Ｉ，ｔ 解题技巧与方法 蛳冁 尊 也谈数学选择题解法 ◎胡王霆 （南京师范大学数学科学学院２１００４６） 选择题具有题小面广、解法灵活、评阅客观等特点，因 分析令ｆ（ａ）＝ ，ｇ（ ）＝ｌ Ｉ，ａ＝２，ｂ＝１，贝０ｆ（ｂ）一 而是一种具有良好信度和效度的题型．数学选择题通常限 厂＿（一ａ）＝１一（一２）＝３，ｇ（ａ）一ｇ（一ｂ）＝２—１＝１，可知① 定为单项选择以确保答案的唯一性，学生可应用排除、递 推、分析、验证等非直接方法进行求解，不仅可以提高解题 式正确；同理，ｆ（ａ）一ｆ（一ｂ）＝２一（一１）＝３，ｇ（ｂ）一 效率，而且对培养学生分析、判断及推理等逻辑思维能力有 ｇ（一ａ）＝１—２ １，可知③式成立，故选Ｃ． 收敛性题目的逻辑起点是选择项，解题者通过选择项 一定积极意义． 一选择题的构成 之间的关系和答案唯一性的特点，避开对题设信息的缺失 、从结构来看，数学选择题主要由两部分组成：题干和选 性把握，仍然可以得出满足题设的结论，从而作出正确选 择项．从形式上看，数学选择题可分为：发散性、收敛性和平 择．这类题型包括逻辑分析法和代人验证法两种． 行性．发散性题目的题干是条件，选择项是可能的结论．收 （三）逻辑分析法 敛性题目的题干是结论，选择项是要得到结论所必须具备 的条件．平行型题目由多个条件和多个结论组成，要求找出 逻辑分析法是通过对四个选项之间的逻辑关系的分 条件和结论之间的对应联系，以构成正确的命题． 析，达到否定谬误项、肯定正确项的方法．尤其适用于一些 二、解题策略分类 条件对等，选项相互包含的题目．一些所谓的“巧解”策略， 各种参考资料对数学选择题的解法进行详细而繁杂的 正是用逻辑知识解题的体现． 介绍，本文从选择题的三种形式出发，认为选择题只需划分 例３ 在ＡＡＢＣ中，ｓｉｎ２Ａ＝ｓｉｎ２Ｂ，则此三角形 为以下六种． 是（ ）． 发散性题目要求解题者从题干出发，充分解读题干中 Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形 的信息，调用所学概念、公式及定理，正确解答题目．这类题 型包括直接法和特例法两种． Ｃ．等腰或直角三角形Ｄ．等腰直角三角形 （一）直接法 分析从备选项看，Ａ，Ｂ，Ｄ三个选项中概念的外延包 直接法是从题设出发，运用相关概念、性质及法则，通 含在选项Ｃ概念的外延里面．若选项Ａ等腰三角形成立，则 过推理和运算，直接得出符合题意的结论，再对照选择项选 选项ｃ等腰或直角三角形也成立；同理选项Ｂ成立，则选项 择正确答案．直接法几乎适用于所有的选择题，但对于一些 Ｃ成立；若Ｄ成立，则ｃ也成立．因为正确答案有且只有一 构思新颖的题目，采用直接法未必能够有效地解决． 个，所以正确答案只能是外延最广的选项ｃ． 例１ 两圆的半径分别是Ｒ和ｒ（Ｒ＞ｒ），圆心距为ｄ，若 （四）代人验证法 关于 的方程 一２ｒｘ＋（Ｒ—ｒ） ：０有两个相同的实数根， 代人验证法是典型的收敛性题目，通过将选择项分别 则两圆的位置关系是（ ）． Ａ．一定相切 Ｂ．一定外切 作为条件，去验证命题真假，确定满足题设的选择项，从而 Ｃ．相交Ｄ．内切或外切 得出正确的结论．一般适用于选择项都是数值的题目． 分析由方程 一２ｒｘ＋（ —ｒ） ＝０有两个相同的实 例４ 方程ｌｏｇｆ ＋２）（４ ＋５）一ｌｏｇ４ ＋５（ ＋４ ＋４）一１＝ 数根，可知Ａ＝０， ０的解集是（ ）． 即４ｒ２—４（尺一ｒ） ＝０．解得ｒ：ＩＲ—ｄ１． Ａ．｛１｝ Ｂ．｛ｌ，一１ Ｉ 若ｒ＝Ｒ—ｄ，则ｄ＝Ｒ—ｒ，两圆内切； 若ｒ＝一（ 一ｄ），贝０ ｄ＝Ｒ＋ｒ，两圆夕 切． ｃ．｛ ，一｝） Ｄ．｛ ， ，一 ） 故正确选项为Ｄ． （二）特例法 分析本题若用常规思路求解需要学生通过换底公式 特例法就是选取满足题设的特殊情况，如特殊的值、 将对数的底数统一，然后用对数的运算法则计算求解．