一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设𝑚是实数，已知𝑎=(2,2𝑚−1,1)，𝑏=(4,3𝑚−5,2)，若𝑎//𝑏，则𝑚的值为A. −6
B. −3
C. 3
D. 6
2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. 𝑟1<𝑟4<0<𝑟3<𝑟2C. 𝑟4<𝑟2<0<𝑟3<𝑟1B. 𝑟4<𝑟1<0<𝑟3<𝑟2D. 𝑟2<𝑟4<0<𝑟1<𝑟33.学校安排3位教师任教6个班级，每位教师任教2个班，则不同的安排方法的总数为A. 15
B. 90
C. 120
D. 540
4.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，设𝑋表示结果向上的点数，则𝑋的方差为A. 0
B.
1056C. 27D. 12355.若某银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上输入密码时，忘记了密码的最后1位数字，如果某人记得密码的最后1位是偶数，那么这个人不超过2次就输对密码的概率为A. 51B. 41C. 52D. 1256.已知(1−𝑥)𝑛的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为A. −126
B. −84
C. −56
D. −35
7.已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为𝜉1，𝜉2，𝜉1，𝜉2的期望分别为𝐸(𝜉1)，𝐸(𝜉2)，方差分别为𝐷(𝜉1)，𝐷(𝜉2)，则A. 𝐸(𝜉1)=𝐸(𝜉2)，𝐷(𝜉1)<𝐷(𝜉2)C. 𝐸(𝜉1)<𝐸(𝜉2)，𝐷(𝜉1)<𝐷(𝜉2)
B. 𝐸(𝜉1)=𝐸(𝜉2)，𝐷(𝜉1)>𝐷(𝜉2)D. 𝐸(𝜉1)<𝐸(𝜉2)，𝐷(𝜉1)>𝐷(𝜉2)
8.在空间直角坐标系中，已知点𝐴(1,1,1)，𝐵(0,2,0)，𝐷(−1,−1,5)，若点𝐷到平面𝐴𝐵𝐶的距离为14，则点𝐶
的坐标可以是A. (2,3,−1)
B. (2,−3,1)
C. (−2,3,1)
D. (2,3,1)
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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某种产品的加工需要经过5道工序，则以下说法正确的是A. 如果其中某道工序不能放在最后，那么有96种加工顺序
B. 如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有36种加工顺序C. 如果其中某2道工序必须相邻，那么有24种加工顺序D. 如果其中某2道工序不能相邻，那么有72种加工顺序10.下列命题正确的是
A. 若随机变量𝜉，𝜂满足𝜂=2𝜉−1，𝐷(𝜉)=3，则𝐷(𝜂)=6B. 若𝑃(𝐴)>0，𝑃(𝐵)>0，𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)，则𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴)C. 若𝑋～𝐻(5,10,30)，则𝐸(𝑋)=3D. 若𝑋～0−1分布，𝐸(𝑋)=4，则𝐷(𝑋)=411.如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面为平行四边形，且∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐷𝑃𝐶=3，𝑃𝐴=2，
