自动控制理论第四版课后习题详细解答参考答案(夏德钤翁贻方版)

《自动控制理论（夏德钤）》习题答案详解 第二章

2-1试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。

1R1CsR1，zR，则传递函数为： (a)z1221RCs11R1Cs(b)设流过C1、C2的电流分别为I1、I2，根据电路图列出电压方程：

并且有 联立三式可消去I1(s)与I2(s)，则传递函数为： 2-2假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以ui为输入，uo为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：uiduduCiC0，ucuiu0， Rdtdt对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为 (b)由运放虚短、虚断特性有：Cducuiucucuu0，c00， R2R1dtR2R2联立两式消去uc得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)Cducucu0uuuc0，且ic，联立两式可消去uc得到 dtR1/2R1/2RR12对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为 2-3试求图2-T-3中以电枢电压ua为输入量，以电动机的转角为输出量的微分方程式和传递函数。 解：设激磁磁通Kfif恒定

2-4一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一

起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差ue即是无惯性放大器（放大系数为Ka）的输入，放大器向直流电动

机M供电，电枢电压为u，电流为I。电动机的角位移为。

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解：

CsRsKACm

60iLaJs3iLafRaJs2iRafCeCmsKACm22-5图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流id与ud间的关系为

d0.u026。假设电路中的R103，静态工作点u02.39V，i02.19103A。试求在id10e16工作点(u0,i0)附近idf(ud)的线性化方程。

解：id2.191030.084ud0.2 2-6试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。

解：分别对物块m1、m2受力分析可列出如下方程： 代入v1dy1dy、v22得 dtdt2-7图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为i，温度计显示温度为。试求传递函数虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。 解：根据能量守恒定律可列出如下方程： 对上式进行拉氏变换得到 则传递函数为 2-8试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数(s)（考i(s)C(s)。 R(s) G2 H1 G4 解：(a)化简过程如下+ C(sR(s) + + + C(s) R(s) + + + + G1 G G3 ) G2 3G2 G1 _ _ _ + C(s) R(s_ G+G G3 12+ R(sC(s) C(s+ ) R(s_ H1 G1+G G21 G3 H2 ) _ ) ) R(sC(s传递函数为 G+ (b)1+H1 ) ) 化简过程如下 H3 a) H1 + b) G2 H1 G1 G4 C(s) 图R(s_ + + G4+G2G3 C(s) R(s+ ) + 2-T-8 传递函数为 _ G G 2G 13C(s) R(s) ) _ C(s)2-9试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数。 H3+H2/G1 1/GH2 R(s)R(s+ ) + H3 解：化简过程如下 精心整理 _ 0.+ C(s) _ 0. R(s+ + C(s0. ) ) _ C(s+ _ R(s 0.) R(s_ 系统的传递函数为 C(s) ) ) 0.C(s)K2-10绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数。

R(s)K H2 系统的传递函数为 C(sR(s+ + + G1 G2 G3 C1(s) )C2(s)2-11试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数和（设R2(s)0）。 + _ + R1(s)R2(s)H1 解：系统信号流程图如图所示。R1(s+ _ C1 (s) G4 G1 G2 题2-11系统信号流程图G3 ) + C(s)2-12求图图2-T-12所示系统的传递函数。 R(s)2-T-10 H1 H2 + + 解：(a)系统只有一个回环：L1Ccdh2(s) ， G5 G6 G4 _ 在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：P1abcdef，P2abcdi，P4agdi，3agdef，PR2(s) + 图2-T-11 相应的，有：12341 则 (b)系统共有三个回环，因此，L1111， R1C1sR2C2sR1C2s两个互不接触的回环只有一组，因此，L2111 2R1C1sR2C2sR1R2C1C2s在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道：P1111111，并且有11，则 2sC1R1sC2R1C1C2s2-13确定图2-T-13中系统的输出C(s)。

