数值分析习题第三章

1．已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线。 xi fi 1 4 2 2 4.5 1 3 6 3 4 8 1 5 8.5 1 i 解：在坐标纸上标出所给数据，如图3.1。从图看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数做拟合，即令

S1xa0a1x

这里根据最小二乘法，N=5，m=1，

0x1，1xx，故其法方程为

1 ，af，，k0，kjjkj01987654311.522.533.544.55

图3.1

其中

5j，kxijxikxii1，j，k0，15 f，xfxxkiikii1即

0，0ii15850，11，0ixii122

1，1ixi2i15740，fifii15547145.51，fifii18a022a147于是得方程组

22a74a145.501解得a02.56，a11.20

于是所求拟合曲线为S1x2.561.20x

2．求形如yaebx(a，b是常数)的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。 x y 1 15.3 2 20.5 3 27.4 4 36.6 5 49.1 6 65.5 7 87.8 8 117.6 解：对经验公式两边取常用对数得 lgxlgabxlge 作变换令ulgy，Alga，Bblge得uABx

这样可将原来的指数型拟合问题转化为一次多项式拟合来求解。为了得出法方程组需算出一

下数值：

x，ulgy，xu，xiiiiii1i1i1i1i1888882i

这些数值课由表3.1算出

表3.1 计算列表

xi 1 2 3 4 5 6 7 yi 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 lgyi 1.184691 1.311754 1.437751 1.563481 1.691081 1.816241 1.943495 xilgyi 1.184691 2.623508 4.313252 6.253924 8.455407 10.89745 13.60446 xi 1 4 9 16 25 36 49 28 117.6 419.8 2.070407 13.01890 16.56326 63.89595 64 204 36 i18由上表得出的法方程组为

8A36B13.0189 36A204B63.89595求解得A=1.058337，B=0.12645

由此得a11.43776，b0.291162

因此，所求的经验公式为y11.43776e0.291162

3．用最小二乘法求一个形如yabx的经验公式，使它与下列数据想拟合，并计算均方误差。

2xi yi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 解：由题意知span1，x2，01，1x2，经计算

0，01i155257277699369321.50，1xi25327i151，1xi15i14i0，yyii15271.4

1，yxi2yi解法方程组

b271.45a5327 b369321.55327a7277699解之得a0.9726046，b0.0500351 故y0.97260460.0500351x2 均方误差为

2y2a0,yb1,y21/20.01502321/20.123