九年级数学：圆 单元检测试卷(含答案)

九年级数学：圆 单元检测试卷（含答案）

一、单选题（共10题；共30分） 1.下列说法正确的是（ ）

A. 弦是直径 B. 平分弦的直径垂直弦

C. 过三点A,B,C的圆有且只有一个 D. 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 2.已知⊙O的直径等于12cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 3.若⊙O的直径为20cm,点O到直线l的距离为10cm,则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4.如图,在⊙O中,点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上,则图中有（ ）条弦

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.如图,AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,AC交⊙O于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD等于（ ）

A.40° B.50° C.60° D.80°

6.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=（ ）

A. 130° B. 100° C. 50° D. 65°

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7.如图,弦AB和CD相交于点P,∠B=30°,∠APC=80°,则∠BAD的度数为（）

A. 20° B. 50° C. 70° D. 110° 8.如图,直径为10的⨀A经过点C（0,5）和点O（0,0）,B是y轴右侧⨀A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为（ ）

A. 2 B. 4 C. √3 D. 5

2

134

9.如图,圆O的内接四边形ABCD中,BC=DC,∠BOC=130°,则∠BAD的度数是（ ）

A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 10.如图,MN是半径为2的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN＝30°,点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点,则PA＋PB的最小值为( )

A. 4 √2 B. 2 C. 4 D. 2 √2 二、填空题（共10题；共33分）

11.三角形三边垂直平分线的交点到三角形________的距离相等．

12.已知AB是⊙O的弦,AB＝8cm,OC⊥AB与C,OC=3cm,则⊙O的直径________cm.

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13.圆心角为120°,半径为6cm的扇形的弧长是________cm．

14.如图,A、D是⊙O上的两个点,BC是直径,若∠D=35°,则∠COA的度数是________ ．

15.如图,正五边形ABCDE内接于圆O,F是圆O上一点,则∠CFD=________度．

16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC≠BC,点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N,现将△MNC沿MN折叠,得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置

关系是________．

17.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是

________．

18.在直角坐标系中,☉M的圆心坐标是(m,0),半径是2,如果☉M与y轴相切,那么m=________;如果☉M与y轴相交,那么m的取值范围是________.

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19.如图,四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的四个顶点都落在 ⊙𝑂 上, 𝐵𝐶=𝐶𝐷 ,连结 𝐵𝐷 ,若 ∠𝐶𝐵𝐷=35∘ ,则 ∠𝐴 的度数是________．

20.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若⊙O的半径为3cm,∠A=110°,则劣弧 𝐵𝐷 的长为________cm．

三、解答题（共8题；共57分）

21.如图,点A是圆弧BC上一点,用尺规作图法找出圆心O点（保留作图痕迹,不写做法）

22.如图,已知AB,CB为⊙O的两条弦,请写出图中所有的弧．

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23.如图,在半径为13的⊙O中,OC垂直弦AB于点D,交⊙O于点C,AB=24,求CD的长 ．

24.如图,在⊙O中,

=

,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠COA.

̂=𝐵𝐷̂ ． 25.如图,已知AB是⊙O的直径,M,N分别是AO,BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB． 𝐴𝐶求证：

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26.如图,⊙O的两条弦AB、CD交于点E,OE平分∠BED． （1）求证：AB=CD；

（2）若∠BED=60°,EO=2,求DE﹣AE的值．

27.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由．

28.如图,在⊙O中,𝐴𝐶=𝐶𝐵,点D、E分别在半径OA和OB上,AD=BE 求证：CD=CE．

∧

∧

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答案解析部分

一、单选题 1.【答案】D

【考点】圆的认识,垂径定理,确定圆的条件,三角形的外接圆与外心 【解析】

【分析】利用弦的定义、垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆即可作出判断． 【解答】A、弦是圆上任意两点的连线,而圆是过圆心的弦,故弦不一定是直径,故选项错误； B、平分弦（弦不是直径)的直径垂直于弦,故选项错误； C、过不在一条直线上的三点的圆有且只有一个,故选项错误； D、正确． 故选D．

【点评】本题考查了弦的定义、垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆,要注意到垂径定理叙述中：被平分的弦必须不是直径 2.【答案】C

【考点】直线与圆的位置关系 【解析】

【分析】首先求得该圆的半径,再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r,则直线与圆相交；若d=r,则直线于圆相切；若d＞r,则直线与圆相离,

