《中心对称》典型例题

例1 如图，图中有ABC及ABC外一点O，画出一个三角形ABC使

ABC与ABC关于O点成中心对称．

例2 观察下面的图形哪些是中心对称图形，哪些不是中心对称图形？

例3 （济南市）如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一颗大核桃树. 田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）

例4 下列几组几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是（ ）．

A．正方形、菱形、矩形、平行四边形

B．正三角形、正方形、菱形、矩形

C．正方形、矩形、菱形

D．平行四边形、正方形、等腰三角形

例5 如图，已知：四边形ABCD关于O点成中心对称图形. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

例6 如图，已知：矩形ABCD和ABCD关于点A对称. 求证：四边形BDBD是菱形.

例7 （南昌市）按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形.

参考答案

例1 分析 根据中心对称的意义，点A在AO的延长线上，并且AOAO，点B在BO的延长线上，并且BOBO，点C在CO的延长线上，并且COCO.

作图 （1）连结AO并延长AO到A，使AOAO．

（2）分别连结BO、CO，延长BO到B，延长CO到C，使BOBO,COCO. （3）依次连结AB,BC,CA，则ABC与ABC关于O点成中心对称． 说明：此时下图是一幅以O为对称中心的中心对称图形．

例2 分析 图形（1）、（4）是中心对称图形，这两个图形绕着中心旋转180°后与原来的图形重合，图形（2）、（3）不是中心对称图形，图形（2）的形状虽然能重合，但其中的黑框位置变了，图形（3）旋转后图形与原来的图形不重合．

例3 分析：这是一道考查学生动手作图的能力设计题. 题中要求扩建后的池塘：面积扩大一倍，形状成平行四边形，且核桃树不动.

这样的图形设计方案，只能连结AC与BD交于O点，将原池塘分割成四块，分别以AB、BC、CD、DA为对角线，向外作

AOBE、BOCF、CODG、DOAH.

连结EF、FG、GH、HE，就可得到EFGH.

如图，依据中心对称图形的性质，其设计合乎题设要求.

例4 分析 A中平行四边形不是轴对称图形，B中正三角形不是中心对称图形，D中平行四

边形不是轴对称图形．正选C．

解答 本题主要考查轴对称和中心对称图形的判定，易错点是弄错图形的对称性，解题关键是要熟悉所学过的图形的对称性．

例5 分析：因为四边形ABCD是中心对称图形，所以A点与C点，B点与D点是对称点. 所以线段AC过O点，线段BD也过O点，且两条线段都被O点平分，故四边形ABCD是平行四边形.

证明：连结AC、BD.

∵ 四边形ABCD关于O点成中心对称图形，

∴ O点在AC上，也在BD上，并且OAOC,OBOD ∴ 四边形ABCD是平行四边形.

说明：要应用轴对称或中心对称解决问题，应该判断清楚图形的对称的特点，找到对称点.

例6 分析：根据题意知点B与B关于点A对称，点D和点D关于点A对称，又四边形ABCD和ABCD是矩形，由中心对称的性质及矩形的性质即可证明.

证明：∵矩形ABCD和ABCD关于点A成中心对称图形.

∴ ADAD，ABAB（关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分）.

∴ 四边形BDBD是平行四边形. 又∵四边形ABCD是矩形，∴DAB90 ∴四边形BDBD是菱形.

例7 分析 这是一道具有开放特色的考题，题中给定的两个图形都既是轴对称图形，也是中心对称图形，故按要求画出的图形只要让两个图形的对称中心重合即可．

解答 具体作法是：先作出正方形，连结对角线找出对角线交点，再以对角线交点为圆心，以任意长为半径画图，所得图形都满足题设要求．举例如下：

说明 本题考查轴对称图形和中心对称图形的应用，解题关键是要探索出两个图形的对称中心重合．