三角函数高考试题精选[含详细答案解析]

三角函数高考试题精选

一．选择题（共18小题） 1．（2017•山东）函数y=A．

B．

sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）

C．π D．2π

2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（

）=2，f（

）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）

A．ω=，φ=C．ω=，φ=﹣

B．ω=，φ=﹣

D．ω=，φ=

）的最小正周期为（ ）

3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+A．4π B．2π C．π D．

4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（

），则下列结论错误的是（ ）

对称

，π）单调递减

），则下面结论

5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+正确的是（ ）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左

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平移个单位长度，得到曲线C2

）+cos（x﹣

）的最大值为

6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+（ ） A． B．1

C． D．

7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

）

8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（ ） A．

B．

C．1

D．

9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（ ） A．﹣ B．﹣ C． D．

10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ） A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移平移后的图象的对称轴为（ ） A．x=

D．x=

﹣

+

（k∈Z）

B．x=

+

（k∈Z） C．x=

﹣

（k∈Z）个单位长度，则

（k∈Z）

），，

12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤x=﹣

为f（x）的零点，x=

为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（

）上单调，则ω的最大值为（ ） A．11 B．9

C．7

D．5

）的图象，只需把函数y=sin2x

13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣的图象上所有的点（ ）

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A．向左平行移动C．向左平行移动

个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动

个单位长度 个单位长度

14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+所得图象对应的函数为（ ） A．y=2sin（2x+

） B．y=2sin（2x+

）

）的图象向右平移个周期后，

） C．y=2sin（2x﹣）

D．y=2sin（2x﹣

15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s

（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ） A．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为

B．t= D．t=

，s的最小值为，s的最小值为

16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+的图象上所有的点（ ） A．向左平行移动C．向上平行移动

）的图象，只需把函数y=sinx

个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 D．向下平行移动

个单位长度 个单位长度

17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）

A．y=2sin（2x﹣

D．y=2sin（x+

） B．y=2sin（2x﹣）

） C．y=2sin（x+）

18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（A．4

B．5

C．6

D．7

﹣x）的最大值为（ ）

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二．填空题（共9小题）

19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ． 20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且﹣α2|的最小值为 ．

21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+值是 ．

22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为 ．

23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣

）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 ．

cosx﹣（x∈[0，

]）的最大

+

=2，则|10π﹣α1

24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ．

25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣至少向右平移 个单位长度得到． 26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣

cosx的图象可由函数y=sinx+

cosx

cosx的图象可由函数y=2sinx的图象

的图象至少向右平移 个单位长度得到．

27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ． 三．解答题（共3小题）

28．（2017•北京）已知函数f（x）=（I）求f（x）的最小正周期； （II）求证：当x∈[﹣

，

]时，f（x）≥﹣．

cos（2x﹣

）﹣2sinxcosx．

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29．（2016•山东）设f（x）=2

sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移值．

30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（

）的

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三角函数2017高考试题精选（一）

参与试题解析

一．选择题（共18小题） 1．（2017•山东）函数y=A．

B．

sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）

C．π D．2π

sin2x+cos2x=2sin（2x+

），

【解答】解：∵函数y=∵ω=2， ∴T=π， 故选：C

2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（

）=2，f（

）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）

A．ω=，φ=C．ω=，φ=﹣

B．ω=，φ=﹣

D．ω=，φ=

【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得又f（

）=2，f（

）=0，得，即

．

， ，

∴T=3π，则

∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ）， 由f（∴φ+

）==

，k∈Z． ＜π． ．

，得sin（φ+

）=1．

取k=0，得φ=∴

，φ=

故选：A．

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3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+A．4π B．2π C．π D．

）的最小正周期为（ ）

【解答】解：函数f（x）=sin（2x+故选：C．

）的最小正周期为：=π．

4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（

），则下列结论错误的是（ ）

对称

，π）单调递减

【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确， B．当x=

时，cos（x+

）=cos（

+

）=cos

=cos3π=﹣1为最小值，

此时y=f（x）的图象关于直线x=C当x=零点为x=D．当错误， 故选：D

时，f（

+π）=cos（

对称，故B正确， +π+

）=cos

=0，则f（x+π）的一个

，故C正确，

＜x+

＜

，此时函数f（x）不是单调函数，故D

＜x＜π时，

5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+正确的是（ ）

），则下面结论

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左

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平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