D1(sD2C(s(s)G1G21R(s)解：采用叠加原理，当仅有作用时，， ) _ ) + R(s) + R(s)1GC(s) + + + 2H2G1G2H1G1 G2 _ _ C(s)G2当仅有D1(s)作用时，2， 2 D1(s)1G2H2HG1G2H1+ H1 C3(s)G2当仅有D2(s)作用时，+ ， D2(s)1G2H2G1G2H1D3(s)

图精心整理 2-T-13

当仅有D3(s)作用时，

C4(s)G1G2H1 D3(s)1G2H2G1G2H1根据叠加原理得出 第三章

3-1设系统的传递函数为

求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有

1r(t)t，R(s)2

s所以有 分三种情况讨论 （1）当1时， （2）当01时， （3）当1时， 设系统为单位反馈系统,有 系统对单位斜坡输入的稳态误差为 3-2试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为

（1）G(s)50K（2）G(s) (10.1s)(12s)s(10.1s)(10.5s)K(12s)(14s)KG(s)（4） 222s(s4s200)s(s2s10)s0s0（3）G(s)解：（1）KplimG(s)50,KvlimsG(s)0,Kalims2G(s)0； s0（2）KplimG(s),KvlimsG(s)K,Kalims2G(s)0； s0s0s0（3）KplimG(s),KvlimsG(s),Kalims2G(s)s0s0s0K； 10（4）KplimG(s),KvlimsG(s)K,Kalims2G(s)0 s0s0s02003-3设单位反馈系统的开环传递函数为

若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。

1（1）r(t)R0，（2）r(t)R0R1t，（3）r(t)R0R1tR2t2

2解：首先求系统的给定误差传递函数

误差系数可求得如下

s(t)r（1）r(t)R0，此时有rs(t)R0,rs(t)0，于是稳态误差级数为

esrtC0rs(t)0，t0

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s(t)R1,r（2）r(t)R0R1t，此时有rs(t)R0R1t,rs(t)0，于是稳态误差级数为

s(t)0.1R1，t0 esrtC0rs(t)C1r（3）r(t)R0R1t11s(t)R1R2t，rs(t)R2，于是稳态R2t2，此时有rs(t)R0R1tR2t2,r22误差级数为

s(t)esrtC0rs(t)C1rC2r(t)0.1(R1R2t)，t0 s2!3-4设单位反馈系统的开环传递函数为

若输入为r(t)sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。

解：首先求系统的给定误差传递函数

误差系数可求得如下

以及 则稳态误差级数为 3-6系统的框图如图3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。 R(sC(s) + R(sC(s_ + 2解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：esr，加入比例—微分环节后

_ na) 2 可见取b)，可使esr0 a图3-T-1 3-7单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为 从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，Mp0.096，tp0.2s。

试确定传递函数中的参量及n。 解：由图可以判断出01，因此有 代入Mp0.096，tp0.2可求出

0.598 19.588nR(s+ 3-8反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求G(s C(s_ （1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 ) 6s3-T-3 40 （2）整个系统的特征方程为s34s2图

n求三阶开环传递函数G(s)，使得同时满足上述要求。

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解：设开环传递函数为

s3k1s2k2sk31根据条件（1）esrlim30可知：k30； 2s01G(s)sk1sk2sk3K根据条件（2）D(s)s34s26s40可知：k14，k26，K4。

所以有

3-9一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s)，如要求

（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。 （2）三阶系统的一对主导极点为s1,s21j1。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。 解：按照条件（2）可写出系统的特征方程 将上式与1G(s)0比较，可得系统的开环传递函数 根据条件（1），可得 解得a1，于是由系统的开环传递函数为 3-10已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。 （1）K4.5,1s（2）K1,1s（3）K0.16,1s

解：系统单位阶跃响应的象函数为 （1）将K4.5，1s代入式中可求出n2.12rad/s，0.24，为欠阻尼系统，因此得出

Mp46%，ts7.86s(2%)，5.90s(5%)

（2）将K1，1s代入式中可求出n1rad/s，0.5，，为欠阻尼系统，因此得出

Mp16.3%，ts8s(2%)s，6s(5%)

