2015年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

数学（文）试题

一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)

1.已知集合A=x1x2,Bx0x3,则AB( ) A.( −1，3) B.( −1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) 2.若a实数，且

2ai3i,则a( ) 1i A.-4 B. -3 C. 3 D. 4

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是( )

2700260025002400230022002100200019002004200520062007200820092010201120122013(年)

A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 4.已知向量a(0,1),b(1,2),则（2ab）•a( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

的前n项和，5.设Sn是等差数列an若a1a3a53,则S5( )

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )

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A.

1111 B. C. D. 85760),B(0，3)，C(2，3),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为7.已知三点A(1，( ) A.

8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为( ) a>b ab 输出a 输入a,b 开始 5 B. 321254 C. D. 333 是 否 是 否

A. 0 B. 2 C. 4 D.14

2

结束 a=a-b b=b-a 1,a3a54(a41),则a2( ) 411A. 2 B. 1 C. D.

829.已知等比数列an满足a110.已知A,B是球O的球面上两点，AOB90,C为该球面上动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

DxOPCA A. 36π B. 64π C. 144π

D.256π

B11.如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，记

BOPx,将动点P到A,B两点距离之和表示为函数f(x),则f(x)的图像大致为

( )

YYYY2222Oπ4Aπ3ππ24XOππ3ππ424BXOππ3ππ244CXOππ3ππ424DX

12.设函数f(x)ln(1x)( )

1,则使得f(x)f(2x1)成立的x的范围是 1x211A. (,1) B. (,)(1,)

331111 C. (,) D. (,)(,)

3333二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分

13.已知函数f(x)ax32x的图像过点（-1,4），则a 。

xy50,14.若x,y满足约束条件2xy10,则z2xy的最大值为 。

x2y10, 试卷第3页，总16页

115.已知双曲线过点，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方（4，,3）2程为 。

16.已知曲线yxlnx在点（1,1）处的切线与曲线

yax2(a2)x1相切，则a 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,BD2DC. （Ⅰ）求

18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A, B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.

频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005A地区用户满意度评分的频率分布直方图sinB; （Ⅱ）若BAC60,求B.

sinCO405060708090100满意度评分

B地区用户满意度评分的频数分布表

4

满意度评分分组 频 数

[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 2 8 14 10 6 （I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）

频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005B地区用户满意度评分的频率分布直方图

（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：

满意度评分 满意度等级

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

19.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA18,点E,F分别在

A1B1,D1C1 上,A1ED1F4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成

O5060708090100满意度评分低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 一个正方形.

D1A1EDAFC1B1CB

（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.

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x2y2220. 已知椭圆C:221ab0 的离心率为,点2,2在C上.

2ab（I）求C的方程；

（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

21.已知fxlnxa1x. （I）讨论fx的单调性；

（II）当fx有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围.

6

YBMOAXC(2,2)

22.选修4-1：几何证明选讲

如图O是等腰三角形ABC内一点, ⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. （I）证明EF∥BC.

（II）若AG等于⊙O的半径,且AEMN23 ,求四边形EDCF的面积.

23.选修4-4：坐标系与参数方程

AGEOBMDNCFxtcos,在直角坐标系xOy中,曲线C1: （t为参数,且t0 ）,其中

ytsin,0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin,C3:23cos. （I）求C2与C3交点的直角坐标；

（II）若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值

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24.选修4-5：不等式证明选讲

设a,b,c,d 均为正数,且abcd.证明： （I）若abcd ,则abcd；

（II）abcd是abcd的充要条件.

8

2015年高考文科数学试卷全国卷2（解析版）

1.【答案】A 【解析】 因为

Ax|1x2Bx|0x3,

,所以

ABx|1x3.故选A.

2．【答案】D 【解析】由题意可得

2ai1i3i24ia4 ,故选D.

3．【答案】 D

【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D. 4．【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可得a2112 ,ab123, 所以

2aba2a2ab431.故选C.

