成等比数列的是 A. 111,, B. lg3,lg9,lg27 C. 6,8,10 D. 3,33,9 3694. 等差数列an的前m项的和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是 A．130 B．170 C．210 D．260 22225.若an是等比数列,前n项和Sn2n1,则a1a2a3an nA.(2n1)2 B.(21) C.41 D.(41) 13n213n6.各项为正数的等比数列an，a4a78，则log21log22log210 aaaA．5 B．10 C．15 D．20 7．已知等差数列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比数列,那么公比为 (A) (B) (C) (D) 8.在等差数列an和bn中，a125，b175，a100b100100，则数列anbn的 前100项和为 A. 0 B. 100 C. 1000 D. 10000 睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

9

多元智能教育倡导者 9.已知等比数列an的通项公式为an23n1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的 前n项和Sn 9n13(9n1)A.31 B.3(31) C. D. 4410．等比数列an中，a1、a99为方程x210x160的两根，则a20a50a80 的值为 nnA．32 B．64 C．256 D．±64 11.在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a10A. 6 B. 8 C. 10 D. 16 2a11的值为 3·a6·a9……a30等于 12. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2……a30230，则a3A．2 B．2 C．2 D．2 10201615【拔高模块】 13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列 一共有 项. 14.若an是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 . 21 ④ lga ① an ② a2n ③ nan15. 已知数列an的前n项和Sn32n，则an=__________. 16.在等差数列an中，a1a4a10a16a19100，则a16a19a13的值是________ 【死亡模块】． 17．（10分）．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数. 18．（12分）.已知an满足a13，an12an1， （1）求证：an1是等比数列； （2）求这个数列的通项公式an. 睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

10

多元智能教育倡导者 19．（12分）在数列an中，a11，an12an2n； （1）设bnan．证明：数列bn是等差数列； 2n1（2）求数列an的前n项和Sn。 【重生模块】 20．（12分）已知正项数列an满足a1（1）求正项数列an的通项公式； （2）求和 22．（12分）.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式． （2）令bnlna3n1，n1求数列{bn}的前n项和Tn ，2，， 1an，且an1. 21ana1a2an 12n 睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

11

多元智能教育倡导者 【本次课程重点核心笔记与分析、方法总结】

睿博教育集团 www.lhrbjy.com.cn

我难人难我不怕难，我易人易我不大意

12