（3）将K0.16，1s代入式中可求出n0.4rad/s，1.25，过阻尼，无最大超调量。因此

只有ts15s。

3-11系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。

8（1）当a=0时，则系统传传递函数为G(s)2，其中n822，2n2，所以有

s2s80.354。

（2）n不变时，系统传函数为G(s)8，要求0.7，则有2n2(4a1)，所以

s2(8a2)s8可求得求得a0.25。

3-12已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应

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和单位阶跃响应的影响。

1.单位脉冲响应 (a)无零点时 （b）有零点z1时

比较上述两种情况，可见有零点z1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相

12n移角为arctg。

1n2．单位阶跃响应 (a)无零点时 （b）有零点z1时

加了z1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。 3-13单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？ 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节

K11s1，当误差信号et0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，s知道出现et0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。 3-14上述系统，如在rt为常量时，加于系统的扰动nt为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动nt为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间

无关的常量？

在rt为常量的情况下，考虑扰动nt对系统的影响，可将框图重画如下

图A-3-2题3-14系统框图等效变换

根据终值定理，可求得nt为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，nt为单位斜坡函数时，系

统的稳态误差为1。 K1从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信

号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。

3-15已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。

s4s3（1）劳斯表有s2s1s012633834030则系统系统稳定。 0精心整理

s4s312821240（2）劳斯表有s2s1s012劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极

s5s4s3（3）劳斯表有2ss1s0s6s5s41191066劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统系统有

10101210两个极点具有正实部，系统不稳定。

132343459648464点具有正实部，系统不稳定。 316（4）劳斯表有ss2s1s03812系统处于稳定的临界状态，由辅助方程As2s46s24可

求得系统的两对共轭虚数极点s1,2j;s3,4j2。

3-16根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。

（1）K>0时,系统稳定。（2）K>0时，系统不稳定。（3）03-17已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)K(s1)请在以K为横坐标，为纵坐

s(s1)(2s1)标的平面上，确定系统为稳定的区域。

系统的特征方程为D(s)2s3(2)s2(K1)sK0

2k12k(2)(K1)2K0 列写劳斯表1(2)(k1)2k，得出系统稳定应满足的条件

s220sk由此得到和应满足的不等式和条件

2 3 4 5 9 15 30 100 6 4 3.3 3 2.5 2.28 2.13 2.04

根据列表数据可绘制K为横坐标、为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中

的阴影部分。

图A-3-3闭环系统稳定的参数区域

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s3s2

3-18已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)K(s5)(s40)试求系统的临界增益Kcs3(s200)(s1000)之值及无阻尼振荡频率值。

根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程

列写劳斯表 根据劳斯判据可得 系统稳定的K值范围为

当K11.22106、K21.7535108时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界

增益Kc1.22106以及Kc1.7535108。 根据劳斯表列写Kc1.22106时的辅助方程

解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2j16，系统的无阻尼振荡频率即为16rad/s。

Kc1.7535108时的辅助方程 解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4j338，系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。

第四章 4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。 （1）GsK1

ss1s30与，3上有根轨迹，渐近线相角系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴1，a60,180，渐近线与实轴交点a1.33，由

dK10可得出分离点为（0.45,j0），与虚轴交dS点j3K112。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2题4-2系统（1）常规根轨迹 （2）GsK1

ss4s24s200上有根轨迹，方法步骤同上，实轴4，分离点2,j0与2j2.5，a2，a45,135，

与虚轴交点j10K1260。常规根轨迹如图A-4-3所示。

图A-4-3题4-2系统（2）常规根轨迹

4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K1（1)试绘制系统根轨迹的大致图形，并对系

s2(s1)统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点z1，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影

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响？

（1）GsK1

s2s2dK10可得出分离点为0,j0，与虚轴交dS2上有根轨迹，a60,a0.67，由实轴，点为j0K10常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当K10便有二个闭环极点位