5．【答案】A 【解析】

5a1a55a35.故选A. 试题解析：由a1a3a53a33a31,所有S526．【答案】D 【解析】

试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的体积是正方体体积的7．【答案】B 【解析】

试题分析：△ABC外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线x1上,设圆心D由DA=DB得b1b321,剩余部分651,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D. 651,b,

2b22 ,所以圆心到原点的距离32221. 故选B. d12338．【答案】B

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【解析】

试题分析：由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B. 9． 【答案】C

【解析】

试题分析：由题意可得故a2a1qa3a5a424a41a42,所以q3a48q2 ,a11 ,选C. 210．【答案】C 【解析】

试题分析：设球的半径为R,则△AOB面积为面AOB距离最大且为R,此时V12R,三棱锥OABC 体积最大时,C到平213R36R6 ,所以球O的表面积6S4πR2144π.故选C.

11．【答案】B 【解析】

试题分析：由题意可得fC,D；当0xππππ22,f51ff,由此可排除2424π222时点P在边BC上，PBtanx，PAABPB4tanx，4,可知x0,所以

fxtanx4tan2xπ时图像不是线段,可排除A,故选B. 412．【答案】A 【解析】

试题分析：由f(x)ln(1|x|)所

1fx0,是增函数,

可知是偶函数,且在1x2以

2fxf2x1fxf2x1x2x1x22x1 .故选A. 13．【答案】-2 【解析】 试题分析：由14．【答案】8 【解析】

1x13fxax32x可得

f1a24a2 .

xy501,1,2,3,3,2为顶点的三角

试题分析：不等式组2xy10表示的可行域是以

x2y101 0

形区域,z2xy的最大值必在顶点处取得,经验算,x3,y2时zmax8.

x2y21 15．【答案】4【解析】

x21y2m ,把试题分析：根据双曲线渐近线方程为yx,可设双曲线的方程为42x2x224,3代入ym得m1.所以双曲线的方程为y21.

4416．【答案】8

【解析】

试题分析：由y111,1处的切线斜率为2,故切线方程可得曲线yxlnx在点x 联立得axax20,显然a0,所以由

2为y2x1,与

yax2a2x1a28a0a8.

17．【答案】（Ⅰ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：

1；（Ⅱ）30. 2sinBDC1.（Ⅱ）由诱导公式可得

sinCBD2sinCsinBACB3,B30. 331cosBsinB. 由（Ⅰ）知2sinBsinC, 22所以tanBADBDADDC,, 因为AD

sinBsinBADsinCsinCADsinBDC1平分BAC,BD=2DC,所以..

sinCBD2试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得（Ⅱ）因为

C180BACB,BAC60,

所以sinCsinBACB31cosBsinB. 由（I）知222sinBsinC,

所以tanB3,B30. 318．【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满

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意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.（II）由直方图得

PCA 的估计值为0.6,

PCB 的估计值为0.25.,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

试题解析：（Ⅰ）

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.

（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

记CA 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得

PCA 的估计值为

0.010.020.03100.6,

PCB 的估计值为

0.0050.02100.25.,

97 或 79所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 19．【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）分别在AB,CD上取H,G,使AHDG10；长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为试题解析：

解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：

97 或 79

（Ⅱ）作EMAB, 垂足为M,则AMA1E4,EB112,EMAA18,因为

EHGF是正方形,所以

EHEFBC10,于是

1 2

MHEH2EM26,AH10,HB6. 因为长方体被平面 分成两个高为10

的直棱柱,所以其体积比值为

97 （也正确）. 79x2y220．【答案】（Ⅰ）221（Ⅱ）见试题解析

84【解析】

a2b2242,221, 求得a28,b24,由此可得C的方试题分析：（Ⅰ）由

a2ab程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得2k21x24kbx2b280.,所以

xMx1x22kbb2,yMkxMb2,22k12k1于是

kOMyM1,xM2k1kOMk.

