一次函数和反比例函数构成的斜拉三角形面积问题探解

一次函数与反比例函数构成的斜拉三角形面积问题探解

一次函数与反比例函数的交点为底，第三个顶点在x轴上的三角形叫做x轴的斜拉三角形，

第三个顶点叫做斜拉三角形的斜拉点.求斜拉三角形的面积成为二函数联手创新的新亮点，

下面就结合2019年的考题，向大家介绍一下斜拉三角形面积的求解，供学习时借鉴.

一、正比例函数与反比例函数生成的斜拉三角形的面积

4例1 （四川凉山）如图1，正比例函数y=kx与反比例函数y=x的图象相交于A、C

两点，

过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于 （ ）

A．8 B．6 C．4 D．2

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4解析：设点A（a,a）,根据反比例函数的对称性，得点C与点A关于原点对称，所以4点C的坐标为（-a,-a），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，根据题意，得

4OB=a，AB=CD=a,根据题意，得斜拉三角形ABC可以分割成以OB为底边的两个三11OBABOBCDS三角形ABCS三角形AOBS三角形BOC22角形的面积和，所以=+=

14OB(ABCD)OBAB=2= a×a=4.所以选C.

点评：解答时，注意处理好三个关系：

1.采用设而不求的思想，表示出一个交点的坐标，为解题思路的展开奠定基础；

2.充分利用好反比例函数的对称性，正比例函数的对称性，确定原点对称点的坐标，是解题的一个重要关键点；

3.把斜拉三角形的面积分割成有公共底的两个三角形的面积和是建立等式的关键，也是揭示答案的根源.

二、一次函数与反比例函数生成的斜拉三角形的面积

例2（铜仁）如图2，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数

12y= -x

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的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标

都是3．

（1）求一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）写出不等式kx+b＞﹣集．

的解

3kb44kb3解析：（1）根据题意，得点A（3，-4），点B(-4,3),所以，

解得

k1b1，所以一次函数的解析式为y=-x-1；

（2）根据题意，得斜拉三角形AOB可以分割成以OC为底边的两个三角形的面积和，

111OCAEOCBFOC(AEBF)S三角形AOBS三角形AOCS三角形BOC22所以=+==2.

171(43)S2； 因为y=-x-1，所以点C（-1,0），所以OC=1, 三角形AOB=23 / 7

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（3）从图像看出，不等式kx+b＞﹣的解集是x＜-4或0＜x＜3.

点评：利用交点坐标的意义，确定交点的坐标，从而确定一次函数的解析式，求得一次函数与x轴的交点坐标，从而确定了斜拉三角形AOB的公共底边的大小，为斜拉三角形面积的计算创造了条件.

三、一次函数与反比例函数生成的斜拉三角形的面积求点的坐标

k例3 （四川遂宁）如图，一次函数y=x﹣3的图象与反比例函数y=x（k≠0）的图象

交于点A与点B（a，﹣4）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．

解析：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中，得：a＝﹣1，所以B（﹣1，﹣4）

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k将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y=x（k≠0）中，得：k＝4，所以反比例函数的表4达式为y＝x；

4（2）如图3，设点P的坐标为（m，m）（m＞0），则C（m，m﹣3），点O到直线

PC的距离为m；

144当点P在点C的上方时，PC=m-m+3，所以△POC的面积=2×m×（m-m+3）=3，

整理，得m-3m+2=0，解方程，得m=1或m=2；

2144当点P在点C的下方时，PC=m﹣3-m，所以△POC的面积=2×m×（m﹣3-m）=3，

2m整理，得-3m-10=0，解方程，得m=5或m=-2；因为m＞0，所以m＝5或1

或2

4所以点P的坐标为（5，5）或（1，4）或（2，2）．

点评：这是一种特殊的斜拉三角形，其特殊性表现在如下几点：

1.斜拉三角形的斜拉点在原点；2.斜拉三角形的底边与y轴平行；

3.斜拉三角形的底边长度是底边两个端点纵坐标差的绝对值；

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4.解答时，要注意灵活运用分类思想，避免漏解.

四、求一次函数与反比例函数生成的斜拉三角形面积的最大值

4x（x0）上的一点，过点P作x轴的垂线

例4（乐山）如图4，点P是双曲线C：

y交直线AB：

y1x22于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动,

且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是 .

14解析：如图4，设点P的坐标为（m，m）（m＞0），则Q（m，2m﹣2），点O到

直线PQ的距

41离为m；因为点P在点Q的上方，所以PQ=m-2m+2，设△POC的面积为W，

111412则W=2×m×（m-2m+2）=-4m+m+2，因为a= -4＜0，所以W有最大值，

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1112()4=2时，W值最大，此时W=-4×4+2+2=3.所 当m=-

以三角形POQ面积的最大值为3.

点评：这是特殊斜拉三角形的最值问题，解答时，只需将三角形面积最值转化成动点P横坐

标的二次函数的最值问题即可.正确转化是解题的关键.

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