于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A-4-4题4-3系统常规根轨迹

（2）GsK1s1 s2s21上有根轨迹，a90,a0.5，分离点为0,j0；常规根轨迹如图A-4-4（b）实轴2，所示。从根轨迹图看，加了零点z1后，无论K取何值，系统都是稳定的。 4-4设系统的开环传递函数为G(s)H(s)K1(s2)试绘制下列条件下系统的常规根轨迹（1）

s(s22sa)a=1(2)a=1.185(3)a=3 0上有根轨迹，a90，a0，分离点为0.38，0，常规根轨迹如图（1）a=1时，实轴2，图A-4-5（1） 图A-4-5（1） 0上有根轨迹，a90，a0，根轨迹与虚轴的交点为0，j，（2）a=1.185时，实轴2，常规根轨迹如图图A-4-5（2） 图A-4-5（2） 0上有根轨迹，a90，a0，根轨迹与虚轴的交点为0，j，常规（3）a=3时，实轴2，根轨迹如图图A-4-5（3） 图A-4-5（3） 4-5求开环传递函数为G(s)H(s)K1(s1)的系统在下列条件下的根轨迹（1）a=10（2）a=9（3）2s(sa)a=8(4)a=3

1上有根轨迹，a90,a4.5，分离点为0，j0，与虚轴交点为j0K10。（1）实轴10，常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1）

图A-4-6（1）

1上有根轨迹，a90,a4，分离点为0，j0，与虚轴交点为j0K10。（2）实轴9，常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2）

图A-4-6（2）

1上有根轨迹，a90,a3.5，分离点为0，j0，与虚轴交点为j0K10。（3）实轴8，精心整理

常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3）

图A-4-6（3）

1上有根轨迹，a90,a1，分离点为0，j0，与虚轴交点为j0K10。常（4）实轴3，规根轨迹大致图形如图A-4-6（4）

图A-4-6（4）

4-7设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a为变量的根轨迹，并要求：（1）求无局部反 馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。（2）讨论a=2时局部反馈对系性

能的影响。(3)确定临界阻尼时的a值。

系统特征方程为

以为可变参数，可将特征方程改写为

从而得到等效开环传递函数

0上有根轨迹a180,a1，根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴，分离点为1,j0，

出射角为P150。参数根轨迹如图A-4-7所示。 图A-4-7题4-7系统参数根轨迹 （1） 无局部反馈时0，单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr1；阻尼比为0.5；

调节时间为ts6s5% （2） 0.2时，esr1.2，0.6，ts5s(5%) 比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。 （3） 当1时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点s1,21。

4-8根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。

0，与虚轴交点为21，有根轨迹，a90,a1.5，分离点为1.5，（1）实轴，j0K13。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（1）

2，1有根轨迹，a0，0，与虚轴交点为（2）实轴0，120,a2，分离点为1.57，j0K13。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（2）

2，14，3有根轨迹，a0，（3）实轴0，120,a2，虚轴交点为

0，j0.91K15.375。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（3）

4-9绘出图4-T-3所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的K值范围。

主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0K14.38。

图A-4-9题4-9系统主根轨迹

Kes4-10若已知一个滞后系统的开环传递函数为GsHs，试绘制此系统的主根轨迹。

s精心整理

Kes由GsHs知

sK10时系统的根轨迹从开环极点p10和出发，实轴，0上有根轨迹，主根轨迹分离点

1，临界K值。主根轨迹如图A-4-10所示。 ,j0；与虚轴交点j22图A-4-10

4-11上题中的开环传递函数可用下列近似公式表示

K1sK1sK2(1)GsHs(2)GsHs(3)GsHs试绘制以上三种情况的根sss1s1s2迹，并和题4-10的根轨迹进行比较，讨论采用近似式的可能性。 K1s（1）GsHs的根轨迹如图A-4-11（1）所示。 sK1s图A-4-11（1）GsHs根轨迹 sK1s2（2）GsHs s1s22122122；与虚轴交点j分离点；会合点,j0,j0根轨迹如图A-4-11（2）所示。 图A-4-11（2）GsHs；临界稳定K值为