个单位长度，得到曲线C2

【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移=cos（2x+故选：D．

6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+（ ） A． B．1

C． D．

）+cos（x﹣）

）=sin（x+

）+cos

）+cos（x﹣

）的最大值为

）=sin（2x+

个单位长度，得到函数y=cos2（x+

）

）的图象，即曲线C2，

【解答】解：函数f（x）=sin（x+（﹣x+

）=sin（x+

）

．

）+sin（x+

=sin（x+故选：A．

7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

）=sin（ax+b），

）

【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣则函数的周期相同，若a=3， 此时sin（3x﹣

）=sin（3x+b），

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此时b=﹣+2π=，

）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin

若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣（3x﹣b+π）， 则﹣

=﹣b+π，则b=

，

综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），

共有2组， 故选：B．

8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（ ） A．

B．

C．1

D．

【解答】解：∵tanα=，

∴cos2α+2sin2α====．

故选：A．

9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（ ） A．﹣ B．﹣ C． D．

【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ

==．

故选：D．

10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关

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）WORD格式整理版

【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，

∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关， 当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T=当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，

∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π， ∴f（x）的最小正周期为2π， 故f（x）的最小正周期与b有关， 故选：B

11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移平移后的图象的对称轴为（ ） A．x=

D．x=

﹣

+

（k∈Z）

B．x=

+

（k∈Z） C．x=

﹣

（k∈Z）个单位长度，则

=π，

（k∈Z）

个单位长度，得到y=2sin2

【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移（x+由2x+

）=2sin（2x+=kπ+

），

++

（k∈Z）得：x=（k∈Z）， （k∈Z），

即平移后的图象的对称轴方程为x=故选：B．

12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤x=﹣

为f（x）的零点，x=

为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（

），，

）上单调，则ω的最大值为（ ） A．11 B．9

C．7

D．5

为f（x）的零点，x=

，（n∈N）

为y=f（x）图象的对称轴，

【解答】解：∵x=﹣∴

，即

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即ω=2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（即T=

≥

，

）上单调，则

﹣

=

≤，

，解得：ω≤12，

+φ=kπ，k∈Z，

当ω=11时，﹣∵|φ|≤∴φ=﹣

， ，

此时f（x）在（当ω=9时，﹣∵|φ|≤∴φ=

，

，

，）不单调，不满足题意；

+φ=kπ，k∈Z，

此时f（x）在（，）单调，满足题意；

故ω的最大值为9， 故选：B

13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣的图象上所有的点（ ） A．向左平行移动C．向左平行移动

个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动

个单位长度 个单位长度

）的图象，只需把函数y=sin2x

【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移（x﹣

）=sin（2x﹣

）的图象，

个单位长度，可得函数y=sin2

故选：D．

14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+

）的图象向右平移个周期后，

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所得图象对应的函数为（ ） A．y=2sin（2x+

） B．y=2sin（2x+

）

）的周期为T=）的图象向右平移

）+

]，

=π， 个单位，

） C．y=2sin（2x﹣

）

D．y=2sin（2x﹣

【解答】解：函数y=2sin（2x+由题意即为函数y=2sin（2x+

可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣即有y=2sin（2x﹣故选：D．

15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣

）．

）图象上的点P（，t）向左平移s

（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ） A．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为【解答】解：将x=将函数y=sin（2x﹣得到P′（

B．t= D．t=

，s的最小值为，s的最小值为=，

代入得：t=sin

）图象上的点P向左平移s个单位，

+s，）点，

若P′位于函数y=sin2x的图象上， 则sin（则2s=则s=

+2s）=cos2s=， +2kπ，k∈Z， +kπ，k∈Z，

，

由s＞0得：当k=0时，s的最小值为故选：A．

16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+

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）的图象，只需把函数y=sinx

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的图象上所有的点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向上平行移动

个单位长度 D．向下平行移动

个单位长度

【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx， 平移后函数解析式为：y=sin（x+），

可得平移量为向左平行移动个单位长度，

故选：A

17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（

A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+

D．y=2sin（x+

）

【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2， =

，故T=π，ω=2，

故y=2sin（2x+φ）， 将（

，2）代入可得：2sin（

+φ）=2，

则φ=﹣

满足要求，

故y=2sin（2x﹣），

故选：A．

18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（

﹣x）的最大值为（ 学习指导参考

））

）

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A．4 B．5 C．6 D．7

﹣x）

【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（=1﹣2sin2x+6sinx， 令t=sinx（﹣1≤t≤1）， 可得函数y=﹣2t2+6t+1 =﹣2（t﹣）2+