进而利用直线与圆相交有两个交点,相切有一个交点,相离没有交点,即可得出答案． 【解答】根据题意,得

该圆的半径是6cm,即大于圆心到直线的距离5cm,则直线和圆相交, 故直线l与⊙O的交点个数为2． 故选：C．

【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系,这里要特别注意12是圆的直径；掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键 3.【答案】B

【考点】直线与圆的位置关系

【解析】【解答】本题中圆的半径为10cm,点到直线的距离为10cm,则直线与圆相切． 【分析】当圆心到直线的距离等于半径则直线与圆相切；当圆心到直线的距离小于半径则直线

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与圆相交；当圆心到直线的距离大于半径则直线与圆相离．此题的半径为10,而圆心到到直线l的距离为10cm就能做出判断。 4.【答案】B 【考点】圆的认识

【解析】【解答】圆中弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。根据弦的定义可知,图中是弦的有：AB、BC、CE三条,则选项B符合题意。 故答案为：B

【分析】首先要知道圆内弦的定义,其次利用弦定决问题。 5.【答案】D

【考点】圆周角定理,切线的性质 【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的切线, ∴∠ABC=90°,

∴∠A=90°﹣∠ACB=40°,

由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=80°, 故答案为：D．

【分析】利用切线的性质可得出∠ABC=90°,就可求出∠A的度数,再利用圆周角定理,可求出∠BOD的度数。 6.【答案】A

【考点】三角形的内切圆与内心

【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线, ∴∠OBC+∠OCB= 2 （∠ABC+∠ACB）= 2 （180°﹣80°）=50°, ∴∠BOC=180°﹣50°=130°． 故选A．

【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线,利用三角形内角和定理和角平分线的性质可得∠OBC+∠OCB= 2 （∠ABC+∠ACB）,把对应数值代入即可求得∠BOC的值． 7.【答案】B

【考点】圆周角定理

1

1

1

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【解析】【分析】由圆周角定理,可求得∠D的度数,又由∠APC是△APD的外角,且∠APC=80°,即可求得∠BAD的度数． 【解答】∵∠B与∠D是∴∠D=∠B=30°,

∵∠APC是△APD的外角,且∠APC=80°, ∴∠BAD=∠APC-∠B=80°-30°=50°． 故答案是：50°．

所对的圆周角,

【点评】此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用,注意数形结合思想的应用． 8.【答案】C

【考点】圆周角定理 【解析】【解答】解：连接CD,

∵∠COD=90°, ∴CD为直径, ∵直径为10, ∴CD=10,

∵点C（0,5）和点O（0,0）, ∴OC=5,

∴sin∠ODC= 𝐶𝐷 = 2 , ∴∠ODC=30°, ∴∠OBC=∠ODC=30°,

3

∴cos∠OBC=cos30°= √ ．

2

𝑂𝐶

1

故选：C.

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【分析】连接CD,由直径所对的圆周角是直角,可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC,在Rt△OCD中,由OC和CD的长可求出sin∠ODC. 9.【答案】B

【考点】圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：连结OD,如图,

∵BC=DC, ∴

∴∠BOC=∠COD=130°, ∴∠BOD=360°﹣2×130°=100°, ∴∠BCD=2∠BOD=50°,

∴∠BAD=180°﹣∠BCD=180°﹣50°=130°． 故答案为：B．

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由BC=DC得

1

1

, 则∠BOC=∠COD=130°,再利用周角定

义计算出∠BOD=100°,再根据圆周角定理得到∠BCD=2∠BOD=50°,然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD的度数． 10.【答案】D

【考点】圆周角定理,轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB、OB′、AB′,

则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点,PA+PB的最小值=AB′．∵∠AMN=30°,∴∠AON=2

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∠AMN=2×30°=60°．∵点B为劣弧AN的中点,∴∠BON= 2 ∠AON= 2 ×60°=30°,由对称性,∠B′ON=∠BON=30°,∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°,∴△AOB′是等腰直角三角形,∴AB′= √2 OA= √2 ×2= 2√2 ,即PA+PB的最小值= 2√2 ．故答案为：D．