2。K1(/2)s根轨迹 s1(/2)s（3）GsHsK ss11分离点2,j0，根轨迹如图A-4-11（3）所示。 图A-4-11（3）GsHsK根轨迹

ss1K。若较大，取上述近似式误差就

ss1讨论：当较小时，且K在某一范围内时，可取近似式

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K1s2大，此时应取近似式。9

s1s24-12已知控制系统的框图如图4-T-4所示，图中G1(s)K1s2，G2(s)。试绘制闭环

s(s5)(s5)系统特征方程的根轨迹，并加简要说明。

系统的根轨迹如图A-4-12所示。

图A-4-12

4-13设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K1(sa),确定a的值，使根轨迹图分别具有0,1,22s(sa)个分离点，画出这三种情况根轨迹图。 111当0a时，有两个分离点，当a时，有一个分离点，当a时，没有分离点。系统的根999轨迹族如图A-4-13所示。 图A-4-13 第五章 5-1已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制其开环频率特性的极坐标图

(1)Gs1 ss1解：幅频特性：A()112 相频特性：()900arctg 列表取点并计算。 0.5 1.79 -116.6 1.0 0.707 -135 1.5 0.37 2.0 0.224 5.0 0.039 10.0 0.0095 -146.3 -153.4 -168.7 -174.2 系统的极坐标图如下： (2)Gs1

1s12s112解：幅频特性：A()142

相频特性：()arctgarctg2

列表取点并计算。 精心整理

0 1 0

1.0 2.0 0.317 0.172 -108.4-139.4

-15.6 -71.6 -96.7 

系统的极坐标图如下：

(3)Gs1

ss12s110.2 0.91 0.5 0.63 0.8 0.414

5.0 0.0195 -162.96



解：幅频特性：A()12142

相频特性：()900arctgarctg2 0.2 4.55 0.3 2.74 列表取点并计算。 0.5 1 2 1.27 0.317 0.054 -161 -198.4 -229.4 5 0.0039 -253 -105.6 -137.6 系统的极坐标图如下： (4)Gs1 2s1s12s1解：幅频特性：A()212142 相频特性：()1800arctgarctg2 0.2 0.25 22.75 13.8 -195.6-220.6 列表取点并计算。 0.3 0.5 0.6 0.8 7.86 2.52 0.53 0.65 -227.6-251.6-261.6-276.7 系统的极坐标图如下： 1 0.317 -288.4 5-2试绘制上题中各系统的开环对数频率特性（伯德图）。 (1)Gs1 ss1解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，在1s1处与L()=20lgK=0相交。

1

环节的交接频率11s1，斜率下降20dB/dec，变为-40dB/dec。 s1系统的伯德图如图所示:

精心整理

(2)Gs1

1s12s解：伯德图起始为0dB线，

11的交接频率1s1，斜率下降20dB/dec，变为－20dB/dec。 12s21的交接频率21s1，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。

（3）Gs1

ss12s1解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，其延长线在=1处与L()=20lgK=0相交。

11的交接频率1s1，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 12s21的交接频率21s1，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。 (4)Gs1 2s1s12s解：系统为错误！未找到引用源。型，伯德图起始斜率为－40dB/dec，其延长线在=1处与

L()=20lgK=0相交； 11的交接频率1s1，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 12s21的交接频率21s1，斜率下降20dB/dec，变为－80dB/dec。 1s系统的伯德图如图所示。 5-3设单位反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的内奎斯特图和伯德图，并求相角裕度和增益裕度。

解：幅频特性：A()101(0.1)21(0.5)2 相频特性()900arctg0.1arctg0.5

0.5 17.3 -106.89

1.0 8.9 -122.3

1.5 5.3 -135.4

2.0 3.5 -146.3

3.0 1.77 -163

5.0 0.67 -184.76



10.0 0.24 -213.7

错误！未找到引用源。系统的极坐标图如图所示。

令1800，解得g4.47s1。

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Kg11.2，增益裕度：GM=20lgKg1.58dB。

