一元二次不等式与分式不等式的解法

1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，

称为一元二次不式.

2、一元二次不等式的解法步骤：

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

22设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，

2b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：

一元二次函数 0 0 0 yax2bxc （a0）的图象 一元二次方程 yax2bxc yax2bxc yax2bxc 有两相异实根 有两相等实根 ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2) bx1x2 2a无实根 xxx或xx 12bxx 2a R xx1xx2  口诀：大于取两边，小于取中间

3、 解一元二次不等式的基本步骤：

（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数； （2） 尝试用“十字相乘法”分解因式； （3） 计算b24ac

（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。

4、对于分式不等式：

f(x)0，它等价于f(x)g(x)0 g(x)f(x)0，它等价于f(x)0且g(x)0 g(x)f(x)0，它等价于f(x)g(x)0 g(x)

【典型例题】

例1、 求下列不等式的解集

（1）4x4x10 （2）x2x30

22

例2、已知x3xa0的解集是{xx2或x1求不等式ax10x120}，的解集.

22

例3、解不等式（1）

x2x40 （2）2 x3x5

例4、自变量x在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？

（1）y3x6x2 (2)y25x

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例5、函数f(x)ax2a2x2ba3，当x(2,6),f(x)0,当x(,2)(6,),f(x)0，求f(x)的解析式；

例6、集合A{x2x21}B{xx24x50}，C{xm1xm1,mR} x2 （1）求AB （2）若ABC，求m的取值范围.

例7、求不等式(x2x1)(2x3x5)0的解集

例8、解关于x的一元二次不等式x(3a)x3a0

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【经典练习】

1、如果x2x6有意义，那么x的取值范围是 . 2、若axbx10的解集为x1x2，则a＝________，b＝________． 3、解下列一元二次不等式

(1) (x1)(3x)＜52x (2) x(x11)≥3(x1) (3)

22x15x10 （4）3 x3x1

4、已知关于的不等式的解集为,求的解集

5、不等式ax24xa12x2对一切xR恒成立，则实数a的取值范围

【课后作业】

1)0的解是 （ ） a1111 A．ax B．xa C．xa或x D．x或xa

aaaa1、若0a1，那么不等式(xa)(x2、若关于x的方程x(m1)xm0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是

.

3、不等式(xx2)(x1)0的解集为___________________________ 4、自变量x在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ （1）yx6x10 (2)y3x12x12

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5、已知集合A{xx2160}，集合B{xx24x30}，求AB

6、已知A{xx25x140}，求B{xxy2,yA}，求AB，AB．