【分析】作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB、OB′、AB′,根据轴对称的最短问题得出：AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点,PA+PB的最小值=AB′,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AON=2∠AMN=2×30°=60°,根据等弧所对的圆心角相等得出∠BON= 2∠AON= 2×60°=30°,由对称性,∠B′ON=∠BON=30°,根据角的和差得出∠AOB′=90º,进而判断出△AOB′是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的边之间的关系算出AB′的长,从而得出答案。 二、填空题

11.【答案】三个顶点

【考点】三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】解：∵到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点, ∴三角形三边垂直平分线的交点到三角形的距离相等． 故答案为：三个顶点．

【分析】根据垂直平分线的性质,垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等填空即可． 12.【答案】10

【考点】勾股定理,垂径定理

【解析】【解答】据垂径定理和勾股定理可以计算出半径等于5,所以直径为10cm. 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点. 13.【答案】4π 【考点】弧长的计算

【解析】【解答】解：由题意得,n=120°,R=6cm, 故可得：l= 𝑛πR =4πcm．

180

1

1

11

故答案为：4π．

【分析】弧长的计算公式为l= 𝑛πR ,将n=120°,R=6cm代入即可得出答案．

180

14.【答案】70° 【考点】圆周角定理

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【解析】【解答】在同圆和等圆中,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,所以∠COA=2∠D=70°．故答案是70°．

【分析】此题考查了圆周角定理． 15.【答案】36

【考点】正多边形和圆

【解析】【解答】解：如图,连接OD、OC； ∵正五边形ABCDE内接于圆O, ∴𝐷𝐶=1×⊙O的周长,

5∴∠DOC=5×360°=72°, ∴∠CFD=2×72°=36°． 故答案为36．

11

∧

【分析】如图,首先证明𝐷𝐶=1×⊙O的周长,进而求出∠DOC=5×360°=72°,∠CFD=2×

572°=36°,问题即可解决． 16.【答案】相交

【考点】平行线的性质,直线与圆的位置关系,翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】如图连接PC交MN于D,取MN的中点O,连接OP,

∧

11

由题意PD＜OP,

∴圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径, ∴以MN为直径的圆与直线AB相交, 故答案为：相交.

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【分析】连接PC交MN于D,取MN的中点O,连接OP,在直角三角形中,斜边比直角边大,即PD＜OP,从而得出圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径,再根据直d＜r即可判断出其位置关系. 17.【答案】4.5 【考点】切线的性质

【解析】【解答】解：如图,设⊙O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1 , 此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1﹣OQ1 , ∵AB=5,AC=4,BC=3, ∴AB2=AC2+BC2 , ∴∠C=90°, ∵∠OP1B=90°, ∴OP1∥AC ∵AO=OB, ∴P1C=P1B, ∴OP1= 2 AC=2,

∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=0.5,

如图,当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2经过圆心,经过圆心的弦最长, P2Q2最大值=2.5+1.5=4,

∴PQ长的最大值与最小值的和是4.5． 故答案为：4.5．

1

【分析】设⊙O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1 , 此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1﹣OQ1 , 求出OP1 , 如图当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2最大值=2.5+1.5=4,由此不难解决问题．

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18.【答案】±2；-2【解析】【解答】解：∵☉M的圆心坐标是(m,0),∴圆心在x轴上,∵☉M与y轴相切,∴圆心到y轴的距离等于该圆的半径,,故m=±2,∵☉M与y轴相交,∴圆心到y轴的距离小于等于2,即圆心到y轴的距离|m|＜2,∴-2【考点】圆内接四边形的性质

【解析】【解答】∵BC=CD,∠CBD=35°,∴∠CDB=35°,∴∠C=110°． ∵四边形ABCD的四个顶点都落在⊙O上,∴∠A+∠C=180°,∴∠A=70°． 故答案为：70°．

【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠BCD的度数,再根据圆内接四边形的对角互补,就可求出∠A的度数。 20.【答案】3

【考点】圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,圆内接四边形的性质 【解析】【解答】连接OB．OD, ∵∠A=110°, ∴∠C=70°, ∴∠BOD=140°, 则劣弧 𝐵𝐷 =

140𝜋×31807𝜋

=

7𝜋3

．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠C的度数,再求出圆心角∠BOD的度数,就可求出劣弧BD的度数等于它所对的圆心角的度数。 三、解答题

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21.【答案】解：如图所示：

【考点】垂径定理

【解析】【分析】利用垂径定理得出两弦的垂直平分线交点O即可． 22.【答案】解：图中的弧为 𝐵𝐶,𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐴𝐶𝐵,𝐵𝐴𝐶,𝐴𝐵𝐶. 【考点】圆的认识