A（g）错误！未找到引用源。伯德图起始斜率为-20dB/dec,经过点1s1,L()20lgK20。

1s1处斜率下降为-40dB/dec，10s1处斜率下将为-60dB/dec。

系统的伯德图如下图所示。

令A()=1得剪切频率c4.08s1,相角裕度PM=3.94deg。

5-5已知单位反馈系统的开环传递函数为

用MATLAB绘制系统的伯德图，确定L()0的频率c，和对应的相角(c)。

解：命令如下： >>s=tf('s'); >>G=1/((s*(1+s)^2)); >>margin(G2); 程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。 5-6根据下列开环频率特性，用MATLAB绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。 （1）G(j)H(j)10 (j)(0.1j1)(0.2j1)解：命令如下： >>s=tf('s'); >>G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1)); >>margin(G); 如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。 （2）G(j)H(j)2 (j)2(0.1j1)(10j1)解：命令如下： >>s=tf('s'); >>G=2/((s^2)*(0.1*s+1)*(10*s+1)); >>margin(G); 如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83，系统不稳定。

5-7已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数，

并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。

（a） 解：低频段由20lgK10得，K10

=2s1处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节

由上可得，传递函数Gs精心整理

1。

0.5s110。

0.5s1

相频特性()arctg0.5。 汇出系统的相频特性曲线如下图所示。

1（b） 解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节。

s11处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节。 =2s0.5s1在剪切频率c2.8s1处，

Kc10.5c221，解得K4.8

传递函数为：G(s)4.8 s(0.5s1)（c） 低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加1； s210.5s1处，斜率上升20dB/dec,对应一阶微分环节2s1； 22s1处，斜率下降20dB/dec,对应一阶惯性环节传递函数形式为：G(s)K(2s1) s2(0.5s1)1 0.5s1图中所示Bode图的低频段可用传递函数为K/s2来描述，则其幅频特性为K/2。取对数，得L1()20lgK20lg2。

同理，Bode图中斜率为-20dB/dec的中频段可用K1/s来描述，则其对数幅频特性为

L2()20lgK120lg。由图有，L2(c)0dB,则有K1c。

再看图，由L1(1)L2(1)可解得K1c0.5 综上，系统开环传递函数为G(s)（参考李友善做法）

系统相频特性：()180arctg2arctg0.5曲线如下：

5-8设系统开环频率特性的极坐标图如图5-T-2所示，试判断闭环系统的稳定性。 (a)解：系统开环稳定，奈氏图包围（-1，0j）点一次，P≠0，所以闭环系统不稳定。

(b)解：正负穿越各一次，P=2（N+-N-）=0，闭环系统稳定。

(c)闭环系统稳定。(d)闭环系统稳定。

2es5-9根据系统的开环传递函数G(s)H(s）绘制系统的伯德图，并确定能使系统s(1s)(10.5s)0.5(2s1)

s2(0.5s1)稳定之最大值范围。

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解：0时，经误差修正后的伯德图如图所示。从伯德图可见系统的剪切频率c1.15s1，在剪

切频率处系统的相角为

由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有11.1的相角滞后，即 解得0.1686s。因此使系统稳定的最大值范围为00.1686s。

5-10已知系统的开环传递函数为

试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益K值。

解：由GsHsK1知两个转折频率1rad/s,21rad/s。令K1，可绘制系

s1s13s3统伯德图如图所示。

确定()180所对应的角频率g。由相频特性表达式 可得arctg1.33g210.33g90

解出g31.732rad/s 在伯德图中找到L(g)2.5dB，也即对数幅频特性提高2.5dB，系统将处于稳定的临界状态。因此 20lgK2.5dBK4为闭环系统稳定的临界增益值。 35-11根据图5-T-3中G(j)的伯德图求传递函数G(s)。

解：由L(0.1)0dB知K1； 由L(1)3dB知1是惯性环节由1的转折频率； s1 从1增大到10，L()下降约23dB，可确定斜率为20dB/dec，知系统无其他惯性环节、或微分环节和振荡环节。 由(0.1)0和(1)83知系统有一串联纯滞后环节es。系统的开环传递函数为es GsHss1e0.66s83解得0.66s。可确定系统的传递函数为GsHs由(1)arctg1 s1180第六章