这种 点、角度、位置、函数、图形等来代替一般情况，经过计算、判 思路完整详尽地展现了求解集的全过程，但因选择题对推 断或推理得出结论．事实上，特殊法的逻辑顺序仍然是从题 算过程没有要求，是否可以采用其他更为快速的解法呢？ 设开始，要求所找的例子必须满足题设的条件．它所解决的 为了避免大量运算和高错误率的出现，可将选项逐一代入 是一类具有一般性结论的命题，因而可以用“例”来代替，另 外，为了体现特殊法的优越性，例子必须要易于推理和判 验证方程．通过观察，将 ＝一１，Ｙ＝一÷分别代入方程验 断，才能称其为“特”． 证，均不满足方程，故选Ａ．因此，在代入验证中的过程中， 例２ 定义在区间（一 ，＋。。）的奇函数ｆ（ ）为增函 一经出现正确备选项，学生就可依据“四选一”的要求大胆 数，偶函数ｇ（ ）在区间［０，＋。。）的图像与＿厂（ ）重合，设口＞ 作出判断． ｂ＞０，给出下列不等式： ｂ）一＿厂（一ｏ）＞ｇ（。）一ｇ（一ｂ）； 平行型题目不是纯粹地从题干推出选择项或从选择项 （ ｂ）－ｆ（一ａ）＜ｇ（ｎ）一ｇ（一６）；（曼ｊ， ａ）－ｆ（一ｂ）＞ｇ（６）一 推至题设，而是部分地将题设和选择项结合分析和判断，利 ｇ（一ａ）； ）厂（ａ）一ｆ（一ｂ）＜ｇ（ｂ）一ｇ（一ａ）．其中正确的 用推理、估算、排除等方法，得出正确结果．这类题型包括筛 是（ ）． Ａ．①与④ Ｂ．②与③ 选法和数形结合法两种． Ｃ．①与③ Ｄ．②与④ （下转５５页） 数学学习与研究２０１１．１３ ・ 解题技巧与方法 鼙 椎繇 ● 本来可以发现的东西，也可能无从发现．”因此，作为基础教 探索和发现新的命题、新知识，增强创新能力和解决问题的 育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推 能力．这对于我们学会更好地解数学题目和学好数学是相 理和归纳推理的能力．为此，特提出以下教学建议： 当重要的． （１）教师根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引 备注此文章是受广西教育科学“十一五”规划（桂教 导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学会类比推理 科 ２０１０］８号）项目以及广西师范学院教改工程“十一五” 的方法． 第五批项目（桂师院教字［２０１０］２２号）支持． （２）教师在进行知识复习时，经常对相关的知识进行类 比，培养学生对相关知识进行类比的习惯． 【参考文献】［１］顾国章．高考对类比思想的考查．中学 （３）教师在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学 数学，２００５（２）． 命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数 ［２］徐永忠．分析深化理性思维考查的数学高考．数学 学思维方法的掌握． 通报，２００４（１１）． （４）教师通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的 ［３］郑华玉．以生活经验类比教学思想方法，让数学变 发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能 得平易近人．湖北教育，１９９７（７—８）． 力和创新精神． ［４］李明振．数学方法与解题研究［Ｍ］．上海：上海教育 类比思维是根据两个对象具有某些相同的属性而推出 出版社，２０００（７）． 当一个对象具有一个另外的性质时，另一个对象也具有这 ［５］Ｇ・波利亚．数学与猜想——数学中的归纳与类比 一性质的一种思维方式．