【解析】【分析】根据圆上任意两点之间的部分叫弧即可解答。 23.【答案】解：连接 O A ,

∵ 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 , 𝐴𝐵=24 , ∴ 𝐴𝐷=2𝐴𝐵=12 , 在 𝑅𝑡𝛥𝐴𝑂𝐷 中,

∵ 𝑂𝐴=13 , 𝐴𝐷=12 , ∴ 𝑂𝐷=5 ,

∴ 𝐶𝐷=𝑂𝐶−𝑂𝐷=13−5=8 【考点】垂径定理

【解析】【分析】连接 O A ,根据垂径定理得出AD=2AB=12 ,根据勾股定理即可算出OD的长,再根据线段的和差,由CD=OC−OD即可算出答案。 24.【答案】证明：∵ ∵∠ACB=60°

∴△ABC为等边三角形,AB=BC=CA

∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等） 【考点】圆心角、弧、弦的关系

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1

1

=,∴AB=AC,△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）

【解析】【分析】根据圆内弧相等可得AB=AC,即△ABC为等腰三角形。再根据∠ACB=60°可判定△ABC为等边三角形,所以AB=BC=CA。最后根据相等的弦所对的圆心角相等可得AOB=∠BOC=∠COA。

25.【答案】证明：连结OC、OD,如图,

∵AB是⊙O的直径,M,N分别是AO,BO的中点, ∴OM=ON, ∵CM⊥AB,DN⊥AB, ∴∠OMC=∠OND=90°, 在Rt△OMC和Rt△OND中, {

𝑂𝑀=𝑂𝑁

,

𝑂𝐶=𝑂𝐷

∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）, ∴∠COM=∠DON, ̂ = 𝐵𝐷̂ ． ∴ 𝐴𝐶

【考点】全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】连结OC、OD,由M,N分别是AO,BO的中点得到OM=ON,再根据“HL”可判断̂ = 𝐵𝐷̂ ． Rt△OMC≌Rt△OND,则∠COM=∠DON,然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 𝐴𝐶26.【答案】解：（1）过点O作AB、CD的垂线,垂足为M、N,如图1,

∵OE平分∠BED,且OM⊥AB,ON⊥CD, ∴OM=ON, ∴AB=CD；

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（2）如图2所示,

由（1）知,OM=ON,AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD, ∴DN=CN=AM=BM, 在Rt△EON与Rt△EOM中, 𝑂𝐸=𝑂𝐸

, ∵{

𝑂𝑀=𝑂𝑁

∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL）, ∴NE=ME,

∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME, 即AE=CE,

∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE, ∵∠BED=60°,OE平分∠BED, ∴∠NEO=2∠BED=30°, ∴ON=2OE=1,

在Rt△EON中,由勾股定理得： NE=√𝑂𝐸2−𝑂𝑁2=√3, ∴DE﹣AE=2NE=2√3．

【考点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线,垂足为M、N,由角平分线的性质,可得OM=ON,然后由弦心距相等可得弦相等,即AB=CD；

（2）由（1）知,OM=ON,AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD,先由垂径定理可得DN=CN=AM=BM,然后由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM,进而可得NE=ME,从而得到AE=CE,然后将DE﹣AE转化为：DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE,然后在Rt△EON中,由∠NEO=30°,OE=2,求出NE即可． 27.【答案】解：直线AD与⊙O相切． ∵AB是⊙O的直径,

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1

1

∴∠ACB=90°． ∴∠ABC+∠BAC=90°． 又∵∠CAD=∠ABC, ∴∠CAD+∠BAC=90°． ∴直线AD与⊙O相切

【考点】圆周角定理,三角形的外接圆与外心,直线与圆的位置关系

【解析】【分析】由∠ABC+∠BAC=90°且∠CAD=∠ABC知∠CAD+∠BAC=90°,据此可得． 28.【答案】证明：连接OC． 在⊙O中,∵𝐴𝐶=𝐶𝐵, ∴∠AOC=∠BOC, ∵OA=OB,AD=BE, ∴OD=OE． 在△COD与△COE中,

∧

∧

,

∴△COD≌△COE（SAS）, ∴CD=CE．

【考点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】连接OC,构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE．

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