2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1，2，则A1．已知集合A0，2，B2，1，0，A．0，2

B．1，2

B

C．0

0，1，2 D．2，1，2．设z1i2i，则z 1iA．0

1B．

2 C．1

D．2

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．已知椭圆C：x2y2a241的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为 A．13

B．12

C．22 D．223 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A．122π

B．12π

C．82π

D．10π

6．设函数fxx3a1x2ax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点0，0处的切线方程为 A．y2x

B．yx

C．y2x

D．yx

7．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB A．34AB14AC B．134AB4AC C．

34AB14AC

D．

14AB34AC 8．已知函数fx2cos2xsin2x2，则 A．fx的最小正周期为π，最大值为3 B．fx 的最小正周期为π，最大值为4 C．fx 的最小正周期为2π，最大值为3 D．fx的最小正周期为2π，最大值为4

9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A．217 B．25 C．3

D．2

10．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为 A．8

B．62

C．82

D．83 a，11．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A1，B2，b，且

cos21A．

5

2，则ab 3

B．5 5 C．25 5

D．1

2x，x≤012．设函数fx，则满足fx1f2x的x的取值范围是

1 ，x0A．，1

B．0，

C．1，0

D．，0

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数fxlog2x2a，若f31，则a________．

x2y2≤014．若x，y满足约束条件xy1≥0，则z3x2y的最大值为________．

y≤015．直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则AB________．

C的对边分别为a，b，c，已知bsinCcsinB4asinBsinC，16．△ABC的内角A，B，b2c2a28，则△ABC的面积为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

已知数列an满足a11，nan12n1an，设bnb2，b3； （1）求b1，an． n（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； （3）求an的通项公式．学,科网 18．（12分）

如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，∠ACM90，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

Q为线段AD上一点，（2）且BPDQP为线段BC上一点，

2DA，求三棱锥QABP3的体积．

19．（12分）

某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用 水量 频数 0，0.1 1 0.1，0.2 0.2，0.3 0.3，0.4 0.4，0.5 0.5，0.6 0.6，0.7 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用 水量 频数 0，0.1 1 0.1，0.2 5 0.2，0.3 13 0.3，0.4 10 0.4，0.5 16 0.5，0.6 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 20．（12分）

设抛物线C：y22x，点A2，0，B2，0，过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM∠ABN． 21．（12分）

x已知函数fxaelnx1．

（1）设x2是fx的极值点．求a，并求fx的单调区间； 1（2）证明：当a≥时，fx≥0．

e（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为ykx2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30．

（1）求C2的直角坐标方程；学科*网

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知fxx1ax1．

（1）当a1时，求不等式fx1的解集；

1时不等式fxx成立，求a的取值范围． （2）若x∈0，

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题 1．A

2．C

3．A

4．C

5．B

6．D

8．B

9．B

10．C

11．B

7．A

12．D

二、填空题 13．-7 三、解答题

17．解：（1）由条件可得an+1=

2(n1)an． n 14．6 15．22 16．23 3将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4． 将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12． 从而b1=1，b2=2，b3=4．

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得数列．

（3）由（2）可得

an-2n1，所以an=n·2n1． nan12an，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比n1n18．解：（1）由已知可得，BAC=90°，BA⊥AC．

又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD． 又AB平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC．

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32． 又BPDQ2DA，所以BP22． 31DC． 3作QE⊥AC，垂足为E，则QE由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1． 因此，三棱锥QABP的体积为

111VQABPQES△ABP1322sin451．

33219．解：（1）

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

x11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48． 50该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 x21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35． 50估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45(m3)．

20．解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．

11所以直线BM的方程为y=x1或yx1．

22（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．

当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．

yk(x2)，2由2得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．

ky2x直线BM，BN的斜率之和为 kBMkBNy1y2xyxy2(y1y2)．① 2112x12x22(x12)(x22)将x1y1y2，x222及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 kk2y1y24k(y1y2)880．

kkx2y1x1y22(y1y2)所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN． 综上，∠ABM=∠ABN．

)，f ′（x）=aex–21．解：（1）f（x）的定义域为(0，1． x由题设知，f ′（2）=0，所以a=从而f（x）=

1． 2e21x1x1elnx1e． f ′x=，（）2e22e2x当02时，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． 1ex（2）当a≥时，f（x）≥lnx1．

eeexex1 设g（x）=lnx1，则g(x)．eex当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点． 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．

因此，当a1时，f(x)0． e22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

解：（1）由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为

(x1)2y24．

（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以或k0．

4经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与

3C2有两个公共点．

|k2|42，k故

3k21当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以或k4． 3|k2|k122，故k0经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k4综上，所求C1的方程为y|x|2．

34时，l2与C2没有公共点．学.科网 323．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

2,x1,解：（1）当a1时，f(x)|x1||x1|，即f(x)2x,1x1,

2,x1.1故不等式f(x)1的解集为{x|x}．

2（2）当x(0,1)时|x1||ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立． 若a0，则当x(0,1)时|ax1|1；

若a0，|ax1|1的解集为0x综上，a的取值范围为(0,2]．

22，所以1，故0a2． aa