因此求解类比思维问题的关键在 ［Ｍ］．北京：科学出版社，２００１（７）． 于确定类比物，建立类比项．换言之，不能把类比仅停留在 ［６］张恒山．数学解题中类比能力的培养［Ｊ］．南京师范 叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论 学校学报，２０００（３）． 的运算、思维过程等进行类比分析，从解题的思维方法、思 ［７］任子朝．高考能力测试与试题设计．北京：北京教育 维策略等层面寻求内在的关联． 出版社，２００５（６）． 运用类比思维猜测对于发展学生的思维能力是有很大帮 ［８］张巧凤．从平面到空间的类比思维．高中数学教与 助的，对培养学生的创造力具有重要作用．但是猜测不一定都 学，２００４（１１）． 是正确的，需要进一步验证这一点也要学生们特别注意 ［９］邓益阳．探究一类新型题的解题策略．高中数学教 综上所述，我们可以知道类比思维法是一种发现法而 与学，２００４（２）． 不是论证法，恰当运用可以帮助学生更好地建立认知结构， ［１０］顾国章．高考对类比思想的考查．中学数学，２１３０５（２）． （上接５７页） （五）筛选法 例６ 在圆 ＋ｙ２＝４上－９直线４ ＋３ｙ一１２＝０距离最 筛选法又称排除法．要求先从题设条件出发，运用公 小的点的坐标是（ ） 式、定理和性质推演，再根据选择项“四选一”的要求，逐步 去掉干扰项，从而得出正确结果．当题设条件多于一个时， Ａ．（ ， ） ‘ 先根据某些条件去掉选择项中与之矛盾的干扰项，再根据 其他条件在剩余的选择项中去掉与之矛盾的项，直至得出 Ｂ．（ ，一 ） 正确答案．这种方法适用于定性型或不易直接求解的题目， 具体操作就是不断在题设和选项之间推断分析，借助单项 ｃ．（一 ８，了６） 选择题的特殊结果求解，从而避免直接求解的困难． 例５设ＡＡＢＣ的三边ａ，ｂ，ｃ满足等式ａｃｏｓＡ＋ｂｃｏｓＢ＝ 。．（一 ８，一了６） ｃｃｏｓＣ，则此三角形一定是（ ）． 分析根据题设作出符合要求的圆和直线的草图可 Ａ．以ａ为斜边的直角三角形 知，圆到直线距离最小的点在第一象限，比较选项可知，只 Ｂ．以ｂ为斜边的直角三角形 有选项Ａ符合条件．本题充分利用直观图形和选项的设置， 避免了“小题大做”，迅速得出了正确选项． Ｃ．等边三角形 通过上述分析可知，数学选择题命题灵活，因题而异， Ｄ．其他三角形 分析观察题设条件发现，题干是关于。，厶４与ｂ，厶日 因而解法巧妙，各具特色．根据选择题的不同形式，各种解 法也是有章可循的，因此在做选择题时，选择了恰当的解法 的对称式，所以选项Ａ、选项曰是等效的，即可排除；假设选 不仅可以获得正确的结果，还能迅速提高解题效率，有时甚 项Ｃ正确，则／＿Ａ＝／Ｂ＝ Ｃ：６０。，ａ＝ｂ＝ｃ，得２：１不成 至可以避免因对题干信息的缺失性把握而造成的求解困 立，故选Ｄ． 难．当然，这些解法不是固定单一的，它们之间相互补充，共 （六）数形结合法 同作用，在求解时，将不同的解法结合在一起，可以使求解 根据题设作出所研究问题的曲线或图形，借助几何图 过程变得更简捷、准确． 形的直观性作出正确选择的方法叫做数形结合法，又称图 解法．诚如华罗庚先生所说，“数缺形时少直观、形缺数时难 【参考文献】 入微”，数形结合方法不仅是解决选择题的有力工具，也是 ［１］陈永明名师工作室．数学教学中的逻辑问题．上海 解决其他数学问题的有效策略．但在选择题中使用数形结 科技教育出版社．２００９ 合的方法也有它自身的优点，学生往往只需作出足以判断 ［２］茹洁霞．怎样速解数学选择题数学通讯．２００３，２（４）． 选项的草图即可，这样既避免了精确作图的要求，也避免的 ［３］李书杰郭金梅．高中数学选择题解法例析．教育实 数的推导和运算． 践与研究．２０００．８． 数学学习与研究２０１１．１３