𝑃𝐶=𝑃𝐷=3，𝐺为△𝑃𝐶𝐷的重心，𝑀为𝐵𝐺的中点．若𝐵𝐺=𝑚𝑃𝐴+𝑛𝑃𝐶+𝑝𝑃𝐷，𝑃𝑇=𝜆𝑃𝐷，则下列结论正确的是
𝜋115A. 𝑚+𝑛+𝑝=−3B. 𝑃𝑀=5
C. 若𝜆=4，则向量𝑃𝑀，𝐴𝐷，𝐺𝑇共面D. 若𝐵𝐺⊥𝐺𝑇，则𝜆=6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某企业生产的金属棒的长度𝐿(单位：𝑚)近似的服从正态分布𝑁(6,0.122)，则长度𝐿的期望
𝐸(𝐿)= ；随机抽取1万根金属棒，长度在(5.88,6.24)(单位：𝑚)的金属棒大约有 根．(参考数据：𝑃(|𝑋−𝑢|<𝜎)≈0.683，𝑃(|𝑋−𝑢|<2𝜎)≈0.954，𝑃(|𝑋−𝑢|<3𝜎)≈0.997)
→
→
111第2页，共9页
𝑥𝑛+𝑘=∑2𝑛𝑘13.已知∑𝑛𝑘=1𝑘(1+𝑥)𝑘=0𝑎𝑘𝑥，𝑎𝑛=(𝑛+1)𝐶2𝑛+1，则𝑥=__________.(用含有𝑛的式子表示)
14.某高中高二(1)班10名学生、高二(2)班10名学生、高二(3)班20名学生参加“少年强则国强”演讲比赛，比赛采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位学生依次出场．记“高二(1)班全部学生完成比赛后，高二(2)班和高二(3)班都有学生尚未完成比赛”为事件𝐴，则事件𝐴发生的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在2𝑥
(+33𝑥．)的展开式中，第3项与倒数第3项的系数之比为49𝑛(1)求𝑛的值；(2)求2𝑥
(+33𝑥)展开式中的有理项．
𝑛16.(本小题12分)
某旅游景点开展景区游客满意度调查活动，统计得到2024年1月至5月对景区服务不满意的游客人数如下：
月份𝑥不满意的人数𝑦
1120
2105
3100
495
580
(1)求对景区服务不满意的游客人数𝑦与月份𝑥之间的线性回归方程𝑦=𝑏𝑥+𝑎，并预测6月该景点对景区服务不满意的游客人数；
(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，则能否有99%的把握认为满意度与性别有关？
满意
女性男性
4822
不满意1218
∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦22∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑛𝑥附：线性回归方程为𝑦=𝑏𝑥+𝑎，其中𝑏=𝜒2𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛
，𝑎=𝑦−𝑏𝑥．=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．0.0057.879
0.00110.828
𝛼𝑥𝛼0.12.706
0.053.841
0.016.635
17.(本小题12分)
某同学参加科技知识网络挑战赛，依次回答从系统题库中随机选择的试题，每题作答完毕后，可以选择继续答题，或者结束比赛，系统计算比赛得分．已知该同学答对每道题的概率均为𝑝(0<𝑝<1)，且每次答题相互独立．
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(1)已知𝑝=3，若该同学连续作答30道试题后结束比赛，记该同学答对𝑚道试题的概率为𝑓(𝑚)，则𝑚为何值时，𝑓(𝑚)取得最大值？
(2)已知𝑝=3，若该同学选择连续作答𝑘道试题后结束比赛的概率为𝑛−𝑘(0<𝜆<1)，𝑘=1，2，…，𝑛，
3求该同学恰好答错2道试题的概率．18.(本小题12分)
