典型例题：三角函数的图象和性质

图象和性质例题分析

例1．画出下列函数的简图： (1)y1sin x, x0,2 (2)ysin x , x0,2

分析：这两个例题的作用是巩固和熟练“五点画图法及运用正弦函数和余弦函数的性质画出与它们有关系的一些函数图象”．

解：（1）按五个关键点列表： x sin x 0 0  21 2  0 1 3 22 0 1 －1 0 1+sin x 1 利用正弦函数的性质描点画图（如图4-24）

这里利用正弦函数的性质主要是它的单调性．因为正弦函数

3ysinx, x0,和 x, 2上都是增函数，所以函数y1sin x，在这

22两个区间上也是增函数，从而描点画图时要用光滑曲线画成上升的曲线，同理在

3x,上要画成下降的曲线． 22注：函数y1sinx与ysinx，在x0,2上有什么关系呢？我们把后者的图象用虚线画在（图4-24）中，可见函数y1sinx，x0,2的图象是通过把函数ysinx，x0,2的图象上的每点向上平行移动1个单位长度而得到．

这个例题还告诉我们，形如ysinxm，x0,2的函数图象当m>0时，

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可将正弦函数ysinx，x0,2的图象整体向上平行动m个长度单位．当m<0时，可将ysinx，x0,2的图象整体向下平行移动|m|个长度单位．

（2）按五个关键点列表 x sin x －sin x 0 0 0 …… ↗ ↘  21 －1 …… ↘ ↗  0 0 …… ↘ ↗ 3 2…… ↗ ↘ 2 0 0 －1 1 利用正弦函数的性质描点画图（如图4-25） 这里利用正弦函数的性质主要是它的单调性，因为正弦函数

ysinx在x0,和

23x,2上都是增函数，而从2列表中可看出函数ysinx在这

两个区间上都是减函数，所以要用光滑曲线画成下降的曲线．

3又因为正弦函数ysinx在x,上是减函数，而从列表中可以看到函

22数ysinx在这个区间上是增函数，所以要用光滑曲线画成上升的曲线．

注，函数ysinx与正弦函数ysinx在x0,2上有什么关系呢？ 我们将后者的图象用虚线画在（图4-8-7）中可见函数ysinx，x0,2上的图象上的每一个点都是正弦函数ysinx，x0,2上的每一个对应点关于x轴的对称点．

由此可知欲画函数ysinx，x0,2的图象，只要将正弦函数ysinx，

x0,2沿x轴整体翻转1800即可．

例2．求使下列函数取得最大值和最小值时的自变量x的集合，并说出最大和最小值是什么．

（1）y2sinx , xR；

（2）ysin2x , xR

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分析：这两个小题都是与正弦函数ysinx的最大值和最小值有关的问题，我们可以利用正弦函数的最大值和最小值的结论来解决这些问题．

解：（1）函数y2sinx , 的解析式是由常量2与变量sinx的差组成． 当x22k (kZ)时，变量sinx取得最大值1，而一个常量减去一个最

大值得到的差是最小值，所以y2sinx , 的最小值是y211．

当x22k (kZ)时，sinx取得最小值是－1，而一个常量减去一个

最小值得到的差是最大值，所以y2sinx 的最大值是y2(1)3．

∴｛x|x｛x|x2，函数y2sinx 的最大值是3， 2k, kZ｝

2，函数y2sinx 的最小值是1； 2k, kZ｝

（2）解决本题的关键是用辅助未知数法 令z2x，因为xR，所以zR．

又使函数ysinz ，zR取得最大值的ｚ的集合是： ｛z|z2， 2k, kZ｝

再由z2x22k，则x4k , kZ这就是说，使函数ysin2x ，

xR取得最大值时的x的集合是｛x|x1．

4，此时函数的最大值是k ,kZ｝

同理，使函数ysin2x ，xR取得最小值时的x的集合是： ｛x|x

例3．不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0． （1）sin(4，此时函数的最小值是－1． k, kZ｝

18)sin(10)； （2）cos1110 sin89分析：本题实际上是两个三角函数值的比大小问题，这种问题需要用正弦函数的单调性来比大小．对于同名的三角函数比大小，只要角在同一个单调区间上

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就可以直接比大小，若不然则需用诱导公式将它们化到同一个单调区间上再比大小．对于非同名的三角函数比大小，则需用诱导公式将它们化为同名函数再按上面的办法比大小．

解：（1）∵21018，且函数ysinx，x,是增函数． 222∴sin(∴sin(10)sin()sin(18)

1810)0

（2）由诱导公式：

cos1111779sin()sinsin2()sin 828888∵

210933且函数ysinx， x,上是减函数． 98222∴sin1091011，即sin sincos98981110sin0 8910sin()sin； 999∴cos本小题也可以按下面的解法：由诱导公式sincos1133cos()coscos()sin 888288∵0∴sin∴sin98，且函数ysinx，x0,上是增函数 229sin8，即sin9sin8

1011 cos981110sin0 89∴cos该解法是将不同名函数的角用诱导公式化到0,区间上．当角都是锐角时，

2比较它们的三角函数值就更方便了．

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