6-1试求图6-T-1所示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。

RCs解：（a），超前网络的传递函数为Gs，伯德图如图所示。

RCs1题6-1超前网络伯德图

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（b），滞后网络的传递函数为Gs1，伯德图如图所示。

RCs1题6-1滞后网络伯德图

6-2试回答下列问题，着重从物理概念说明：

（1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是否相同？ （2）如果错误！未找到引用源。型系统经校正后希望成为错误！未找到引用源。型系统，应

采用哪种校正规律才能满足要求，并保证系统稳定? （3）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？ （4）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？ （5）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？

解：（1）无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。 （2）采用比例-积分校正可使系统由I型转变为II型。 （3）利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度，从而改善系统的暂态性能。 （4）当减小，相频特性()朝0方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度。 （5）可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。

6-3某单位反馈系统的开环传递函数为 （1）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。 0.4s1（2）串联传递函数为Gc(s)的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率和相角裕0.125s1度。

10s1（3）串联传递函数为Gc(s)的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和相角裕度。

100s1（4）讨论串联超前校正、串联滞后校正的不同作用。

解：(1)用MATLAB求得校正前59.7(c3.88rad/s)

（2）串联超前校正后70.1(c5.89rad/s) （3）串联滞后校正后124(c0.0296rad/s)

（4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此同时，增加

了系统的带宽，使系统的响应速度加快。

在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的

相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。 6-4设控制系统的开环传递函数为 （1）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。 0.33s1（2）采用传递函数为Gc(s)的串联超前校正装置。试求校正后系统的相角裕度，并讨

0.033s1论校正后系统的性能有何改进。

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解：（1）校正前3.94(c4.47rad/s),

（2）加串联超前校正装置Gc(s)0.33s1后，39.8(c16.2rad/s)0.033s1经超前校正，提高了系统的稳定裕度。

题6-4系统校正前、后伯德图 6-5单位反馈系统的开环传递函数为

设计一串联滞后网络，使系统的相角裕度40，并保持原有的开环增益。

解：原系统的相角裕度为20。

计算未校正系统中对应相角裕度为218090arctg2401555时的频率c2。 解得c20.35s1。 当0.35s1时，令未校正系统的开环增益为20lg，故有 20lg20， 0.351.37于是选，10 选定2则11c410.088 0.0088。 校验1s0.08811.4s1于是，滞后校正网的开环传递函数为Gc(s)（。 )10s0.0088114s1校正后系统的相角裕度为

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426-7单位反馈系统如图6-T-2所示。系统的输入和输出均为转角，单位是（）。对系统进行超

1前校正，使满足相角裕度大于45，在单位斜坡输入（单位是（）s）下的稳态误差为，

151剪切频率小于7.5s1。 解：GosKs1，超前校正装置Gcs，校正后系统的开环增益为K3.0221，

sss1s5.762(c3.02s1),满足设计要求。 6-8单位反馈系统的开环传递函数为 设设计滞后校正装置以满足下列要求： （1）系统开环增益K8；

（2）相角裕度40。

解：当K8时，画出未校正系统的伯德图。由于伯德曲线自1rad/s开始以-40dB/dec的斜率

与零分贝线交与c1，故存在下述关系：

故c18rad/s2.83s1。 于是未校正系统的相角裕度为 说明未校正系统是不稳定的。

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计算未校正系统相频特性中对应于相角裕度为2401555时的频率c2。

由于 得c20.55s1。

当c20.55s1时，令未校正系统的开环增益为20lg，从而求出串联滞后校正装置的系数。有： 于是选：

选定： 则：

于是滞后网络的传递函数为

6-9设控制系统如图6-T-3所示，系统采用反馈校正。试用MATLAB比较校正前后系统的相角裕度和带宽。

17.9，解：未采用反馈校正时，带宽为4.826rad/s。采用反馈校正后，调整KA2.5，使K10，此时27。带宽为7.426rad/s。可见，采用反馈校正，可提高系统的稳定裕度，并可使带宽增大。系统反馈校正前、后伯德图如图所示。

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