在空间几何体𝐴𝐵𝐶−𝐷𝐸𝐹中，四边形𝐴𝐵𝐸𝐷，𝐴𝐷𝐹𝐶均为直角梯形，∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐸=2，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐶𝐹=4，𝐴𝐷=5，𝐵𝐸=6．
𝜋1𝜆2(1)如图1，若∠𝐶𝐴𝐵=2，求直线𝐹𝐷与平面𝐵𝐸𝐹所成角的正弦值；(2)如图2，设∠𝐶𝐴𝐵=𝜃(0<𝜃<𝜋)2𝜋(ⅰ)求证：平面𝐵𝐸𝐹⊥平面𝐷𝐸𝐹；(ⅱ)若二面角𝐸−𝐵𝐹−𝐷的余弦值为19.(本小题12分)
2024年世界羽毛球男、女团体锦标赛(汤姆斯杯、尤伯杯)5日在四川成都落下帷幕，中国男女队在决赛中分别以3比1和3比0的比分战胜印度尼西亚男女队，捧起汤姆斯杯和尤伯杯．其中，中国女队是第16次捧起尤伯杯，中国男队则是第11次获得汤姆斯杯．羽毛球汤姆斯杯决赛实行五场三胜制，每场比赛采取三局两胜制，每一局比赛一方先得21分且领先至少2分则该局获胜；否则继续比赛，先领先2分的选手获胜．若双方打成29平，则先取得30分的一方直接赢得该局比赛．在整个比赛过程中，赢得一球得1分，并继续发球；否则对方得1分，并交换发球．已知在一场汤姆斯杯决赛中，若选手甲发球且甲获胜的概率为3，选手乙发球且甲获胜的概率为2，每一球比赛的结果相互独立．现甲、乙两名选手比赛至27平，且由甲发球．(1)求甲共发两次球赢得比赛的概率；(2)求甲以30:29的比分赢得比赛的概率；
(3)记比赛结束时乙发球的次数为𝑋，求𝑋的分布列及期望．
12 33，求cos𝜃的值．11第4页，共9页
答案
1.𝐵 2.𝐴 3.𝐵 4.𝐷 5.𝐶 6.𝐶 7.𝐴 8.𝐷 9.𝐴𝐵𝐷 10.𝐵𝐶 11.𝐴𝐶𝐷 12.6；8185 13.𝑛+2或𝑛−1 14.12 15.解：(1)(2𝑥+
2，⋯，𝑛，
因为第3项与倒数第3项的系数之比为9，𝑛=，所以𝐶𝑛−2×22×3𝑛−29𝑛43𝑛𝑛−𝑟3𝑟𝑛−𝑟𝑟𝑛−3𝑟𝑟𝑟𝑥)𝑇))23=(2𝑥(=××𝐶𝐶的展开式的通项为，其中𝑟33𝑟+1𝑛𝑛𝑥𝑥5=0，1，
4𝐶2×2𝑛−2×324所以𝑛=6．
6−𝑟⋅3𝑟⋅𝑥(2)由(1)知𝑇𝑟+1=𝐶𝑟6⋅2
6−4𝑟3，𝑟=0，1，2，⋯，6，
因为6−3𝑟∈𝑍，所以𝑟=0，3，6，
所以展开式中的有理项为：𝑇1=64𝑥6，𝑇4=4320𝑥2，𝑇7=729𝑥−2
416.解：(1)由表中的数据可知：𝑥=
𝑦=
1+2+3+4+5=3，
5120+105+100+95+80=100，
5∑5𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖=1×120+2×105+3×100+4×95+5×80=1410，
第5页，共9页
2222225𝑥𝑦=5×3×100=1500，∑5𝑖=1𝑥𝑖=1+2+3+4+5=55
∴𝑏=
∑5𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−5𝑥𝑦22∑5𝑖=1𝑥𝑖−5𝑥=
1410−1500=−9，
55−45𝑎=𝑦−𝑏𝑥=100−(−9)×3=127，∴所求得回归直线方程为𝑦=−9𝑥+127，当𝑥=6时，𝑦=−9×6+127=73，
∴该小区6月份该景点对景区服务不满意的游客人数为73人；(2)零假设为𝐻0:满意度与性别无关，由表中的数据可得𝜒 =
2100×(48×18−22×12)250=≈7.1429>6.635=𝑥0.01，760×40×70×30根据小概率值𝛼=0.01的独立性检验，我们推断𝐻0不成立，即认为有99%的把握认为满意度与性别有关。
𝑚30−𝑚𝑚=01⋯3017.解：(1)该同学答对𝑚道试题的概率为𝑓(𝑚)=𝐶𝑚，，，，，30(3)(3)21当𝑚≥1时，
