立体几何中的计算

立体几何中的计算

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数学高考综合能力题选讲14

立体几何中的有关计算

题型预测

立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．

范例选讲

例1 长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，

AA12，E是侧棱BB1中点．

A1D1B1C1（1）求直线AA1与平面A1D1E所成角的大小；

E（2）求二面角EAC1B的大小； （3）求三棱锥AC1D1E的体积．

ADBC讲解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面A1D1E的一条垂线．不难发现，AE正为所求．

由长方体ABCDA1B1C1D1知：D1A1面ABB1A1，又AE面ABB1A1，所以，

D1A1AE．

在矩形ABB1A1中，E为BB1中点且AA12，AB1，所以，AEA1E2，所以，A1AE为等腰直角三角形，EA1AE．

所以，AE面A1D1E．

所以，A1AE就是直线AA1与平面A1D1E所成的角，为45．

（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一

条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．

注意到AB面B1BCC1，所以，面

D1A1GEDABFCB1C1ABC1面B1BCC1，所以，只需在面B1BCC1内过点EFBC1于F，则EF面ABC1．

E作

过F作FGAC1于G，连EG，则EGF就

是二

面角EAC1B的平面角．

EF在EBC1中，

2SEBC1BC1EBC1B15， BC1535． 5

所以，C1FC1E2EF2在ABC1中，FGC1FsinFC1GC1FEF6． FG3AB30． AC110 在RtEFG中，tanEGF

所以，二面角EAC1B的平面角的大小为arctan6． 3（3）要求三棱锥AC1D1E的体积，注意到（2）中已经求出了点E到平

面AC1D1的距离EF．所以，

111VAC1D1EVEAC1D1SAC1D1EFAD1CD1EF．

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另一方面，也可以利用等积转化．

因为AB//D1C1，所以，AB//面C1D1E．所以，点A到平面C1D1E的距离就

等于点B到平面C1D1E的距离．所以，

111VAC1D1EVBC1D1EVD1EBC1SEBC1D1C1EBC1B1D1C1．

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点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂

线定理作出二面角的平面角是很常用的方法．

例2 如图：三棱台ABCA1B1C1中，侧棱CC1⊥底面ABC，ACB120，

ACa,BC2a，B1C1a，直线AB1与CC1所

CA1C1B1成的角等于60°．

（1）求二面角B1ACB的大小； （2）求点B到平面B1AC的距离． 讲解 无论从已知（直线AB1与

C1ABCC1A1B1所成的角等于60°）的角度还是从所（二面角B1ACB）的角度，过B1CC1的平行线都是当然之举．

求作

HECDB在平面B1C1CB中，过B1作

B1D//C1C交CB于点D，连接AD，则AADB1就是直线AB1与CC1所成的角．所以，ADB160．

又因为CC1⊥底面ABC，所以，B1D⊥底面ABC．

在平面ABC内过点D作DEAC于E，连B1E，则B1EAC，所以，

B1ED就是二面角B1ACB的平面角．

在ACD中，ADAC2CD22ACCDcos1203a． 在RtAB1D中，B1DADcot60a． 在RtCED中，DECEsin603a． 2

在RtEB1D中，tanB1EDa3a223． 3

所以，二面角B1ACB的平面角的大小为：arctan23． 3（2）由D为BC中点，故点B到平面B1AC的距离等于点D到平面B1AC的距离的2倍，作DHB1E于H．由（1）知AC面B1ED，所以，ACDH，所以，DH面B1AC，所以，DH就是点D到平面B1AC的距离．

在RtEB1D中，DHDEDB1EB1DEDB1DE2DB1221a． 7

所以，点B到平面B1AC的距离等于

221a． 7另外，我们也可以用体积法求出这个距离．

设点B到平面B1AC的距离为h．则由VBACBVBACB及

1111133VB1ACBSABCB1DACBCsinACBB1Da，

3326SACB11172ACB1EACED2B1D2a可得： 22433a3h3VBACB1SACB16221a．

77a24221a． 7

所以，点B到平面B1AC的距离等于点评

等积变形是求体积和求距离时常用的方法．

高考真题

1．（1998年全国高考）已知斜三棱柱ABC－A'B'C'的侧面A'ACC'与底面ABC垂直,∠ABC＝90,BC＝2,AC＝23且AA'⊥A'C,AA'＝A'C.

①求侧棱AA'与底面ABC所成角的大小;

②求侧面A'ABB'与底面ABC所成二面角的大小; ③求顶点C到侧面A'ABB'的距离.

2．（1999年全国高考）如图,已知四棱柱ABCDA'B'C'D',点E在棱D'D上,截面EAC∥D'B,且面EAC底面ABCD所成的角为45°,AB＝a

(1)求截面EAC的面积；

(2)求异面直线A'B'与AC之间的距离； (3)求三棱锥B'－EAC的体积．

3．(2001年全国高考)如图：在底面是直角梯形的ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，

1AD=.

2AA'D'B'C'－与

CBEDS

四棱锥S-B C

A D

（1） 求四棱锥S-ABCD的体积；

（2） 求面SCD与面SBA所成的二面角的平面角的正切值．

[答案与提示：1．45；60；3． 2．

2312

a． 3．；． ] 442

22a；2a；2