平面几何公式

1.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy0,λ是参变量．

2.点到直线的距离

|Ax0By0C|A2B2d(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

3. AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：

若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

4. (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域

设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分；

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

5. 圆的四种方程

222(xa)(yb)r（1）圆的标准方程 .

22xyDxEyF0(D2E24F＞0). （2）圆的一般方程

xarcos（3）圆的参数方程 ybrsin.

（4）圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、

B(x2,y2)).

6. 圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是

待定的系数．

22xyDxEyF0的交点的圆系方程是AxByC0Cl(2)过直线:与圆:

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

(3) 过圆

C1x2y2D1xE1yF10:与圆

C2x2y2D2xE2yF20:的交点的圆系方程是

x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系数．

7.点与圆的位置关系

点

P(x0,y0)222(xa)(yb)r与圆的位置关系有三种

若

d(ax0)2(by0)2，则

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

8.直线与圆的位置关系

222(xa)(yb)rAxByC0直线与圆的位置关系有三种:

dr相离0;

dr相切0;

dr相交0.

其中

dAaBbCA2B2.

9.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线;

dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线;

dr1r2内切1条公切线;

0dr1r2内含无公切线.

10.圆的切线方程

22xyDxEyF0． (1)已知圆

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x0x)E(y0y)F022.

x0xy0y当(x0,y0)圆外时,

x0xy0yD(x0x)E(y0y)F022表示过两个切点的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

222xyr(2)已知圆．

①过圆上的

P0(x0,y0)点的切线方程为

x0xy0yr2;

2ykxr1kk②斜率为的圆的切线方程为.

xacosx2y221(ab0)211.椭圆ab的参数方程是ybsin.

x2y221(ab0)212.椭圆ab焦半径公式

a2a2PF1e(x)PF2e(x)c，c.

13．椭圆的的内外部

22x0y0x2y221(ab0)2212P(x0,y0)（1）点在椭圆ab的内部ab.

22x0y0x2y221(ab0)2212P(x0,y0)ab（2）点在椭圆的外部ab.

14. 椭圆的切线方程

x2y2x0xy0y1(ab0)21222P(x0,y0)abab(1)椭圆上一点处的切线方程是.

x2y221(ab0)2（2）过椭圆ab外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

x0xy0y212ab.

x2y221(ab0)222222（3）椭圆ab与直线AxByC0相切的条件是AaBbc.

x2y221(a0,b0)215.双曲线ab的焦半径公式

a2a2PF1|e(x)|PF2|e(x)|c，c.

16.双曲线的内外部

22x0y0x2y221(a0,b0)2212P(x0,y0)(1)点在双曲线ab的内部ab.

22x0y0x2y221(a0,b0)2212P(x0,y0)(2)点在双曲线ab的外部ab.

17.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b2120yx22渐近线方程：aba. (1）若双曲线方程为abx2y2xyb20yx2ababa(2)若渐近线方程为双曲线可设为.

x2y2x2y2212220，(3)若双曲线与ab有公共渐近线，可设为ab（0，焦点在x轴上，

焦点在y轴上）.

18. 双曲线的切线方程

x0xy0yx2y21(a0,b0)21222P(x,y)b(1)双曲线ab上一点00处的切线方程是a.

x2y221(a0,b0)2（2）过双曲线ab外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

x0xy0y212ab.

x2y221(a0,b0)222222（3）双曲线ab与直线AxByC0相切的条件是AaBbc.

2y19. 抛物线2px的焦半径公式

抛物线y2px(p0)焦半径

2CFx0p2.

过焦点弦长

CDx1ppx2x1x2p22.

y(,y)22y22px(x,y)P(2pt,2pt)或y2px2p20.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .

2b24acb2yaxbxca(x)2a4a(a0)的图象是抛物线：21.二次函数（1）顶点坐标为

2b4acb2b4acb214acb21(,)(,)y2a4a2a4a4a；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.

22.抛物线的内外部

(1)点

P(x0,y0)22y2px(p0)y2px(p0). 在抛物线的内部

点

P(x0,y0)22y2px(p0)y2px(p0). 在抛物线的外部

(2)点

P(x0,y0)22y2px(p0)y2px(p0). 在抛物线的内部

点

P(x0,y0)22y2px(p0)y2px(p0). 在抛物线的外部

(3)点

P(x0,y0)22x2py(p0)x2py(p0). 在抛物线的内部

22点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).

(4) 点

P(x0,y0)22x2py(p0)x2py(p0). 在抛物线的内部

点

P(x0,y0)22x2py(p0)x2py(p0). 在抛物线的外部

23. 抛物线的切线方程

2y(1)抛物线2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

2y（2）过抛物线2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).

22y2px(p0)pB2AC. AxByC0（3）抛物线与直线相切的条件是

24.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y22122222kmin{a,b}时,kmax{a,b}akbk(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当

2222min{a,b}kmax{a,b}时,表示双曲线. 表示椭圆; 当

25.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，

ykxb20,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）由方程F(x,y)0 消去y得到axbxc0，.

26.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

2A(AxByC)2B(AxByC),y)02222ABAB.

F(x27.“四线”一方程

x0yxy022222对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0，用x0x代x，用y0y代y，用

x0xy0y代xy，用2代x，用2代y即得方程

Ax0xBx0yxy0xxyyCy0yD0E0F0222，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦

中点方程均是此方程得到.

28．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

29．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

30．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

31．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

32．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

33．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

34.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

35.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

36.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.

37.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby．

推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB，

或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.

38.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、 C、D 四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

39.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.

40.射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点

'在l上的射影B，则

'

A'B'|AB|cos〈a，e〉=a·e

41.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (3)λa＝(a1,a2,a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1a2b2a3b3；

42.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1).

43．空间的线线平行或垂直

设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则

x1x2y1y2abab(b0)z1z2；

abab0x1x2y1y2z1z20.

44.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

a1b1a2b2a3b3222222aaabbb123123cos〈a，b〉=.

推论

22(a1b1a2b2a3b3)2(a12a2a3)(b12b22b32)，此即三维柯西不等式.

45. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中, AC与BD所成的角为,则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos2ACBD.

46．异面直线所成角

cos|cosa,b|

|x1x2y1y2z1z2||ab|=

|a||b|x12y12z12x22y22z22 b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）（其中（090）为异面直线a,

47.直线AB与平面所成角

arcsinABm|AB||m|(m为平面的法向量).

48.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特别地,当ACB90时,有

sin21sin22sin2.

49.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABO的两个内角，则

''tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2.

特别地,当AOB90时,有

sin21sin22sin2.

50.二面角l的平面角

arccosmnmnarccos|m||n|或|m||n|（m，n为平面，的法向量）.

51.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2.

52. 三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有

sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos ;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

53.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

dA,B(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2|AB|ABAB=. 54.点Q到直线l距离

1(|a||b|)2(ab)2|a|(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

h

55.异面直线间的距离

d|CDn||n|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间

的距离).

56.点B到平面的距离

d|ABn||n|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.

57.异面直线上两点距离公式

dh2m2n22mncos.

dh2m2n22mncosEA',AF. dh2m2n22mncos（EAA'F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、两点E、F，A'Em,AFn,EFd).

上分别取

b