2𝑚130−𝑚𝐶𝑚𝑓(𝑚)62−2𝑚30(3)(3)有𝑓(𝑚−1)=𝐶𝑚−1(2)𝑚−1(1)31−𝑚=𝑚，3033当1≤𝑚≤20时，𝑓(𝑚)>𝑓(𝑚−1);当21≤𝑚≤30时，𝑓(𝑚)<𝑓(𝑚−1)，所以当𝑚=20时，𝑓(𝑚)取得最大值．
(2)设“该同学连续作答𝑖道试题后结束比赛”为事件𝐴，𝑖=1，2，⋯，“该同学恰好答错2道题”为事件𝐵，
当𝑖=1时，由于在1道试题中不可能有2道答错，所以𝑃(𝐵|𝐴1) =0，
2𝑖−2当𝑖≥2时，由于在𝑖道试题中答错2道，所以𝑃(𝐵|𝐴1)=𝐶2，𝑖(3)(3)21𝜆𝑛𝜆22所以𝑃(𝐵)=∑𝑛𝑖=1𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)=3𝑛−1×0+∑𝑖=2𝑛−𝑖𝐶𝑖3(3)(1)32𝑖−2=
4𝜆𝑛∑𝐶23𝑛𝑖=2𝑖332222=𝑛(𝐶22+𝐶3+⋯+𝐶𝑛)=𝑛(𝐶3+𝐶3+⋯+𝐶𝑛)=𝑛𝐶𝑛+13334𝜆4𝜆4𝜆
=
2𝜆(𝑛+1)𝑛(𝑛−1)．3𝑛+118.解：设平面𝐴𝐵𝐸𝐷的一个法向量为𝑧，以𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝑧为一组正交基底建立空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧．
(1)因为∠𝐶𝐴𝐵=2，所以𝐶𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐸𝐷，
所以𝐷(0,5,0)，𝐵(4,0,0)，𝐶(0,0,4)，𝐹(0,4,4)，𝐸(4,6,0)，所以𝐹𝐷=(0,−1,4),𝐵𝐸=(0,6,0),𝐵𝐹=(−4,4,4)．
𝜋第6页，共9页
设平面𝐵𝐸𝐹的一个法向量为𝑛1=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则
{𝑛1·𝐵𝐸=6𝑦1=0
,
𝑛1·𝐵𝐹=−4𝑥1+4𝑦1+4𝑧1=0
令𝑥1=1得𝑛1=(1,0,1)，直线𝐹𝐷与平面𝐵𝐸𝐹所成角为𝛼，则sin𝛼=|𝑛1·𝐹𝐷|234=．
|𝑛1||𝐹𝐷|17 (2)设𝐹(𝑥,4,𝑧)，0<𝑥<4，因为𝐴𝐶=4，所以𝑥2+𝑧2=16，
所以𝐵𝐸=(0,6,0),𝐵𝐹=(𝑥−4,4,𝑧),𝐷𝐹=(𝑥,−1,𝑧)，𝐷𝐵=(4,−5,0)．设平面𝐵𝐸𝐹的一个法向量为𝑛2=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则
{{𝑛2·𝐵𝐸=6𝑦2=0
,
𝑛2·𝐵𝐹=(𝑥−4)𝑥2+4𝑦2+𝑧𝑧2=0
令𝑥2=𝑧得𝑛2=(𝑧,0,4−𝑥)，
(ⅰ)设平面𝐷𝐸𝐹的一个法向量为𝑛3=(𝑥3,𝑦3,𝑧3)，则
𝑛3·𝐷𝐸=4𝑥3+𝑦3=0
,
𝑛3·𝐷𝐹=𝑥𝑥3−𝑦3+𝑧𝑧3=0
令𝑥3=𝑧得𝑛3=(𝑧,−4𝑧,−4−𝑥)，因为𝑛2·𝑛3=𝑧2+𝑥2−16=0，所以平面𝐵𝐸𝐹⊥平面𝐷𝐸𝐹；
(ⅱ)设平面𝐷𝐹𝐵的一个法向量为𝑛4=(𝑥4,𝑦4,𝑧4)，则
{𝑛4·𝐷𝐵=4𝑥4−5𝑦4=0
,
𝑛4·𝐷𝐹=𝑥𝑥4−𝑦4+𝑧𝑧4=0
令𝑥4=5𝑧得𝑛4=(5𝑧,4𝑧,4−5𝑥)，设二面角𝐸−𝐵𝐹−𝐷的平面角为𝛽，
第7页，共9页
|5𝑧2+0+(4−5𝑥)×(4−𝑥)||𝑛2·𝑛4|则|cos𝛽|=|𝑛||𝑛|= (5𝑧)2+(4𝑧)2+(4−5𝑥)2 𝑧2+(4−𝑥)2·42=
3 4−𝑥33=，84−2𝑥2−5𝑥11即𝑥2−14𝑥+24=0，因为0<𝑥<4，所以𝑥=2．所以cos𝜃=2119.解：(1)设“甲共发两次球赢得比赛”为事件𝐴，
因为事件𝐴即甲连赢2场赢得比赛，所以𝑃(𝐴)=×=，即甲共发两次球赢得比赛的概率为．