，

由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增， 即有t=1即x=2kπ+故选：B．

二．填空题（共9小题）

19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=

．

，k∈Z时，函数取得最大值5．

【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴α+β=π+2kπ，k∈Z， ∵sinα=，

∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=． 故答案为：．

20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且﹣α2|的最小值为

．

+

=2，则|10π﹣α1

【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]， 要使

+

=2，

∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．

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则：，k1∈Z． ，即

，k2∈Z．

，k1、k2∈Z．

﹣（2k1+k2）π|的最小值为

．

那么：α1+α2=（2k1+k2）π∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π故答案为：

．

21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sinx+值是 1 ．

【解答】解：f（x）=sin2x+令cosx=t且t∈[0，1]， 则y=﹣t2+当t=

t+=﹣（t﹣

）2+1，

2

cosx﹣（x∈[0，]）的最大

cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，

时，f（t）max=1，

即f（x）的最大值为1， 故答案为：1

22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为 【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=其中tanθ=2， 可知函数的最大值为：故答案为：

23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣

）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 4 ．

）=asin（bx+c），

．

．

（

cosx+

sinx）=

．

sin（x+θ），

【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣∴必有|a|=2，

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若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），

，

则函数的周期相同，若b=3，此时C=若b=﹣3，则C=

，

若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣若b=﹣3，则C=

，若b=3，则C=

）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c）， ，

），（2，﹣3，

），（﹣

综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，2，﹣3，

），（﹣2，3，

），

共有4组， 故答案为：4．

24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 7 ．

【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：

由图可知，共7个交点． 故答案为：7．

25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣至少向右平移

个单位长度得到．

cosx=2sin（x﹣

），

cosx的图象可由函数y=2sinx的图象

【解答】解：∵y=sinx﹣令f（x）=2sinx，

则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），

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依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣故﹣φ=2kπ﹣即φ=﹣2kπ+

（k∈Z）， （k∈Z），

，

），

当k=0时，正数φmin=故答案为：

．

26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣的图象至少向右平移

cosx的图象可由函数y=sinx+cosx

个单位长度得到．

cosx=2sin（x+

），y=sinx﹣

cosx=2sin

【解答】解：∵y=f（x）=sinx+（x﹣

），

∴f（x﹣φ）=2sin（x+令2sin（x+则

﹣φ）（φ＞0），

），

﹣φ）=2sin（x﹣

（k∈Z），

﹣φ=2kπ﹣

即φ=﹣2kπ（k∈Z），

，

当k=0时，正数φmin=故答案为：

．

27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 8 ．

【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①

由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0， 在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，

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又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣则tanAtanBtanC=﹣

•tanBtanC，

②，

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，

令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1， tanAtanBtanC=﹣

=﹣

，

=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，

因此tanAtanBtanC的最小值为8，

另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC， sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，

两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC， ∵﹣tanA=tan（B十C）=

，

∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC， ∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2令tanAtanBtanC=x＞0， 即x≥2

，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．

，

当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得tanB=2+均为锐角．

三．解答题（共3小题）

28．（2017•北京）已知函数f（x）=（I）求f（x）的最小正周期； （II）求证：当x∈[﹣

，

]时，f（x）≥﹣． cos（2x﹣

）﹣2sinxcosx， cos（2x﹣

）﹣2sinxcosx．

，tanC=2﹣

，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=

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==

（co2x+sin2x）﹣sin2x，

cos2x+sin2x，

），

=sin（2x+∴T=

=π，

∴f（x）的最小正周期为π， （Ⅱ）∵x∈[﹣∴2x+

∈[﹣

，，

]， ]， ）≤1，

∴﹣≤sin（2x+∴f（x）≥﹣

29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移值．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2﹣1+sin2x=2=sin2x﹣令2kπ﹣

•

sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2

sin2x

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（

）的

﹣1+sin2x ﹣1=2sin（2x﹣≤2kπ+

）+

﹣1， ≤x≤kπ+

，

cos2x+≤2x﹣

，求得kπ﹣

可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣

）+

﹣1的图象；

个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+．

﹣1的图象，

再把得到的图象向左平移∴g（

）=2sin

+

﹣1=

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30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx=由T=

，得ω=1；

．

，得

]（k∈Z）．

．

=

．

（2）由（1）得，f（x）=再由

∴f（x）的单调递增区间为[

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