2试题解析：

a2b2242,221, 解得a28,b24,所以椭圆C的方解：（Ⅰ）由题意有a2abx2y2程为221.

84（Ⅱ）设直线

l:ykxbk0,b0,

Ax1,y1,Bx2,y2,MxM,yM,把

x2y2ykxb代入221得2k21x24kbx2b280.

84

故xMx1x22kbb2,yMkxMb2, 于是直线OM的斜率22k12k1kOMyM11, 即kOMk,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. xM2k221．【答案】（Ⅰ）a0,

fx在

0,是单调递增；a0,fx在0,1单调

a递增,在10,1. ,单调递减；（Ⅱ）a【解析】

试题分析：（Ⅰ）由fx知当a0时

1a,可分a0,a0两种情况来讨论；（II）由（I）x无最大值,当a0时

fx在

0,fx最大值为

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galnaa111,flnaa1.因此f2a2lnaa10.令

aa则

ga在

0,是增函数,当0a1时,ga0,当a1时ga0,因此a的

取值范围是

0,1.

的定义域为

试题解析： （Ⅰ）

fx0,,fx1a,若a0,则fx0,fx在

xaa0,是单调递增；若a0,则当x0,1时fx0,当x1,时

fx0,所以

fx在0,11单调递增,在,单调递减. aa（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a0时

fx在

0,无最大值,当a0时fx在x1取得

a最大值,最大值为

111flna1lnaa1.因此aaagalnaa1ga0,1f2a2lnaa10.令,则在是增函a数,是

g10,于是,当0a1时,

ga0,当a1时

ga0,因此a的取值范围

0,1.

163 322．【答案】（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明EF（Ⅱ）先求出有关BC, 可证明ADBC,ADEF；

线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF面积之差来求. 试题解析：

（Ⅰ）由于△ABC是等腰三角形,ADBC, 所以AD是CAB的平分线,又因为圆O与AB,AC分别相切于E,F,所以AEAF,故ADEF,所以EFBC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AEAF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线,又EF为圆O的弦,所以O在AD上,连接OE,OF,则OEAE,由AG等于圆O的半径得AO=2OE,所以

OAE30,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为AE23,所以AO4,OE2, 因为OMOE2, DM1 4

1MN3, 所以OD=1,于是AD=5,2AB103,32 所以四边形DBCF的面积为

2110331316323. 23222323．【答案】（Ⅰ）0,0,【解析】

332,2；（Ⅱ）4. 22试题分析：（Ⅰ）把C2与C3的方程化为直角坐标方程分别为xy2y0,

x2y223x0,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线C1极坐标方程为

R,0,进一步求出点A的极坐标为

2sin,,点

B的极坐标为

23cos,,,由此可得AB2sin23cos4sin4.

3试题解析：

解：（Ⅰ）曲线C2的直角坐标方程为xy2y0,曲线C3的直角坐标方程为

223xx02,所以C与C交点的直角x2y223x0,联立两方程解得 或23y03y2坐标0,0,332,2. （Ⅱ）曲线C1极坐标方程为为

R,0,3cos,,

其中0 ,因此点A的极坐标

2sin,,点B的极坐标为2所以AB2sin23cos4sin大值为4.

24．【解析】

3,当5AB时取得最大值,最6试题分析：（Ⅰ）由abcd及abcd,可证明即得ab充分性来证明. 试题解析： 解：（Ⅰ）因为

ab2cd2,开方

cd.（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与

ab2ab2ab,cd2cd2cd,

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由题设abcd,abcd,得

ab2cd2,因此

abcd.

（

Ⅱ

2）（ⅰ）

2若

abcd,则

ab2cd2,即

ab4abcd4cd, 因为abcd,所以abcd,由（Ⅰ）得

abcd.

（

ⅱ

）

若

abcd,则

ab2cd2,即

ab2abcd2cd,因为abcd,所以abcd,

ab于是

2ab4abcd4cdcd,222因此

abcd,综上

abcd是abcd的充要条件.

1 6