(2)设甲以30:29的比分赢得比赛的概率为事件𝐵，因为事件𝐵可以分解为4个互斥的事件𝐵1,𝐵2,𝐵3,𝐵4，
事件𝐵1：甲、乙的比分依次为28：27,28：28,29：28,29：29,30：29，即甲发甲胜，甲发乙胜，乙发甲胜，甲发乙胜，乙发甲胜，则𝑃(𝐵1)=××××=
23131213121．5449232349事件𝐵2:甲、乙的比分依次为28:27、28:28、28:29、29:29、30:29， 即甲发甲胜、甲发乙胜、乙发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜，则𝑃(𝐵2)=××××=
23131212231．27事件𝐵3:甲、乙的比分依次为27: 28、28: 28、29:28、29:29、30:29，即甲发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜、甲发乙胜、乙发甲胜，则𝑃(𝐵3)=××××=
13122313121．54事件𝐵4:甲、乙的比分依次为27: 28、28: 28、28: 29、29: 29、30: 29，即甲发乙胜、乙发甲胜、甲发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜，则𝑃(𝐵4)=××××=
13121312231．545．54所以𝑃(𝐵)=𝑃(𝐵1+𝐵2+𝐵3+𝐵4)=𝑃(𝐵1)+𝑃(𝐵2)+𝑃(𝐵3)+𝑃(𝐵4)=(3)𝑋=0,1,2，
由(1)知甲以29:27的比分赢得比赛的概率为，此时𝑋=0;同理乙以29:27的比分赢得比赛的概率为×=，此时𝑋=1；
13121649第8页，共9页
由(2)知甲以30:29的比分赢得比赛的概率为，此时𝑋=2;同理可得乙以30:29的比分赢得比赛的概率为
𝑃=(···)×+(···)×+(···)×+(···)×=
21113323122111332213112132331211113232137，此时𝑋108554=2;
设“甲以30：28的比分赢得比赛”为事件𝐶，因为事件𝐶可以分解为2个互斥的事件𝐶1,𝐶2．事件𝐶1:甲、乙的比分依次为28:27、28:28、29:28、30:28， 即甲发甲胜、甲发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜，𝑃(𝐶1)=×××=
231312232．27事件𝐶2:甲、乙的比分依次为27:28、28:28、29:28、30:28， 即甲发乙胜、乙发甲胜、甲发甲胜、甲发甲胜，𝑃(𝐶2)=×××=
131223232．274，此时𝑋27所以𝑃(𝐶)=𝑃(𝐶1+𝐶2)=𝑃(𝐶1)+𝑃(𝐶2)=
=1；
设“乙以30：28的比分赢得比赛”为事件𝐷，因为事件𝐷可以分解为2个互斥的事件𝐷1,𝐷2．事件𝐷1:甲、乙的比分依次为28:27、28:28、28:29、28:30， 即甲发甲胜、甲发乙胜、乙发乙胜、乙发乙胜，𝑃(𝐷1)=×××=
231312121．18事件𝐷2:甲、乙的比分依次为27:28、28:28、28:29、28:30， 即甲发乙胜、乙发甲胜、甲发乙胜、乙发乙胜，𝑃(𝐷2)=×××=
131213121．361，此时𝑋12所以𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷1+𝐷2)=𝑃(𝐷1)+𝑃(𝐷2)=故𝑃(𝑋=0)=;𝑃(𝑋=1)=𝑃(𝑋=2)=
49=2；
1417+=;6275471315++=．541081254故𝑋的分布列为
𝐸(𝑋)=0×+1×
49171343+2×=． 545454第9页，共9页
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